1、第23章 图形的相似,23.4 中位线,1,课堂讲解,三角形的中位线 三角形的重心 中点四边形,2,课时流程,逐点 导讲练,课堂小结,作业提升,在23.3节中，我们曾得到如下结论: 如图, 在ABC中，DE/BC，则ADEABC.在推理过程中，我们由DEBC推得那么当点D是AB的中点时，利用该比例式容易推知点 E也是AC的中点，并且现在换一个角度考虑，如果已知点D、E分别是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE/BC? DE与BC之间又存在怎样的数量关系呢？,画画看，你能有什么猜想？,（来自教材）,A,1,知识点,三角形的中位线,猜 想,如图，在ABC中，点D、E分别是 AB与AC 的中点.根
2、据画出的图形， 可以猜想： DE / BC,且DE = BC. 对此，我们可以用演绎推理给出证明.,知1导,（来自教材）,C,知1导,（来自教材）,在ABC中， 点D、E分别是AB与AC的中点， A=A, ADEABC ADE = ABC, ,证明：,1. 三角形中位线的定义： 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线一个三角形共有3条中位线. 易错警示：三角形的中位线要与三角形的中线严格区别开来，三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段，而三角形的中线是三角形的顶点与对边中点的连线 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半拓展：由三角形三条中位线组成的三角形与原
3、三角形相似，它的周长等于原三角形周长的 ，面积等于原三角形面积的,知1讲,（来自点拨）,例1 如图所示，在ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC6 cm，则DE的长为_,知1讲,直接根据三角形的中位线定理 解答即可因为D，E分别是边 AB，AC的中点， 所以DE是ABC的中位线， 所以DE BC 63(cm),3cm,（来自点拨）,导引：,证明：连结DE、EF. AD = DB,BE = EC,DE/AC(三角形的中位线平行于第三边，并且 等于第三边的一半).同理可得EF/BA.四边形ADEF是平行四边形. AE、DF互相平分.,例2 求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分
4、. 已知：如图, 在 ABC 中，AD =DB， BE=EC, AF = FC. 求证：AE、DF互相平分.,知1讲,（来自教材）,知1讲,总 结,三角形的中位线定理是证明两条线段倍分关系的重要依据当已知线段的中点求某条线段的长度时，通常要考虑运用三角形的中位线定理解答,（来自点拨）,如图，以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有( )A1个 B2个 C3个 D4个,知1练,（来自典中点）,2 如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，ADBC，PEF30，则PFE的度数是( )A15 B20 C25 D30,知1练,（来自典中点）,2,知识点
5、,三角形的重心,知2导,如图，在ABC中，D、E分别是边BC、AB的 中点，AD、CE相交于点G.求证：,例3,证明：连结ED. D、E分别是边BC、AB的中点，DE/AC ， (三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半).ACGDEG,三角形的重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点 三角形重心的性质：三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的,知2讲,（来自点拨）,例4 如图所示，在ABC中，G为重心，连结AG并延长，交 边BC于点D，若ABC的面积为6 cm2，则BGD的面 积为_,知2讲,导引： 由点G为ABC的重心可知AD为BC边上的中线，且DG AD，故SABD
6、SABC3 cm2，由BGD与ABD同高不等底易得故SBGD SABD 31(cm2),1cm2,（来自点拨）,知2讲,总 结,已知三角形的重心求线段的长度或比值时，要准确把握以下几点： 三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 (2) 重心与三角形一个顶点的连线的长是对应中线长的 (3) 重心分中线所成两条线段的比为21.,（此讲解来源于点拨）,如图所示，已知点E、F分别是ABC的边AC、AB的中点，BE、CF相交于点G，FG1，则CF的长为( )A2 B1.5 C3 D4,知2练,（来自典中点）,2 给出以下判断：(1) 线段的中点是线段的重心；(2) 三角形的三条中线交于一点，这一
7、点就是三角形的重心；(3) 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点；(4) 三角形的重心是它的中线的一个三等分点那么以上判断中正确的有( )A一个 B两个 C三个 D四个,知2练,（来自 典中点）,知3讲,3,知识点,中点四边形,1. 中点四边形：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形 2常见的中点四边形： (1) 顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形； (2) 顺次连结矩形各边中点所得的四边形是菱形； (3) 顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形； (4) 顺次连结正方形各边中点所得的四边形是正方形； (5) 顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形,如图所示，四
8、边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点 请判断四边形EFGH的形状，并说明理由； (2)若四边形EFGH为正方形，则四边形ABCD的对角线应满足怎样的条件？,知3讲,(1)由点E，F，G，H分别是各边 的中点可以联想到中位线，故连结AC，把四边形ABCD分成ABC和ADC，然后利用三角形的中位线定理判断四边形EFGH的形状；(2)在(1)的基础上结合正方形的判定方法考虑对角线AC，BD应满足的条件,例5,导引：,知3讲,解：(1)四边形EFGH是平行四边形理由如下：如图所示，连结AC.E，F分别是AB，BC的中点，EF是ABC的中位线，EFAC，EF AC.G，H分
9、别是CD，DA的中点，GH是ADC的中位线， GHAC，GH AC.EFGH，EFGH， 四边形EFGH是平行四边形(2)四边形ABCD的对角线应满足：ACBD且ACBD.,知3讲,总 结,本题是一道猜想说理题，首先应根据题目给出的条件进行初步推断，然后进行判断，最后对猜想的结论进行推理论证，以证明猜想的正确性判断中点四边形的形状，关键是三角形中位线定理的运用,（来自点拨）,1 求证：顺次连结四边形各边的中点所得的四边形是平行边形.,知3练,（来自教材）,运用中位线定理证明线段相等或计算线段长度的方法： 当题目中有中点时，特别是有两个中点时，如果 中点都在一个三角形中，直接用中位线定理.如果不在 一个三角形中，就需要作辅助线取某边上的中点，构 造三 角形的中位线，然后利用中位线定理及相关的知 识解决问题.,1.必做: 完成教材P79-80，习题23.4T1-T4 2.补充: 请完成典中点剩余部分习题,
