1、北京工商大学附中 2012 届高三数学二轮复习专题训练：圆锥曲线与方程I 卷一、选择题1已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直， l 与 C 交于 A， B 两点，| AB|12， P为 C 的准线上一点，则 ABP 的面积为( )A18 B24C36 D48【答案】C2抛物线 yx42的焦点坐标为( )A （1，0） B （2，0） C （0，1） D （0，2） 【答案】C3已知抛物线 y22 px(p0)， F 为其焦点， l 为其准线，过 F 任作一条直线交抛物线于 A、 B两点， A、 B分别为 A、 B 在 l 上的射影， M 为 A B的中点，给出下列命题：
2、A F B F； AM BM； A F BM； A F 与 AM 的交点在 y 轴上； AB与 A B 交于原点其中真命题的个数为( )A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【答案】D4 F1 和 F2 分别是双曲线)0,(12bayx的两个焦点， A 和 B 是以 O 为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 F2是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A 3B 5C5D 31【答案】D5与两圆 x2 y21 及 x2 y28 x120 都外切的圆的圆心在( )A一个椭圆上 B双曲线的一支上C一条抛物线上 D一个圆上【答案】B6 已知椭圆21369xy，以及椭圆内一点 P(4
3、,2),则以 P 为中点的弦所在的直线斜率为（ ）A 12B 2C2 D-2【答案】B7椭圆 1( ab0)的焦点为 F1、 F2，两条准线与 x 轴的交点分别为 M、 N.若x2a2 y2b2|MN|2| F1F2|，则该椭圆离心率的取值范围是( )A B(0，12 (0， 22C D12， 1) 22， 1)【答案】D8若椭圆 1( ab0)与曲线 x2 y2 a2 b2无公共点，则椭圆的离心率 e 的取值范围是x2a2 y2b2( )A B(32， 1) (0， 32)C D(22， 1) (0， 22)【答案】D9直线 ax by1(其中 a， b 是实数且 a， b 不同时为 0)与
4、圆 x2 y21 相交于 A， B 两点，2且 AOB 是直角三角形( O 是坐标原点)，则点 P(a， b)与点(0,1)之间距离的最大值为( )A 1 B22C D 12 2【答案】A10已知双曲线 E 的中心为原点， F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A， B 两点，且AB 的中点为 N(12，15)，则 E 的方程为( )A 1 B 1x23 y26 x24 y25C 1 D 1x26 y23 x25 y24【答案】B11双曲线 2x2 y28 的实轴长是( )A2 B2 2C4 D4 2【答案】C12设 F 为抛物线 y22 px(p0)的焦点， A，
5、B， C 为该抛物线上三点，当0，且|3 时，此抛物线的方程为( )A y22 x B y24 xC y26 x D y28 x【答案】AII 卷二、填空题13 已知双曲线214xy 的离心率为 P，焦点为 F 的抛物线 2y2px 与直线yk（x 2p）交于 A、B 两点，且 e，则 k 的值为 _【答案】 14经过点 M(10， )，渐近线方程为 y x 的双曲线的方程为_83 13【答案】 1x236 y2415设 F1、 F2分别是双曲线 x2 1 的左、右焦点，若点 P 在双曲线上，且0，则|等y29于_【答案】2 1016已知抛物线 y2 x2上任意一点 P，则点 P 到直线 x2
6、 y80 的距离的最小值为_【答案】 127580三、解答题17已知椭圆 210xyab的左、右焦点分别为 1F， 2， 点 0,M是椭圆的一个顶点， 21MF是等腰直角三角形 （）求椭圆的方程；（ ）过点 分别作直线A， B交椭圆于 A， 两点，设两直线的斜率分别为 1k， 2，且 128k，证明：直线 过定点（ ,2） 【答案】 （）由已知可得 22,8bab，所求椭圆方程为2184xy(）若直线 AB的斜率存在，设 AB方程为 ykxm，依题意 设 ),(1yx， ),(2y，由 ,1482kx得 22480kxm则212124,kmx由已知 128yx，所以 128x，即 12km所以
7、 4km，整理得 12故直线 AB的方程为 12ykx，即y（ 21x） 所以直线 AB过定点（ ,） 若直线 的斜率不存在，设 AB方程为 0x，设 0(,)Axy， 0(,)By，由已知 0028yx，得 012此时 方程为 12，显然过点（ ,1） 综上，直线 AB过定点（ ,21） 18设椭圆 )0(:2bayxC过点 21,)3,(F分别为椭圆 C 的左、右两个焦点，且离心率 e(1）求椭圆 C 的方程；(2）已知 A 为椭圆 C 的左顶点，直线 l过右焦点 F2与椭圆 C 交于 M、N 两点。若 AM、AN 的斜率 21,k满足 ,211求直线 的方程.【答案】 （1）由题意椭圆的
8、离心率 ,e 2ac c 223cab椭圆方程为 1342yx 又点（1， ）在椭圆上， 13)(42c 2=1椭圆的方程为 12yx(2）若直线 l斜率不存在，显然 20k不合题意；则直线 l 的斜率存在。 设直线 为 )(xky，直线 l 和椭交于 1(,)Mxy， 2(,)Ny。将 :4312中 得 到代 入 y018)43(22依题意： 9k或得由韦达定理可知： 2122438kx又 )21(211 xykANM23()x而 4)(221121 x3464)(8kkk从而 21)(2ANM 求得 2符合 .1故所求直线 MN 的方程为： .(xy 19 一条斜率为1的直线 l与离心率e
9、= 2的椭圆C： )0(12bayx交于P、Q两点，直线 l与y轴交于点R，且 RQPO3,，求直线 l和椭圆C的方程；【答案】 e ， ， a22 b2，则椭圆方程为 1，设 l 方程为：22 ca 22 x22b2 y2b2y x m， P(x1， y1)， Q(x2， y2)，联立Error! 消去 y 得 3x24 mx2 m22 b20，故有 16 m243(2 m22 b2)8( m23 b2)03 b2 m2(*)x1 x2 m(1)43x1x2 (m2 b2)(2)23又3 得 x1x2 y1y23，而 y1y2( x1 m)(x2 m) x1x2 m(x1 x2) m2，所以
10、 2x1x2 m(x1 x2) m23 (m2 b2) m2 m23， 3 m24 b29(3)43 43又 R(0， m)，3，( x1， m y1)3( x2， y2 m)从而 x13 x2(4)由(1)(2)(4)得 3m2 b2(5)由(3)(5)解得 b23， m1 适合(*)，所求直线 l 方程为 y x1 或 y x1；椭圆 C 的方程为 1.x26 y2320已知斜率为 1 的直线 l与双曲线2:(0,)yab相交于 B、D 两点，且 BD 的中点为 M（1，3） 。 （1）求双曲线 C 的离心率；（2）若双曲线 C 的右焦点坐标为（3，0） ，则以双曲线的焦点为焦点，过直线
11、:9gxy上一点 M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点 M 应在何处？并求出此时的椭圆方程。【答案】 （）由题设知： l的方程为 2，代入 的方程，并化简得：04222baxab()设 ),(),(21yDxB，则 2214ax， 2214abx 由 )3,(M为 的中点知 21，故 2b即 23. 故 c，2e验证可知方程()的0(）双曲线的左、右焦点为 )0,3(1F、 ),(2，点 1F关于直线 09:yxg的对称点 F的坐标为 )6,9(，直线 的方程为 03yx 解方程组得：交点 M459 分此时 21M最小，所求椭圆的长轴 56221Fa， a又 3c， 62b，故所求椭圆的方程
12、为 136452yx21已知椭圆 C的中心在原点，左焦点为 (,0)，离心率为 2设直线 l与椭圆 C有且只有一个公共点 P，记点 在第一象限时直线 l与 x轴、 y轴的交点分别为 BA、 ，且向量OMAB.求：（I ）椭圆 C的方程；（II） |OM的最小值及此时直线 l的方程【答案】()由题意可知 3c， 23ace，所以 a，于是 12b，由于焦点在 x轴上，故 C 椭圆的方程为214xy(）设直线 l的方程为： mkx)0(， ),0(,(mBkA,142yxk消去 得：12)41(2kx直线 l与曲线 C有且只有一个公共点， 0)(422m即 142k 9 分 OBAM2|kOM11
13、 分将式代入得：2211|45453k当且仅当 k时，等号成立，故 min|OM，此时直线方程为：032yx.22已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，并与直线 y x2 相切63(1)求椭圆 C 的方程；(2)如图 162，过圆 D： x2 y24 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线 m， n.求证： m n.图 162【答案】(1)由 e 知 a23 b2，63椭圆方程可设为 1.x23b2 y2b2又直线 y x2 与椭圆相切，代入得方程4x212 x123 b20 满足 0.由此得 b21.故椭圆 C 的方程为 y21.x23(2)证明：设 P(x0， y0)当
14、 x0 时，有一条切线斜率不存在，此时，刚好 y01，可见，3另一条切线平行于 x 轴， m n；当 x0 时，则两条切线斜率存在设直线 m 的斜率为 k，则其方程为 y y0 k(x x0)，即3y kx y0 kx0.代入 y21 并整理得x23(13 k2)x26 k(y0 kx0)x3( y0 kx0)230.由 0 可得(3 x )k22 x0y0k1 y 0，20 20注意到直线 n 的斜率也适合这个关系，所以 m， n 的斜率 k1， k2就是上述方程的两根，由韦达定理， k1k2 1 y203 x20由于点 P 在圆 D： x2 y24 上，3 x (1 y )，20 20所以 k1k21，所以 m n.综上所述，过圆 D 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线 m， n，总有 m n.
