1、专题 45 分式方程聚焦考点温习理解1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程” 。它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。3、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。名师点睛典例分类考点典例一、判断方程为分式方程【例 1】下列各式中为分式方程的是（ ）Ax+ 1x B 123x
2、C 253x D 10x【答案】B【解析】试题分析：根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断试题解析：A、x+ 1x不是方程，故本选项错误；B、方程 23的分母中含未知数 x，所以它是分式方程故本选项正确；C、方程 5分母中不含未知数，所以它不是分式方程故本选项错误；D、方程 10x的分母中不含未知数，所以它不是分式方程故本选项错误；故选 B考点：分式方程的定义【点睛】本题考查了分式方程的定义判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母） 【举一反三】下列各式中，是分式方程的是（ ）Ax+y
3、=5 B 253xyC 165x D 1x【答案】C考点：分式方程的定义考点典例二、分式方程的解及增根【例 2】 （2015 凉山州）分式方程 23x的解是 【答案】 9x【解析】试题分析：方程的两边同乘 (3)x，得： 23()x，解得 9x检验：把 9x代入(3)540x原方程的解为： 9故答案为： 考点：解分式方程【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根【举一反三】1.（2015 攀枝花）分式方程 13x的根为 【答案】2【解析】试题分析：去分母得： 13x，解得： x=2，经检验 x=2 是分式方程的解故答
4、案为：2考点：解分式方程2.若分式方程 2mx有增根，则这个增根是 【答案】x=1考点：分式方程的增根考点典例三、解分式方程【例 3】 （2015 绵阳） （8 分）解方程： 312x【答案】 32x【解析】试题分析：去分母得：3=2 x+22，解得： 32x，经检验 32x是分式方程的解考点：解分式方程【点睛】本题考查解分式方程的能力，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化为整式方程求解（2）解分式方程一定注意要验根【举一反三】1.（2015 甘孜州） （6 分）解分式方程： 213x【答案】 2x【解析】试题分析：方程最简公分母为 (3)x，方程两边同乘 (3)x
5、将分式方程转化为整式方程求解，要注意检验试题解析：方程两边同乘 ()，得： 21，整理解得： 2x，经检验： 2x是原方程的解考点：解分式方程2.（2015 广安） （6 分）解方程： 1124x【答案】 2x【解析】试题分析：方程最简公分母为： 2()x，将方程去分母转化为整式方程即可求解试题解析：化为整式方程得： 4，解得： 2x，把 代入原分式方程中，等式两边相等，经检验 x是分式方程的解考点：解分式方程考点典例四、分式方程的应用【例 3】 （2015 宜宾） （8 分）列方程或方程组解应用题：近年来，我国逐步完善养老金保险制度甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金 15 万元和
6、10 万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险金 0.2 万元求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金多少万元？【答案】0.6 万元，0.4 万元考点：1分式方程的应用；2应用题【点睛】此题考查分式方程的应用，找出题目蕴含的数量关系，列出方程解决问题【举一反三】1.（2015 遂宁）遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达 36 万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的 1.5 倍，总产量比原计划增加了 9 万千克，种植亩数减少了 20 亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划每亩平均产量 x 万千克，则改良后平均每亩产量为 1.5x 万千克
7、，根据题意列方程为（ ）A 369201.5x B 36201.5 C 369201.5x D 369201.5x【答案】A【解析】试题分析：设原计划每亩平均产量 x 万千克，由题意得： 369201.5x，故选 A考点：由实际问题抽象出分式方程2.某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 8000 元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，服装商又用 17600 元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的 2 倍，但单价贵了 8 元商家销售这种衬衫时每件定价都是 100 元，最后剩下 10 件按 8 折销售，很快售完在这两笔生意中，商家共盈利多少元？【答案】在这两笔生意中，商家共盈利 42
8、00 元考点：分式方程的应用课时作业能力提升一、选择题1.（2015.山东济宁，第 8 题,3 分）解分式方程 231x+=-时，去分母后变形正确的为（ ）A2+（x+2）=3（x-1） B2-x+2=3（x-1）C2-（x+2）=3 D 2-（x+2）=3（x-1）【答案】D【解析】试题分析：根据分式方程的特点，原方程化为： 231x，去分母时，两边同乘以 x1，得： 2()3(1)x.故选 D考点：分式方程的去分母2. （2015.山东枣庄，第 6 题，3 分）已知关于 x 的分式方程 12xa的解为正数，则字母 a 的取值范围是A.a1 B. a1 C.a1 D.a1【答案】B考点：解关
9、于字母系数的分式方程3.(2015.天津市，第 8 题，3 分)分式方程 23x的解为( )（A） x = 0 （B） x = 3 （C） x =5 （D） x = 9【答案】D.【解析】试题分析：方程两边同乘以 x（x-3）可得 2x=3（x-3） ，解得 x=9，经检验 x=9 是分式方程的解，故答案选D.考点：分式方程的解法.4.（2015黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）关于 x 的分式方程 52ax有解，则字母 a 的取值范围是（ ）A a=5 或 a=0 B a0 C a5 D a5 且 a0【答案】D考点：分式方程的解5.（2015辽宁营口）若关于 x的分式方程 223xm有
10、增根，则 的值是( ).A 1m B 0m C D 0m或 =3【答案】A.【解析】试题分析：题中说此分式方程有增根，说明去分母后化成的整式方程的解是 3，所以先把原分式方程化成整式方程，再把 3 代入，求 m 值；原分式方程去分母化为整式方程得：2-（x+m)=2(x-3),将 x=3 代入得：m=-1,故选 A.考点：1.解分式方程；2.增根的意义.6.甲乙两地相距 420 千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5 倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了 2 小时设原来的平均速度为 x 千米/时，可列方程为（ ）A 4201.5xB 401.5xC. 1.5
11、240xD 1.5240【答案】B【解析】试题分析：设原来的平均速度为 x 千米/时，由题意得， 4201.5x故选 B考点：由实际问题抽象出分式方程7.甲、乙两地之间的高速公路全长 200 千米，比原来国道的长度减少了 20 千米高速公路通车后，某长途汽车的行驶速度提高了 45 千米/时，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为 x 千米/时，根据题意，下列方程正确的是（ ）A 201845 B 20145xC x D 2【答案】 B【解析】试题分析：设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为 x 千米/时，根据题意得20145x故选 B考点：由实际问题抽象出分式方程二
12、、填空题8.（2015.山东德州第 14 题，4 分）方程 21x的解是 【答案】 2x【解析】试题分析：去分母得： 22xx，解得： 2x，经检验 2x是分式方程的解，故答案为：2x考点：解分式方程9.（山东东营第 14 题，4 分）若分式方程 ax1无解，则 的值为 【答案】1考点：分式方程的解.10.(2015湖北衡阳，16 题，3 分)方程 132x的解为 【答案】 1x【解析】试题分析： 此题考查解分式方程，首先去分母将分式方程转化为整式方程：原方程两边同时乘以 x(x-2)，得 x-2=3x，移项得， x3 x=2，合并同类项得，2x=2，系数化为 1，得 x=1，检验：当 x=1
13、 时， x(x-2)0，所以 x=1 是原方程的根.注意解分式方程必须要检验根的合理性.考点： 解分式方程11.(2015湖北襄阳,14 题)分式方程 21055xx-=+的解是 【答案】 15x【解析】试题分析：去分母得： 10x，解得： 15x，经检验 15x是分式方程的解故答案为：15x考点：解分式方程三、解答题12.(2015.宁夏，第 17 题，6 分)解方程： 21x【答案】 2x.考点：分式方程的解法.13. (2015.陕西省，第 16 题，5 分)（本题满分 5 分）解分式方程： 13x2【答案】 43x【解析】试题分析：试题解析：去分母，得 ）（ 3)()3()x(2x，去
14、括号，得 9-82，移项，合并同类项，得 6-x，化 x 的系数为 1，得 43，经检验， 是原方程的根，原方程的解为 x.考点：解分式方程.14. (2015.北京市，第 21 题，5 分)为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用.到 2013 年底，全市已有公租自行车 25000 辆，租赁点 600 个.预计到 2015 年底，全市将有公租自行车 50000 辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是 2013 年成平均每个租赁点的公租自行车数量的 1.2 倍.预计 2015 年底，全市将租赁点多少个?【答案】1000考点：分式方程的应用15.（2015辽宁大连）甲乙两人制作某种机械零件.已知甲每小时比乙多做 3 个，甲做 96 个所用时间与乙做 84 个所用时间相等，求甲乙两人每小时各做多少个零件？【答案】24 和 21 个【解析】试题分析：设乙每小时做 x 个零件，则甲每小时做（x+3)个零件，根据等量关系：甲做 96 个所用时间与乙做 84 个所用时间相等，列出方程即可得解；试题解析：设乙每小时做 x 个零件，则甲每小时做（x+3)个零件，由题意得：x84396解得 x=21，经检验 x=21 是方程的解，x+3=24.答：甲乙两人每小时各做 24 和 21 个零件.考点：分式方程的应用.
