1、专题 48 矩形菱形正方形聚焦考点温习理解一、矩形 1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积S 矩形 =长宽=ab二、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3
2、、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理 1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S 菱形 =底边长高=两条对角线乘积的一半三、正方形 1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有 4 条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直
3、角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3、正方形的判定（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。先证它是菱形，再证有一个角是直角。（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形） ；最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积设正方形边长为 a，对角线长为 bS 正方形 = 2ba名师点睛典例分类考点典例一、矩形的性质与判定【例 1】如图，四边形 ABCD 的对角线 AC， BD 交于点 O，已知 O 是 AC 的中点， AE CF， DF BE.(1)求证： BOE
4、DOF；(2)若 OD AC，则四边形 ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论12【答案】 （1）证明见解析；（2）矩形，证明见解析.【解析】试题分析：（1）由 DF 与 BE 平行，得到两对内错角相等，再由 O 为 AC 的中点，得到 OA=OC，又 AE=CF，得到 OE=OF，利用 AAS 即可得证；（2）若 OD= AC，则四边形 ABCD 为矩形，理由为：由 OD= 12AC，得到 OB= 12AC，即 OD=OA=OC=OB，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证（2）若 OD= 1AC，则四边形 ABCD 是矩形，理由为：证明：BOEDOF，OB=OD，OD= 12A
5、C，OA=OB=OC=OD，且 BD=AC，四边形 ABCD 为矩形考点：1.全等三角形的判定与性质；2.平行四边形的判定与性质；3.矩形的判定【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键【举一反三】1.（2015湖南益阳）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，以下说法错误的是（ ）A.ABC=90 B.AC=BD C.OA=OB D.OA=AD【答案】D考点：矩形的性质2.（2015.山东临沂第 12 题，3 分）如图，四边形 ABCD 为平行四边形，延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接E
6、B，EC，DB. 添加一个条件，不能使四边形 DBCE 成为矩形的是（ ）(A) AB=BE. (B) BEDC. (C) ADB=90. (D) CEDE.【答案】B考点：矩形的判定考点典例二、菱形的性质与判定【例 2】(2015湖北荆门，19 题，分)已知，如图，在四边形 ABCD 中， AB CD， E， F 为对角线 AC 上两点，且 AE=CF， DF BE， AC 平分 BAD求证：四边形 ABCD 为菱形【答案】证明见试题解析【解析】试题分析：首先证得 ABE CDF，得到 AB=CD，从而得到四边形 ABCD 是平行四边形，然后证得 AD=CD，利用邻边相等的平行四边形是菱形进
7、行证明即可试题解析： AB=CD， BC=AD，四边形 ABCD 是平行四边形， AB CD， BAE= DCF又 AE=CF， ABE CDF（ SAS） ， AB=CD， AB CD，四边形 ABCD 是平行四边形， AC 平分 BAD， BAE= DAF， BAE= DCF， DAF= DCF， AD=CD，四边形 ABCD 是菱形考点：1菱形的判定；2全等三角形的判定与性质【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键在利用菱形计算或证明时，应充分利用菱形的性质，如“菱形的四条边都相等” “菱形的对角线互相垂直且平分
8、，并且每一组对角线平分一组对角”等.对于菱形的判定，若可证出四边形为平行四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边都相等.【举一反三】1.（山东滨州第 14 题，4 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 15，sin BAC= 35，则对角线 AC 的长为 .【答案】24【解析】试题分析：如图，连接 BD 交 AC 于 O，则根据菱形的性质可得 ACBD，OB=OD,OA=OC,由sinBAC= 35= BA，AB=15，可求 BO=9，在 RtAOB 中，根据勾股定理可求得 OA=12，因此 AC=24.考点：菱形的性质，解直角三角形2.（2015.山东济宁，第
9、19 题,8 分）(本题满分 8 分)如图，在ABC 中，AB=AC，DAC 是ABC 的一个外角.实践与操作：根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）. （1）作DAC 的平分线 AM；（2）作线段 AC 的垂直平分线，与 AM 交于点 F，与 BC 边交于点 E，连接 AE、CF.猜想并证明：判断四边形 AECF 的形状并加以证明.DCBA【答案】试题解析：（1）（2）猜想：四边形 AECF 是菱形证明：AB=AC ，AM 平分CAD B=ACB，CAD=2CAMCAD 是ABC 的外角CAD=B+ACBCAD=2ACB CAM=ACBAFCEEF 垂直平分 AC
10、OA=OC, AOF=COE= 90AOFCOE AF=CE在四边形 AECF 中，AFCE，AF=CE四边形 AECF 是平行四边形又EFAC 四边形 AECF 是菱形考点：角平分线，线段的垂直平分线的基本作图，等腰三角形的内外角，三角形全等，菱形的判定考点典例三、正方形的性质与判定【例 3】如图，在四边形 ABCD 中，ABBC，对角线 BD 平分ABC，P 是 BD 上一点，过点 P 作PMAD，PNCD，垂足分别为 M，N.(1)求证：ADBCDB；(2)若ADC90，求证：四边形 MPND 是正方形【答案】证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证
11、明ABDCBD，由全等三角形的性质即可得到：ADB=CDB；（2）若ADC=90，由（1）中的条件可得四边形 MPND 是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形 MPND 是正方形试题解析：（1）对角线 BD 平分ABC，ABD=CBD，在ABD 和CBD 中， ABCD，ABDCBD（SAS） ，ADB=CDB；考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质.证明一个四边形是正方形，可以先判定为矩
12、形，再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再证有一个角是直角或对角线相等.【举一反三】1.（2015 凉山州）如图，在正方形 ABCD 中，G 是 BC 上任意一点，连接 AG，DEAG 于 E，BFDE 交 AG 于F，探究线段 AF、BF、EF 三者之间的数量关系，并说明理由【答案】AF=BF+EF，理由见试题解析【解析】考点：1全等三角形的判定与性质；2正方形的性质；3和差倍分考点典例四、特殊平行四边形综合题【例 4】如图，在 RtABC 中，ACB90，过点 C 的直线 MNAB，D 为 AB 边上一点，过点 D 作DEBC，交直线 MN 于 E，垂足为 F，连接 CD，BE.
13、(1)求证：CEAD；(2)当 D 在 AB 中点时，四边形 BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若 D 为 AB 中点，则当A 的大小满足什么条件时，四边形 BECD 是正方形？请说明你的理由【答案】 （1）证明见解析；（2）四边形 BECD 是菱形， （3）当A=45时，四边形 BECD 是正方形理由见解析.【解析】试题分析：（1）先求出四边形 ADEC 是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形 BECD 是平行四边形，求出 CD=BD，根据菱形的判定推出即可；（3）求出CDB=90，再根据正方形的判定推出即可试题解析：（1）证明：DEBC，DFB=90，A
14、CB=90，ACB=DFB，ACDE，MNAB，即 CEAD，四边形 ADEC 是平行四边形，CE=AD；（3）当A=45时，四边形 BECD 是正方形，理由是：解：ACB=90，A=45，ABC=A=45，AC=BC，D 为 BA 中点，CDAB，CDB=90，四边形 BECD 是菱形，四边形 BECD 是正方形，即当A=45时，四边形 BECD 是正方形考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力【举一反三】（2015.山东莱芜第 23 题，10 分） （
15、本题满分 10 分）在 AABCD 中， AC、 BD 交于点 O，过点 O 作直线 EF、 GH，分别交平行四边形的四条边于 E、 G、 F、 H 四点，连结 EG、 GF、 FH、 HE.（1）如图，试判断四边形 EGFH 的形状，并说明理由；（2）如图，当 EF GH 时，四边形 EGFH 的形状是 ；（3）如图，在（2）的条件下，若 AC=BD，四边形 EGFH 的形状是 ；（4）如图，在（3）的条件下，若 AC BD，试判断四边形 EGFH 的形状，并说明理由.【答案】 （1）平行四边形（2）菱形（3）菱形（4）正方形试题解析：解：（1）四边形 EGFH 是平行四边形 证明： AAB
16、CD 的对角线 AC、 BD 交于点 O点 O 是 ABCD 的对称中心 EO=FO， GO=HO四边形 EGFH 是平行四边形 （2）菱形 （3）菱形 （4）四边形 EGFH 是正方形 AC=BD， AABCD 是矩形又 AC BD， ABCD 是菱形 AABCD 是正方形， BOC=90， GBO= FCO=45 OB=OC EF GH ， GOF=90 BOG= COF BOG COF OG=OF， GH=EF 由（1）知四边形 EGFH 是平行四边形，又 EF GH， EF=GH. 四边形 EGFH 是正方形考点：平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质课时
17、作业能力提升一、选择题1. （2015 南充）如图，菱形 ABCD 的周长为 8cm，高 AE 长为 3cm，则对角线 AC 长和 BD 长之比为（ ）A1：2 B1：3 C1： 2 D1： 3【答案】D【解析】试题分析：如图，设 AC， BD 相较于点 O，菱形 ABCD 的周长为 8cm， AB=BC=2cm，高 AE 长为3cm， BE= 2ABE=1（ cm） ， CE=BE=1cm， AC=AB=2cm， OA=1cm， AC BD， OB=2O= 3（ cm） ， BD=2OB=23cm， AC： BD=1： 3故选 D考点：菱形的性质2. （2015 资阳）若顺次连接四边形 AB
18、CD 四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形 ABCD 一定是（ ）A矩形 B菱形 C对角线相等的四边形 D对角线互相垂直的四边形【答案】D考点：中点四边形3 （2015 泸州）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）A两组对边分别平行 B两组对角分别相等C对角线互相平分 D对角线互相垂直【答案】D【解析】试题分析：A不正确，两组对边分别平行；B不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确， ；C不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；D菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质故选 D考点：1菱形的性质；2平行四边形的性质4.（2015辽宁丹东）过矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点
19、 O 作 EFAC，交 BC 边于点 E，交 AD 边于点 F，分别连接 AE、CF，若 AB3，DCF 30，则 EF 的长为( ).A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A.考点：1.矩形及菱形性质；2.解直角三角形.5.(2015.安徽省，第 9 题，4 分)如图，矩形 ABCD 中， AB 8， BC 4点 E 在 边 AB 上 ， 点 F 在 边 CD上 ， 点 G、 H 在对角线 AC 上若四边形 EGFH 是菱形，则 AE 的长是（ ）A2 B3 C5 D65 5323【答案】C.【解析】试题分析：连接 EF 交 AC 于点 M,由四边形 EGFH 为菱形可得 FM=EM,EF
20、AC；利用”AAS 或 ASA”易证FMCEMA,根据全等三角形的性质可得 AM=MC；在 RtABC 中，由勾股定理求得 AC=45，且 tanBAC=12BCA； 在 RtAME 中,AM=12AC= 5 ,tanBAC= 12EMA可得 EM= ；在 RtAME 中，由勾股定理求得 AE=5.故答案选 C.考点：菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数.6.（2015.山东德州第 11 题，3 分）如图， AD 是 ABC 的角平分线， DE， DF 分别是 ABD 和 ACD 的高，得到下列四个结论： OA=OD； AD EF；当 A=90时，四边形 AEDF 是正方形； AE+
21、DF=AF+DE其中正确的是（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：如果 OA=OD，则四边形 AEDF 是矩形， A=90，不符合题意，不正确； AD 是 ABC 的角平分线， EAD FAD，在 AED 和 AFD 中， EAD= FAD， AED= AFD=90，AD=AD， AED AFD（ AAS） ， AE=AF， DE=DF， AE+DF=AF+DE，正确；在 AEO 和 AFO 中， AE=AF， EAO= FAO， AO=AO， AE0 AF0（ SAS） ， EO=FO，又 AE=AF， AO 是 EF 的中垂线， AD EF，正确；当 A=90时，四边形 AEDF
22、 的四个角都是直角，四边形 AEDF 是矩形，又 DE=DF，四边形 AEDF 是正方形，正确综上，可得正确的是：故选 D考点：1角平分线的性质；2全等三角形的判定与性质；3正方形的判定7.(2015.山东日照，第 6 题，3 分)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：AB=BC，ABC=90，AC=BD，ACBD 中选两个作为补充条件，使ABCD 为正方形（如图） ，现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】考点：正方形的判定8.(2015.陕西省，第 9 题，3 分)在 ABCD 中，AB=10，BC=14，E、F 分别为边
23、BC、AD 上的点，若四边形AECF 为正方形，则 AE 的长为（ ）A.7 B.4 或 10 C.5 或 9 D.6 或 8【答案】D【解析】试题分析：如图设 AE=x 则 BE=14-x因为四边形 AECF 为正方形 所以AEC=AEB=90在ABE 中，有勾股定理可得 10)x-142（ 解得 x=6 或 8.故选 D. FE DCBA考点：正方形的性质、勾股定理.二、填空题1.（山东泰安，第 23 题） （3 分）如图，在矩形 ABCD 中， M、 N 分别是边 AD、 BC 的中点， E、 F 分别是线段BM、 CM 的中点若 AB=8， AD=12，则四边形 ENFM 的周长为 【
24、答案】20【解析】试题分析： M、 N 分别是边 AD、 BC 的中点， AB=8， AD=12， AM=DM=6，四边形 ABCD 为矩形， A= D=90， BM=CM=10， E、 F 分别是线段 BM、 CM 的中点， EM=FM=5， EN， FN 都是 BCM 的中位线， EN=FN=5，四边形 ENFM 的周长为 5+5+5+5=20，故答案为：20考点：1三角形中位线定理；2勾股定理；3矩形的性质2（2015辽宁沈阳）如图，正方形 ABCD 绕点 B 逆时针旋转 30后得到正方形 BEFG， EF 与 AD 相交于点H，延长 DA 交 GF 于点 K若正方形 ABCD 边长为
25、3，则 AK= 【答案】 23【解析】试题分析：连接 BH，如图所示：四边形 ABCD 和四边形 BEFG 是正方形， BAH= ABC= BEH= F=90，由旋转的性质得： AB=EB， CBE=30， ABE=60，在 Rt ABH 和 Rt EBH 中， BH=BH， AB=EB， Rt ABH Rt EBH（ HL） ， ABH= EBH= 12 ABE=30，AH=EH， AH=ABtan ABH= 3=1， EH=1， FH= 3，在 Rt FKH 中， FKH=30， KH=2FH=2(31)， AK=KH AH=2(1)=2；故答案为： 2考点：旋转的性质3.(2015.山东
26、日照，第 14 题，4 分)边长为 1 的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则ABC 的面积为 【答案】【解析】考点：1.正方形的性质；2.等边三角形的性质；3.含 30 度角的直角三角形4.(2015辽宁葫芦岛） （3 分）如图，在菱形 ABCD 中， AB=10， AC=12，则它的面积是 【答案】96【解析】试题分析：四边形 ABCD 是菱形， AC BD， AC=12， AO=6， AB=10， BO= 2106=8， BD=16，菱形的面积S= 12ACBD= 1612=96故答案为：96考点：菱形的性质5(2015黑龙江哈尔滨）在矩形 ABCD 中，AD=5，AB=4，点 E，F
27、 在直线 AD 上，且四边形 BCFE 为菱形，若线段 EF 的中点为点 M，则线段 AM 的长为_.【答案】5.5 或 0.5【解析】试题分析：菱形 BCFE 的边长为 5，本题需要分两种情况来进行讨论，当点 F 在射线 AD 上时，则 AM=5.5，当点 E 在射线 DA 上时，AM=0.5考点：菱形的性质.6.（2015黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）菱形 ABCD 的对角线 AC=6cm， BD=4cm，以 AC 为边作正方形 ACEF，则 BF 长为 【答案】5 cm 或 73cm【解析】试题分析： AC=6cm， BD=4cm， AO= 12AC= 6=3cm， BO= 12
28、BD= 4=2m，如图 1，正方形 ACEF 在 AC的上方时，过点 B 作 BG AF 交 FA 的延长线于 G， BG=AO=3cm， FG=AF+AG=6+2=8cm，在 Rt BFG 中， BF=2GF= 238= 7cm，如图 2，正方形 ACEF 在 AC 的下方时，过点 B 作 BG AF 于 G， BG=AO=3cm， FG=AF AG=62=4 cm，在 RtBFG 中， BF= 2B= 24=5cm，综上所述， BF 长为 5cm 或 73cm故答案为：5 cm 或73cm考点：1菱形的性质；2正方形的性质；3分类讨论三、解答题1.（8 分） （2015聊城，第 21 题）
29、如图，在ABC 中，AB=BC，BD 平分ABC四边形 ABED 是平行四边形，DE 交 BC 于点 F，连接 CE求证：四边形 BECD 是矩形【答案】【解析】试题分析：根据已知条件易推知四边形 BECD 是平行四边形结合等腰ABC“三线合一”的性质证得BDAC，即BDC=90，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到BECD 是矩形考点：矩形的判定2.（2015 巴中） （10 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， MN 过点 O 且与边 AD、 BC 分别交于点 M 和点 N（1）请你判断 OM 和 ON 的数量关系，并说明理由；（2）过点 D 作
30、 DE AC 交 BC 的延长线于点 E，当 AB=6， AC=8 时，求 BDE 的周长【答案】 （1） OM=ON，理由见试题解析；（2） 2045【解析】试题分析：（1）根据四边形 ABCD 是菱形，判断出 AD BC， AO=OC，即可推得 OM=ON（2）首先根据四边形 ABCD 是菱形，判断出 AC BD， AD=BC=AB=6，进而求出 BO、 BD 的值；然后根据DE AC， AD CE，判断出四边形 ACED 是平行四边形，求出 DE=AC=6，即可求出 BDE 的周长是多少试题解析：（1）四边形 ABCD 是菱形， AD BC， AO=OC， 1OMANC， OM=ON（2
31、）四边形 ABCD 是菱形， AC BD， AD=BC=AB=6， BO= 2ABO= 226(8)= 5， BD=2BO=25=4， DE AC， AD CE，四边形 ACED 是平行四边形， DE=AC=6， BDE 的周长是： BD+DE+BE=BD+AC+（ BC+CE）=45+8+（6+6）= 2045，即 BDE 的周长是 04考点：1菱形的性质；2全等三角形的判定与性质；3勾股定理3.（2015湖南益阳） （10 分）如图，在ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，CAB=ACB，过点 B 作BEAB 交 AC 于点 E（1）求证：ACBD；（2）若 AB=14，co
32、sCAB= ，求线段 OE 的长【答案】略； 154【解析】考点：菱形的判定与性质；平行四边形的性质；解直角三角形4.（2015 甘孜州） （10 分）已知 E， F 分别为正方形 ABCD 的边 BC， CD 上的点， AF， DE 相交于点 G，当E， F 分别为边 BC， CD 的中点时，有： AF=DE； AF DE 成立试探究下列问题：（1）如图 1，若点 E 不是边 BC 的中点， F 不是边 CD 的中点，且 CE=DF，上述结论，是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立” ） ，不需要证明）（2）如图 2，若点 E， F 分别在 CB 的延长线和 DC 的延长线上，且 CE
33、=DF，此时，上述结论，是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图 3，在（2）的基础上，连接 AE 和 BF，若点 M， N， P， Q 分别为 AE， EF， FD， AD 的中点，请判断四边形 MNPQ 是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论【答案】 （1）成立；（2）成立，理由见试题解析；（3）正方形，证明见试题解析试题解析：（1）上述结论，仍然成立，理由是：四边形 ABCD 为正方形， AD=DC， BCD= ADC=90，在 ADF 和 DCE 中， DF=CE， ADC= BCD=90， AD=CD， ADF DCE（ SAS） ， AF=
34、DE， DAF= CDE， ADG+ EDC=90， ADG+ DAF=90， AGD=90，即 AF DE；（2）上述结论，仍然成立，理由是：四边形 ABCD 为正方形， AD=DC， BCD= ADC=90，在 ADF 和 DCE 中， DF=CE， ADC= BCD=90， AD=CD， ADF DCE（ SAS） ， AF=DE， E= F， ADG+ EDC=90， ADG+ DAF=90， AGD=90，即 AF DE；（3）四边形 MNPQ 是正方形理由是：如图，设 MQ， DE 分别交 AF 于点 G， O， PQ 交 DE 于点 H，点 M， N， P， Q 分别为 AE， EF， FD， AD 的中点， MQ=PN= 12DE， PQ=MN= 12AF， MQ DE， PQ AF，四边形 OHQG 是平行四边形， AF=DE， MQ=PQ=PN=MN，四边形 MNPQ 是菱形， AF DE， AOD=90， HQG= AOD=90，四边形 MNPQ 是正方形考点：1四边形综合题；2综合题；3存在型；4探究型；5压轴题
