1、考点二十五：一元二次方程 聚焦考点温习理解一、一元二次方程及有关概念1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.2. 一般形式:ax 2+bx+c=0(其中 a、b、c 为常数，a0)，其中 ax2、bx、c 分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b 分别称为二次项系数和一次项系数.3. 一元二次方程必须具备三个条件：(1)必须是整式方程；(2)必须只含有 1 个未知数；(3)所含未知数的最高次数是 2.【温馨提示】在一元二次方程的一般形式中要注意 a0.因为当 a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程.4. 一元二次方程的
2、解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.二、一元二次方程的解法：解一元二次方程的基本思想转化，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法.三、一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程 ax2 bx c0( a0)：(1)b24 ac0方程有两个不相等的实数根；(2)b24 ac0方程有两个的实数根；(3)b24 ac0方程没有实数根四、一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程 ax2bxc0(a0)的两根分别为 x1，x 2，则有 x1x 2 ba，x 1x2 c五、一元二次方程的应用1. 列
3、一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步.2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：(1)增长率等量关系:A.增长率 增 长 量基 础 量 100%；B.设 a 为原来量，m 为平均增长率,n 为增长次数，b 为增长后的量，则 a(1+m)n=b;当 m 为平均下降率，n为下降次数，b 为下降后的量时，则有 a(1-m)n=b.(2)利润等量关系:A.利润售价-成本；B.利润率利润成本100%.(3)面积问题名师点睛典例分类考点典例一、解一元二次方程【例 1】 （2015.重庆市 A 卷，第
4、8 题，4 分）一元二次方程 20x的根是（ ）A. 120,x B. 12,x C. D. 0【答案】D.【解析】试题分析：此题考察一元二次方程的解法，观察发现可以采用提公因式法来解答此题.原方程可化为： 0)2(x，因此 x或 02，所以 2,1x.故选：D.考点：一元二次方程的解法因式分解法提公因式法.【点睛】一元二次方程有四种解法:因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法.（1）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为 0,可考虑用因式分解法求解;（2）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解;（3）若一元二次方程的二次项系数为 1,且一次项的系数是偶数时或常数项
5、非常大时,可考虑用配方法求解;（4）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解.【举一反三】解方程:x 24x10【答案】x 1=-2+ 5，x 2=-2- 考点：解一元二次方程-配方法考点典例二、配方法【例 2】用配方法把代数式 3x2 x22 化为 a(x m)2 n 的形式，并说明不论 x 取何值，这个代数式的值总是负数并求出当 x 取何值时，这个代数式的值最大【答案】证明见解析； 4，- 78.【解析】试题分析：先利用配方法得到 3x-2x2-2=-2（x- 34） 2- 78，再根据非负数的性质得到-2（x- 34） 2- 780，即不论 x 取何值，3x-2x 2-2 的值
6、总是负数，易得当 x= 时，这个代数式的值最大试题解析：3x-2x 2-2=-2x2+3x-2=-2（x 2- 3x）-2=-2（x 2- x+ 916- ）-2=-2（x- 4） 2- 78，（x- 3） 20，-2（x- ） 20，-2（x- 4） 2- 780，不论 x 取何值，3x-2x 2-2 的值总是负数，且当 x= 34时，这个代数式的值最大，最大值为- 78考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方【点睛】(1)代数式的配方是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系，讨论不等关系的常用方法在配方前，先将二次项系数2 提出来，使括号中的二次项系数化为 1，然后
7、通过配方分离出一个完全平方式(2)注意与方程的配方的区别【举一反三】（山东滨州第 5 题，3 分）用配方法解一元二次方程 0162x时，下列变形正确的为( )A. 1)2x（ B. )3x（ C. 9（ D. 92（【答案】D考点：配方法解一元二次方程考点典例三、一元二次方程根的判别式【例 3】 （2015.重庆市 B 卷，第 8 题，4 分）已知一元二次方程 2530x，则该方程根的情况是( )A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C两个根都是自然数 D无实数根【答案】A【解析】试题分析：当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程没有实数解.
8、根据题意可得：= 2(5)-423=2524=10，则方程有两个不相等的实数根.考点：一元二次方程根的判别式.【点睛】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0，a，b，c 为常数）的根的判别式=b 2-4ac当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根【举一反三】1.（2015.山东滨州第 3 题，3 分）一元二次方程 241x的根的情况是( )A.没有实数根 B.只有一个实数根C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根【答案】C考点：一元二次方程的根的判别式2.(2015湖北荆门，7 题，3 分)若关于 x 的一元二次方程 2450xa
9、有实数根，则 a 的取值范围是（ ）A 1a B C 1a D 【答案】A【解析】试题分析：关于 x 的一元二次方程 2450xa有实数根，= 2(4)5)0a， 1故选 A考点：根的判别式考点典例四、一元二次方程根与系数的关系【例 4】 （山东枣庄，第 8 题，3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x+mx+n=0 的两个实数根分别为x1=2，x =4.则 m+n 的值是A.10 B.10 C.6 D.2【答案】B【解析】试题分析：由一元二次方程根与系数的关系可得-2+4=-m,-24=n，解得 m=-2,n=-8,所以 m+n=-10.故选B考点：一元二次方程根与系数的关系【点睛】本题考查
10、了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程两个为 x1，x 2，则x1+x2=- ba，x 1x2= c【举一反三】1.(2015湖北荆门，15 题，3 分)已知关于 x 的一元二次方程 2(3)10xmx的两个实数根为 1x，2x，若 214x，则 m 的值为 【答案】1 或3【解析】考点：1根与系数的关系；2根的判别式2.(2015.山东日照，第 15 题，4 分)如果 m，n 是两个不相等的实数，且满足 m2m=3，n 2n=3，那么代数式 2n2mn+2m+2015= 【答案】2026【解析】试题分析：解：由题意可知：m，n 是两个不相等的实数，且满足 m2m
11、=3，n 2n=3，所以 m，n 是 x2x3=0 的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=3，又 n2=n+3，则 2n2mn+2m+2015=2（n+3）mn+2m+2015=2n+6mn+2m+2015=2（m+n）mn+2021=21（3）+2021=2+3+2021=2026故答案为：2026考点：根与系数的关系考点典例五、一元二次方程的应用【例 5】某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植 3 株时，平均每株盈利 4 元；若每盆增加 1 株，平均每株盈利减少 0.5 元，要使每盆的盈利达到 15 元，每盆应多植多少株？设每盆多植 x 株，则可以列
12、出的方程是( )A. （3+ x） （4-0.5 x）=15 B. （ x+3） （4+0.5 x）=15C. （ x+4） （3-0.5 x）=15 D. （ x+1） （4-0.5 x）=15【答案】A【解析】试题分析：根据已知假设每盆花苗增加 x 株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4-0.5x）元，由题意得（x+3） （4-0.5x）=15 即可试题解析：解：设每盆应该多植 x 株，由题意得（3+x） （4-0.5x）=15，故选：A考点：由实际问题抽象出一元二次方程【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键【举一反三】1
13、.(2015.安徽省，第 6 题，4 分)我省 2013 年的快递业务量为 1.4 亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014 年增速位居全国第一若 2015 年的快递业务量达到 4.5 亿件，设 2014 年与 2013 年这两年的平均增长率为 x，则下列方程正确的是（ ）A1.4(1 x)4.5 B1.4(12 x)4.5C1.4(1 x)24.5 D1.4(1 x)1.4(1 x)24.5【答案】C.【解析】试题分析：设 2014 年与 2015 年这两年的平均增长率为 x，则 2014 年的业务量为 1.4（1+x）亿件，2015年的业务量为 1.4（
14、1+x） 2亿件，又因 2015 年的快递业务量达到 4.5 亿件，所以可列方程为 1.4（1+x）2=4.5，故答案选 C.考点：一元二次方程的应用.2.（2015.山东济南，第 12 题,3 分）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 3cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为 300 3cm，则原铁皮的边长为（ ）A 10cm B 13cm C 14cm D 16cm【答案】D考点：一元二次方程的应用课时作业能力提升一、选择题1.（2015辽宁丹东）若 x=1 是一元二次方程 02ax的一个根，那么 a .【答案】-3.【解析】试题分析：x=1 是一元二次方程 02ax的一
15、个根，将 x=1 代入此方程得：1+2+a=0,a=-3.考点：一元二次方程根的意义.2. （2015 达州）方程 21()34m有两个实数根，则 m 的取值范围（ ）A 52 B 5且 C 3m D 3且 2【答案】B【解析】试题分析：根据题意得： 2031()4()0mm，解得 52m且 故选 B考点：1根的判别式；2一元二次方程的定义3.(2015.宁夏，第 5 题，3 分) 关于 x的一元二次方程 20xm有实数根，则 m的取值范围是 （ ） A. m 14 B. 14 C. m 14 D. 14【答案】D.【解析】试题分析：由关于 x的一元二次方程 20x有实数根可得0，即 1-4m
16、0，解得 m 14，故答案选 D.考点：一元二次方程根的判别式.4. (2015.北京市，第 14 题，3 分)关于 x 的一元二次方程 2104axb有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数 a， b 的值 a_， b_.【答案】 1 (满足 b2 a， a0 即可，答案不唯一)考点：一元二次方程根的判别式5.(2015.上海市，第 10 题，4 分)如果关于 x的一元二次方程 240xm没有实数根，那么 m的取值范围是_【答案】 m【解析】试题分析：由于方程没有实数根，故 24()0m，解得 4.考点：根的判别式.6 （2015 南充）关于 x 的一元二次方程 2nx有两个整数根且乘积为
17、正，关于 y 的一元二次方程 022mny同样也有两个整数根且乘积为正给出四个结论：这两个方程的根都是负根；)1()(； 121其中正确结论的个数是（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【答案】C考点：1根与系数的关系；2根的判别式7.（2015 广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 2710x的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A12 B9 C13 D12 或 9【答案】A【解析】试题分析： 2710x， (2)50x， 12x， 5，等腰三角形的三边是 2，2，5，2+25，不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；等腰三角形的三边是 2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角
18、形的周长是 2+5+5=12；即等腰三角形的周长是 12故选 A考点：1解一元二次方程-因式分解法；2三角形三边关系；3等腰三角形的性质9.（2015 巴中）某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由 560 元降为 315 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为 x，下面所列的方程中正确的是（ ）A 2560(1)35x B 260(1)35x C 260(1)35 D 260(1)35x【答案】B【解析】试题分析：设每次降价的百分率为 x，由题意得： 2560(1)35x，故选 B考点：1由实际问题抽象出一元二次方程；2增长率问题二、填空题10.(2015辽宁
19、葫芦岛） （3 分）已知 k、 b 是一元二次方程 ()10的两个根，且 k b，则函数 ykxb的图象不经过（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】试题分析： k、 b 是一元二次方程 (21)30x的两个根，且 k b， 13， 2b，函数132yx的图象不经过第二象限，故选 B考点：1一次函数图象与系数的关系；2解一元二次方程-因式分解法二填空题11(2015辽宁葫芦岛） （3 分）若一元二次方程 2(1)450mx没有实数根，则 m 的取值范围是 【答案】 m 15【解析】试题分析：一元二次方程 2(1)450x没有实数根，=164（ m1）（5）0，且m
20、10， m 15故答案为： m 考点：1根的判别式；2一元二次方程的定义12.（2015黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭） ABC 的两边长分别为 2 和 3，第三边的长是方程2850x的根，则 ABC 的周长是 【答案】8考点：1解一元二次方程-因式分解法；2三角形三边关系13.(山东莱芜第 15 题，3 分)某公司在 209年的盈利额为 20万元，预计 201年的盈利额将达到 24万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在 年的盈利额为_万元【答案】220【解析】试题分析：根据题意可设每年比上一年盈利额增长的百分率为 x，所以有 2014x，解得120.,.1x（舍去）
21、，所以该公司在 2010 年的盈利额为 2(.)万元.考点：一元二次方程的应用（增长率问题）14.（2015黑龙江绥化）若关于 x 的一元二次方程 ax2+2x-1=0 无解 ，则 a 的取值范围是_.【答案】a-1【解析】试题分析：当 04a 时，一元二次方程无解，解得 a-1，且 0，所以 a 的取值范围是 a-1.考点：一元二次方程.15.（2015 达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施经调査，如果每件童装降价 1 元，那么平均每天就可多售出2 件要想平均每天销售这种童装盈利 1200 元，则每件
22、童装应降价多少元？设每件童裝应降价 x 元，可列方程为 【答案】 （40 x） （20+2 x）=1200【解析】试题分析：设每件童裝应降价 x 元，可列方程为：（40 x） （20+2 x）=1200故答案为：（40 x）（20+2 x）=1200考点：1由实际问题抽象出一元二次方程；2销售问题16.（2015 内江）已知关于 x 的方程 260xk的两根分别是 1x， 2，且满足 123x，则 k 的值是 【答案】2【解析】试题分析：关于 x 的方程 260xk的两根分别是 1x， 2， 126x， 12k，12123xk，解得： k=2，故答案为：2考点：根与系数的关系17.（2015
23、泸州）设 1x、 2是一元二次方程 2510x的两实数根，则 21x的值为 【答案】27【解析】试题分析： 1x、 2是一元二次方程 2510x的两实数根， 125， ， 12= 21()x=25+2=27，故答案为：27考点：根与系数的关系三、解答题18.（2015辽宁大连）解方程 046x2【答案】 31,31x2考点：解一元二次方程.19 （2015湖北鄂州，20 题，8 分）关于 x 的一元二次方程 x2+(2k+1)x+k2+1=0 有两个不等实根 12,x.（1） （4 分）求实数 k 的取值范围（2） （4 分）若方程两实根 12,x满足 x1+ x2= x1x2， 求 k 的值
24、【答案】 （1）k 3；（2）2.【解析】试题分析：(1) 方程有两个不相等的实数根,故 0，解不等式即可求出 k 的取值范围； （2）由题意设方程 x2+（2k+1）x+k 2+1=0 两根为 x1，x 2，利用根与系数的关系，代入求值即可.试题解析：（1）原方程有两个不相等的实数根 = )1k2(2 4（ 2+1)=4k2+4k+14k 24=4k30解得：k 3(2) k 4 x1+ x2 =(2k+1)0 又 x1x2 = k2+10 x10， x2 0 x1+ x2= x1 x2 =( x1+x2)=2k+1 x1+ x2= x1x2 2k+1=k 2+1 k 1=0, k2=2 又
25、 k 43 k=2 考点：1.根的判别式；2.根与系数的关系20.（2015 南充） （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 2)4(1px， p 为实数（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2） p 为何值时，方程有整数解 （直接写出三个，不需说明理由）【答案】 （1）证明见试题解析；（2）答案不唯一，如： p=0，1【解析】试题分析：（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明0 即可；（2）要是方程有整数解，那么 2124xp为整数即可，于是求得当 p=0，1 时，方程有整数解试题解析；（1）原方程可化为 50，= 22(5)4()= 90，不论 m为任何实数，方程总有两个不相
26、等的实数根；（2）方程有整数解， 2124xp为整数即可，当 p=0，1 时，方程有整数解考点：1根的判别式；2开放型21.（2015 自贡） （10 分）利用一面墙（墙的长度不限） ，另三边用 58m 长的篱笆围成一个面积为 200m2的矩形场地，求矩形的长和宽【答案】当矩形长为 25 米是宽为 8 米，当矩形长为 50 米是宽为 4 米考点：1一元二次方程的应用；2几何图形问题22.（2015 巴中） （8 分）如图，某农场有一块长 40m，宽 32m 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为 1140m2，求小路的宽【答案】2 m【解析】试题分析：本题可设小路的宽为 xm，将 4 块种植地平移为一个长方形，长为（40 x） m，宽为（32 x）m根据长方形面积公式即可求出小路的宽试题解析：设小路的宽为 xm，依题意有：（40 x） （32 x）=1140，整理，得 27140解得 12x， 70（不合题意，舍去） 答：小路的宽应是 2m考点：1一元二次方程的应用；2几何图形问题
