1、章末分层突破自我校对斜率yf(x 0)f (x0)(xx 0)f(x)g( x)f(x)g(x) f(x )g(x)fxgx fxgxgx2导数的几何意义利用导数的几何意义求切线方程时，关键是搞清所给的点是不是切点，常见类型有两种：(1)函数 yf(x)“在点 x x0 处的切线方程” ，这种类型中(x 0，f( x0)是曲线上的点，其切线方程为 y f(x0)f(x 0)(xx 0).(2)函数 yf(x)“过某点的切线方程” ，这种类型中，该点不一定是切点，可先设切点 Q(x1，y 1)，则切线斜率为 f(x1)，再由切线过点 P(x0，y 0)得斜率为，又由 y1f(x 1)，由上面两个
2、方程可得切点(x 1，y 1)，即求出了过点y1 y0x1 x0P(x0，y 0)的切线方程.已知函数 f(x)ax 33x 26ax11，g(x) 3x26x12，直线m：ykx9 ，且 f(1)0.(1)求 a 的值；(2)是否存在实数 k，使直线 m 既是曲线 yf(x)的切线，又是 yg(x)的切线？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，说明理由 .【精彩点拨】 (1) 求 fx f 1 0 求 得 a(2) 设 直 线 m与 y gx相 切 求 出 相 应 切 线 的 斜 率 与 切 线 方 程检 验 切 线 是 否 与 y fx相 切 得 结 论【规范解答】 (1)因为 f(x)3
3、ax 26x6a，且 f(1)0，所以 3a66a0，得 a2.(2)因为直线 m 过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线 yg(x )相切的直线方程.设切点为(x 0,3x 6x 012)，20又因为 g(x0)6x 06.所以切线方程为y(3x 6x 012)(6x 0 6)(xx 0).20将点(0,9)代入，得 93x 6 x0126 x 6x 0，20 20所以 3x 3 0，得 x0 1.20当 x01 时， g(1)12，切点坐标为(1,21)，所以切线方程为 y12x 9；当 x01 时， g(1)0，切点坐标为(1,9)，所以切线方程为 y9.下面求曲线 yf (x)
4、的斜率为 12 和 0 的切线方程：因为 f(x)2x 33x 212x11，所以 f(x)6x 26x12.由 f(x)12，得6x 26x1212，解得 x0 或 x1.当 x0 时， f(0)11，此时切线方程为 y12x 11；当 x1 时， f(1)2，此时切线方程为 y12x10.所以 y12x9 不是公切线 .由 f(x)0，得6x 26x120，解得 x1 或 x2.当 x1 时， f(1) 18，此时切线方程为 y18；当 x2 时， f(2)9，此时切线方程为 y9，所以 y9 是公切线 .综上所述，当 k0 时，y9 是两曲线的公切线.此题直线 m 恒过点0，9是解题的突
5、破口，即若 m 是 fx，g x的公切线，则切线必过点 0，9 .一般说来，求过定点的两曲线公切线的一般思路是：先求出过定点的一曲线的切线方程，再令斜率值与另一曲线的导数相等，求出可能的切点，得出对应切线方程.若两条直线方程相同，则为公切线；若不同，则不存在公切线.当然，也可能会存在切线斜率不存在的情况.再练一题1.已知函数 f(x)x 3x16.(1)求曲线 yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线 l 为曲线 yf(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线 yf(x)的某一切线与直线 y x3 垂直，求切点坐标与切14线的方程. 【导学号：977920
6、54】【解】 (1)可判定点 (2，6) 在曲线 yf(x)上.f(x)(x 3x16) 3x 21，f(x)在点(2 ， 6)处的切线的斜率为 kf(2)13.切线的方程为 y(6)13(x2)，即 y13x32.(2)设切点为(x 0，y 0)，则直线 l 的斜率为 f(x0)3x 1，20直线 l 的方程为 y(3 x 1)(xx 0)x x 016.20 30又直线 l 过点(0,0) ，0(3 x 1)( x 0)x x 016，20 30整理得，x 8，30x 02.y 0(2) 3(2) 1626.k3(2) 2113.直线 l 的方程为 y13x ，切点坐标为(2，26).(3
7、)切线与直线 y 3 垂直，x4切线的斜率 k4.设切点的坐标为(x 0，y 0)，则 f(x0)3x 14，20x 01 ，Error!或Error!即切点坐标为(1，14) 或(1，18).切线方程为 y4(x 1) 14 或 y4(x1) 18.即 y4x18 或 y4x14.利用导数研究函数的单调性在某个区间(a，b) 内，如果 f(x)0，则 f(x)在这个区间上为增函数；如果f(x)0，则 f(x)在这个区间上为减函数.应注意：在区间内 f(x)0或 f(x)0是 f(x)在这个区间上为增函数 (或减函数)的充分条件，而不是必要条件 .如果 f(x)在某个区间上为增函数，那么 f(
8、x)0；如果 f(x)在某个区间上为减函数，那么f(x)0.利用导数研究函数单调性的步骤为：(1)求 f(x)；(2)解不等式 f(x)0 或 f(x)0；(3)确定并指出函数的单调递增区间、递减区间.已知函数 f(x) ，x 0,14x2 72 x(1)求 f(x)的单调区间和值域；(2)设 a1，函数 g(x)x 33a 2x2a，x 0,1，若对于任意 x10,1，总存在 x00,1，使得 g(x0)f(x 1)成立，求 a 的取值范围.【导学号：97792055】【精彩点拨】 (1)求 f(x)，列表，求单调区间及最值；(2)任意存在型问题，转化为 f(x)的值域是 g(x)值域的子集
9、.【规范解答】 (1)f(x ) ， 4x2 16x 72 x2 2x 12x 72 x2令 f(x)0，得 x 或 x (舍去).12 72当 x 变化时， f(x)，f(x) 的变化情况如下表：x 0 (0，12) 12 (12，1) 1f(x) 0 f(x) 72 4 3当 x 时，f( x)是减函数；(0，12)当 x 时，f( x)是增函数.(12，1)当 x0,1时，f(x)的值域为4，3.(2)对函数 g(x)求导，得 g(x)3( x2a 2).a1，当 x0,1 时，g(x)3(1a 2)0，且 g(x)0 的根为有限个.当 x0,1时，g(x)为减函数.当 x0,1时，g(
10、x)g(1) ，g(0).又 g(1)1 2a3a 2，g(0)2a，即 g(x)1 2a3a 2，2a.任给 x10,1，f(x 1)4，3.存在 x00,1，使得 g(x0)f(x 1)，则1 2a3a 2，2a 4，3 ，即Error!解式得 a1 或 a ，解式得 a .53 32又 a1，a 的取值范围为 .1，321.利用导数求函数的单调区间，也就是求函数定义域内不等式 f(x)0 或f(x)0 的解集.2.已知函数在某个区间上单调，求参数问题，通常是转化为恒成立问题.再练一题2.已知 aR 函数 f(x)(x 2ax)e x(xR).(1)当 a2 时，求函数 f(x)的单调区间
11、；(2)若函数 f(x)在(1,1)上单调递增，求 a 的取值范围.【解】 当 a2 时，f(x )(x 22x)e x，f(x)(x 22)e x.当 f(x)0 时，(x 22)e x0，注意到 ex0，所以x 22 0，解得 x .2 2所以，函数 f(x)的单调递增区间为 ( ， ).同理可得，函数 f(x)的单调递2 2减区间为( ， )和( ，).2 2(2)因为函数 f(x)在(1,1)上单调递增，所以 f(x)0 在(1,1)上恒成立.又 f(x)x 2(a2)x aex，即x 2( a2)xae x0，注意到 ex0，因此x 2(a2)xa0 在(1,1)上恒成立，也就是 a
12、 x1 在(1,1)上恒成立 .x2 2xx 1 1x 1设 yx1 ，1x 1则 y1 0，1x 12即 yx1 在(1,1)上单调递增，1x 1则 y11 ，11 1 32故 a .32即 a 的取值范围为 .32， )导数与函数的极值(最值)及恒成立问题利用导数研究函数的极值和最值应明确求解步骤，求解时切记函数的定义域，正确区分最值与极值的不同.函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值比较大小；而最值是在整个区间上对函数值比较大小.函数的极值可以有多个，但最值只能有一个，极值只能在区间内取得，而最值还可以在端点处取得，最值只要不在端点处，必是一个极值.已知函数 f(x)x 3
13、 3ax29a 2xa 3.(1)设 a1，求函数 f(x)的极值；(2)若 a ，且当 x1,4a时，f(x)a 312a 恒成立，试确定 a 的取值范围.13【规范解答】 (1)当 a1 时，f(x )x 33x 29x 1 且 f(x)3x 26x9，由 f(x)0 得 x1 或 x3.当 x1 时， f(x)0，当1x3 时，f(x) 0，因此 x1 是函数的极大值点，极大值为 f(1) 6；当1x3 时，f (x)0，当 x3 时，f(x) 0，因此 x3 是函数的极小值点，极小值为 f(3)26.(2)f(x) 3x 26ax 9a 23(x a)(x3a)，a ，13当 1x3
14、a 时，f (x)0；当 3ax4a 时 f(x)0.x1,4a 时，f(x)的最小值为 f(3a)26a 3.由 f(x)a 312a 在1,4a 上恒成立得26a 3a 312 a.解得 a .23 23又 a ， a .13 13 23即 a 的取值范围为 .(13，23一般地，已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围问题，都可以转化为求函数的最值问题，而导数是解读函数最值问题的有力工具.再练一题3.已知函数 f(x)ax 3bx 2cx 在点 x0 处取得极小值 4，使其导函数 f(x)0 的 x 的取值范围为 (1,3).(1)求 f(x)的解析式及 f(x)的极大值；(2)当
15、x2,3时，求 g(x) f(x)6(m2)x 的最大值.【解】 (1)由题意知 f(x)3ax 22bxc 3a(x1)(x3)(由题意 f(x)0的 x 的范围(1,3)可知 a0) ，在( ，1)上 f(x)0，f(x)是减函数，在(1,3)上 f(x)0，f(x) 是增函数，在(3， ) 上 f(x)0，f(x)是减函数.因此 f(x)在 x01 处取得极小值4，在 x3 处取得极大值 .Error!解得 a1，b6，c 9，f(x)x 36x 29x .则 f(x)在 x3 处取得极大值 f(3)0.(2)g(x)3x 212x 96( m2)x3(x 22mx 3)，g(x)6x6
16、m0，得 xm.当 2m3 时，g(x)maxg( m)3m 29；当 m2 时，g(x )在2,3上是递减的，g(x) maxg (2)12m 21；当 m3 时，g(x )在2,3上是递增的，g(x) maxg (3)18m 36.因此 g(x)maxError!导数与不等式问题利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点.考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强.已知函数 f(x)
17、(k 为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，ln x kex曲线 yf( x)在点 (1，f(1) 处的切线与 x 轴平行.(1)求 k 的值；(2)求 f(x)的单调区间；(3)设 g(x)xf(x )，其中 f(x)为 f(x)的导函数.证明：对任意 x0，g(x)1e 2 .【精彩点拨】 (3)中要借助于(2) 的结论，构造函数.【规范解答】 (1)f(x ) ，1x ln x kex由已知，f(1) 0， k1.1 ke(2)由(1)知，f(x) .1x ln x 1ex设 k(x) ln x1，则 k(x) 0，即 k(x)在(0，)上是减函数，1x 1x2 1x由 k(1)
18、0 知，当 0x1 时，k(x) 0，从而 f(x)0，当 x1 时， k(x)0，从而 f(x)0.综上可知，f(x )的单调递增区间是 (0,1)，单调递减区间是 (1，).(3)由(2)可知，当 x1 时，g(x)xf (x)01e 2 ，故只需证明 g(x)1e 2 在 0x 1 时成立 .当 0x1 时， ex1，且 g(x)0，g(x) 1x ln xx.1 xln x xex设 F(x)1 xln xx ，x (0,1)，则 F(x)(ln x2)，当 x(0，e 2)时，F(x ) 0，当 x(e 2, 1)时，F(x )0 ，所以当 xe 2 时，F( x)取得最大值 F(e2 )1e 2 .所以 g(x)F( x)1e 2 .综上，对任意 x0，g(x )1e 2 .利用导数解决不等式问题如：证明不等式，比较大小等，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式或比较大小常与函数最值问题有关.因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后判断这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间上的最值使问题得以求解.
