1、9-2 求平面图形内各点速度的基点法一、基点法现在讨论平面图形内各点的速度。由前一节分析可知，任何平面图形的运动可分解为两个运动：（1）牵连运动，即随同基点 的平移；O（2）相对运动，即绕基点 的转动。于是，平面图形内任一点 M 的运动也是两个运动的合成，因此可用速度合成定理来求它的速度，这种方法称为基点法。因为牵连运动是平移，所以点 M 的牵连速度等于基点的速度 ，如图 9-Ov8 所示。图 9-8 图 9-9又因为 M 点的相对运动是是以点 为圆心的圆周运动，所以点 M 的相对O速度就是平面图形绕点 转动时点 M 的速度，以 表示，它垂直于 而 OMv朝向图形的转动方向，大小为 Ov式中
2、是平面图形角速度的绝对值（以下同） 。以速度 和 为边作平行四OvM边形，于是，点 M 的绝对速度就由这个平行四边形的对角线确定，即(9-2)OMv上式是平面图形内任意点 M 的速度分解式。根据此式，可作出平面图形内直线上各点速度的分布图，如图 9-9 所示。O二、关于基点法的结论结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。根据这个结论，平面图形内任意两点 A 和 B 的速度 vA 和 vB 必存在一定关系。如果选取点 A 为基点，以 vBA 表示点 B 相对点 A 的相对速度，根据上述结论，得(9-3)v式中相对速度 vBA 的大小为 AB它的方向垂直于 A
3、B，且朝向图形转动的一方。在解题时，我们常用式(9-3)。与前一章的分析相同，在这里 vA，v B 和 vBA各有大小和方向两个要素，共计六个要素，要使问题可解，一般应有四个要素是已知的。在平面图形的运动中，点的相对速度 vBA 的方向总是已知的，它垂直于线段 AB。于是，只须知道任何其它三个要素，便可作出速度平行四边形。三、应用基点法求解的例题例 9-1椭圆规尺的 A 端以速度 vA 沿 x 轴的负方向运动，如图 9-10 所示，AB=l。求 B 端的速度以及尺 AB 的角速度。解：椭圆规尺 AB 作平面运动，因而可用公式BAv在本题中 vA 的大小和方向，以及 vB 的方向都是已知的（因
4、B 端在 y 轴作直线运动） 。共计有三个要素是已知的，再加上 vBA 的方向垂直于 AB 这一要素，可以作出速度平行四边形如图 9-10 所示。图 9-10作图时，应注意使 vB 位于平行四边形的对角线上。由图中的几何关系可得 cotABv此外 sinBA但另一方面， ，此处 是尺 AB 的角速度，由此，得vBAsinlvvABA例 9-2图 9-11 所示平面机构中，AB=BD=DE=l=300mm。在图示位置时，BD AE，杆 AB 的角速度为 。求此瞬时杆 DE 的角速度和杆 BDrad/s5中点 C 的速度。解：杆 DE 绕点 E 转动，为求其角速度可先求点 D 的速度。杆 BD 作
5、平面运动，而点 B 也是转动刚体 AB 上的一点，其速度为 m/s1.5rad/30lvB方向如图。图 9-11对于平面运动的杆 BD，可以点 B 为基点，按式(9-3)得 Dv其中 vB 大小和方向均为已知，相对速度 vDB 的方向与 BD 垂直，点 D 的速度vD 与 DE 垂直。由于上式中四个要素是已知的，可以作出其速度平行四边形如图所示，其中 vD 位于平行四边形的对角线。由此瞬时的几何关系，得知 m/s5.1BDv于是解出此瞬时杆 DE 的角速度 rad/s./03lDE方向如图。vDB 为点 D 相对 B 的速度，应有 BDv由此可得此瞬时杆 BD 的角速度为5rad/s0.3m1
6、/lvDB方向如图。在求得杆 BD 角速度的基础上，可以点 B 或 D 为基点，求出杆 BD上任一点的速度。如仍以点 B 为基点，杆 BD 中点 C 的速度为BCv其中 vB 的大小和方向均为已知，v CB 方向与杆 BD 垂直，大小为。m/s75.02lDC已知四个要素，可作出上式的速度平行四边形如图。由此瞬时速度矢的几何关系，得出此时 vC 的方向恰好沿杆 BD，大小为 m/s29.12CBv例 9-3曲柄连杆机构如图 9-12a 所示，OA=r， 。如曲柄 OA 以匀角速rA3度 转动，求当 ， 和 时点 B 的速度。609(a) (b) (c)图 9-12解：连杆 AB 作平面运动，以
7、点 A 为基点，点 B 的速度为ABv其中 ，方向与 OA 垂直，v B 沿 OB 方向，v BA 与 AB 垂直。上式中四rvA个要素是已知的，可以作出其速度平行四边形。当 时， ，OA 恰与 AB 垂直，其速度平行四边形如60OAB3图 9-12a 所示，解出 rvB320cos当 时，v A 与 vBA 均垂直于 OB，也垂直于 vB，按速度平行四边形0合成法则，应有 vB=0（图 9-12b） 。当 时，v A 与 vB 方向一致，而 vBA 又垂直于 AB，其速度平行四边9形应为一直线段，如图 9-12c 所示，显然有 rA而 。此时杆 AB 的角速度为零，A，B 两点的速度大小和方
8、向都相同，0BAv连杆 AB 具有平移刚体的特征。但是，连杆 AB 只在此瞬时有 vA=vB，其他时刻则不然，因此称此时连杆作瞬时平移。例 9-4图 9-13 所示行星齿轮系中，大齿轮固定，半径为 r1；行星齿轮沿轮只滚而不滑动，半径为 r2。系杆 OA 的角速度为 。求轮的角速度 及其O上 B， C 两点的速度。图 9-13解：行星齿轮作平面运动，其上点 A 的速度可由系杆 OA 的转动求得)(21rOv方向如图。以 A 为基点，轮上与轮接触的点 D 的速度应为 Av由于齿轮固定不动，接触点 D 不滑动，显然 vD=0，因此有)(21rvOA方向与 vA 相反，如图。 vDA 为点 D 相对
9、于基点 A 的速度，应有 。DAv由此可得 21)(rO为逆时针转向，如图。以 A 为基点，点 B 的速度为 BAv而 OBArv)(21方向与 vA 垂直，如图所示。因此，v B 与 vA 的夹角为 ，指向如图，大小为45)(221r以 A 为基点，点 C 的速度为 CAv而 OCArv)(1方向与 vA 一致，由此)(221rvOCA四、解题步骤总结以上各例的解题步骤如下：（1）分析题中各物体的运动，哪些物体作平移，哪些物体作转动，哪些物体作平面运动。（2）研究作平面运动的物体上哪一点的速度大小和方向是已知的，哪一点的速度的某一要素（一般是速度方向）是已知的。（3）选定基点（设为 A） ，
10、而另一点（设为 B）可应用公式 ，BAv作速度平行四边形。必须注意，作图时要使 vB 成为平行四边形的对角线。（4）利用几何关系，求解平行四边形中的未知量。（5）如果需要再研究另一个作平面运动的物体，可按上述步骤继续进行。五、速度投影定理根据式(9-3 )容易导出速度投影定理：同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。证明：在图形上任取两点 A 和 B，它们的速度分别为 va 和 vB，如图 9-14所示，则两点的速度必须符合如下关系： Av图 9-14将上式两端投影到直线 AB 上，并分别用 ， ， 表示AB)(v)(AB)(vvB，v A，v BA 在线段 AB 上的投影，则A
11、BAB)()()(vv由于 vBA 垂直于线段 AB，因此 。于是得到0ABB)()(这就证明了上述定理。这个定理也可以由下面的理由来说明：因为 A 和 B 是刚体上的两点，它们之间的距离应保持不变，所以两点的速度在 AB 方向的分量必须相同。否则，线段 AB 不是伸长，便要缩短。因此，这定理不仅适用于刚体的平面运动，也适合于刚体作其他任意的运动。六、应用速度投影定理求解的例题例 9-5图 9-15 所示的平面机构中，曲柄 OA 长 100mm，以角速度 转rad/s2动。连杆 AB 带动摇杆 CD，并拖动轮 E 沿水平面滚动。已知 CD=3CB，图示位置时 A， B，E 三点恰在一水平线上，且 CDED。求此瞬时点 E 的速度。图 9-15解： m/s2.01rad/s2OAv由速度投影定理，杆 AB 上点 A，B 的速度在 AB 线上投影相等，即Av30cos解出 m/s2309.Bv摇杆 CD 绕点 C 转动，有 /s68.BBDvv轮 E 沿水平面滚动，轮心 E 的速度方向为水平，由速度投影定理，D，E两点的速度关系为 Dvv30cos解出 m/8.E
