1、数列的概念与通项公式【知识梳理】1数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项a 1 称为数列a n的第 1 项(或称为首项) ，a 2 称为第 2 项，a n称为第 n 项(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成 a1，a 2，a 3，a n简记为a n2. 数列的分类分类标准 名称 含义有穷数列 项数有限的数列按项的个数 无穷数列 项数无限的数列递增数列从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列 各项相等的数列按项的变化趋势摆动数列从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小
2、于它的前一项的数列3. 数列的通项公式如果数列 an的第 n 项与 序号 n 之间的关系可以用 一个式子来表示，那么就把这个公式叫做这个数列的通项公式【常考题型】题型一、数列的概念及分类【例 1】 已知下列数列：(1)0,0,0,0,0,0；(2)0，1,2， 3,4，5，；(3)0， ， ，；1223 n 1n(4)1,0.2,0.22,0.23，；(5)0，1,0， ，cos ，.n2其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，递减数列是_，常数列是_，摆动数列是_(填序号)解析 (1)是常数列且是有穷数列；(2)是无穷摆动数列；(3)是无穷递增数列(因为 1 )；n 1n 1n(4)
3、是无穷递减数列；(5)是无穷摆动数列答案 (1) (2)(3)(4)(5) (3) (4) (1) (2)(5)【类题通法】判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列而判断数列的单调性，则需要从第 2 项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足 anan 1，则是递减数列；若满足 ana n1 ，则是常数列；若 an与 an1 的大小不确定时，则是摆动数列【对点训练】1给出下列数列：(1)20062013 年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135.(2)无穷多个
4、 构成数列3， ， ， ， .3 3 3 3(3)2 的 1 次幂， 2 次幂，3 次幂，4 次幂，构成数列2,4，8,16，32，.(4) 精确到 1,0.1,0.01,0.001，的不足近似值与过剩近似值分别构成数列21,1.4,1.41,1.414，；2,1.5,1.42,1.415，.指出其中哪些是有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？解：有穷数列有：82,93,105,119,129,130,132,135；无穷数列有： ， ， ， ，；3 3 3 32,4，8,16，32，；1,1.4,1.41,1.414，；2,1.5,1.42,1.415，.递增数列有：82
5、,93,105,119,129,130,132,135；1,1.4,1.41,1.414，.递减数列有：2,1.5,1.42,1.415，.常数列有： ， ， ， ，.3 3 3 3摆动数列有：2,4，8,16，32，.题型二、由数列的前几项求通项公式【例 2】 写出下列数列的一个通项公式：(1) ，2，8 ， ，；12 92 252(2)9,99,999,9 999，；(3) ， ， ， ，；22 11 32 23 42 35 52 47(4) ， ， ， ，；112 123 134 145解 (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：， ， ，所以，它的一个通项公
6、式为 an (nN *)124292162 252 n22(2)各项加 1 后，变为 10,100,1 000,10 000，此数列的通项公式为 10n，可得原数列的通项公式为 an10 n1.(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从 1 开始的奇数列，可用 2n1 表示；分子的前一部分是从 2 开始的自然数的平方，可用(n1) 2 表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用 n 表示，综上，原数列的通项公式为an (nN *)n 12 n2n 1(4)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是 an(1) n .1n 1【
7、类题通法】此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法具体方法为：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系【对点训练】2写出下列数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，；(2)1，3,5， 7,9，；(3)1 ，2 ，3 ，4 ，；12 23 34 45(4)1,11,111,1 111，.解：(1)观察数列中的数，可以看到011,341，891,15161,24251，
8、所以它的一个通项公式是ann 21.(2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为 an(1) n1 (2n1)(3)此数列的整数部分 1,2,3,4，恰好是序号 n，分数部分与序号 n 的关系为，故所求的数列的一个通项公式为 ann .nn 1 nn 1 n2 2nn 1(4)原数列的各项可变为 9， 99， 999， 9 999，易知数列19 19 19 199,99,999,9 999，的一个通项公式为 an10 n1.所以原数列的一个通项公式为an (10n1).19题型三、通项公式的简单应用【例 3】 已知数列
9、an的通项公式是 an .n2n2 1(1)写出该数列的第 4 项和第 7 项；(2)试判断 和 是否是该数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，说910 110明理由解 (1)由通项公式 an 可得n2n2 1a4 ，a 7 .4242 1 1617 7272 1 4950(2)令 ，得 n29，n2n2 1 910所以 n3( n3 舍去) ，故 是该数列中的项，并且是第 3 项；910令 ，得 n2 ，所以 n ，n2n2 1 110 19 13由于 都不是正整数，13因此 不是数列中的项110【类题通法】1数列的通项公式给出了第 n 项 an与它的位置序号 n 之间的关系，只要用序号
10、代替公式中的 n，就可以求出数列的相应项2判断某数值是否为该数列的项，需先假定它是数列中的项，列方程求解若方程的解为正整数，则该数值是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是此数列的项【对点训练】3已知数列a n的通项公式为 anq n，且 a4a 2 72.(1)求实数 q 的值；(2)判断81 是否为此数列中的项解：(1)由题意知 q4q 272q 29或 q28( 舍去) ，q3.(2)当 q3 时， an3 n，显然81 不是此数列中的项；当 q3 时，a n(3) n，令(3) n813 4，也无解81 不是此数列中的项【练习反馈】1将正整数的前 5 个数排列如下：1,2,3
11、,4,5；5,4,3,2,1；2,1,5,3,4；4,1,5,3,2.那么可以称为数列的有( )A BC D解析：选 D 数列是按“一定顺序”排列着的一列数因此选 D.注意此题易错选 B.2在数列1,0， ，中，0.08 是它的( )1918 n 2n2A第 100 项 B.第 12 项C第 10 项 D第 8 项解析：选 C a n ，令 0.08，解得 n10 或 n (舍去)n 2n2 n 2n2 523若数列 an的通项公式是 an32 n，则 a2n_ ， _.a2a3解析：根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项a n32 n，a 2n32 2n34 n， .a2a3 3 223 23 15答案：34 n 154若数列 an的通项满足 n2，那么 15 是这个数列的第 _项ann解析：由 n2 可知，a nn 22n，ann令 n22n15，得 n5.答案：55已知：a n ，(1)求 a3；(2) 若 an ，求 n.2n3n 2 813解：(1)将 n 3 代入 an ，得 a3 .2n3n 2 2333 2 611(2)将 an 代入 an ，得 ，解得 n8.813 2n3n 2 813 2n3n 2
