1、数列求和(复习课)【知识梳理】1公式法(分组求和法)如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合 而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前 n 项和可考虑拆项后利用公式求解2裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法” ，分式的求和多利用此法可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有： ( )；1nn k 1k 1n 1n k若a n为等差数列，公差为 d，则 ( )；1anan 1 1d1an 1an 1 等1n 1 n n 1 n3错位相减法若数列 an为等差数列，数列b n是等比数列，由这两
2、个数列的对应项乘积组成的新数列为a nbn，当求该数列的前 n 项的和时，常常采用将 anbn的各项乘以公比 q，然后错位一项与 anbn的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法4倒序相加法如果一个数列a n，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加求和法【常考题型】题型一、分组转化法求和【例 1】 已知数列 cn：1 ，2 ，3 ，试求c n的前 n 项和12 14 18解 令c n的前 n 项和为 Sn，则 Sn1 2 3 12 14 18 n (12)n(1 2
3、3n) 12 14 18 (12)n nn 12121 (12)n1 12 1 n.nn 12 (12)即数列 cn的前 n 项和为 Sn 1 n.n2 n2 (12)【类题通法】当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列，但如果它的通项公式可以拆分为几项的和，而这些项又构成等差数列或等比数列，那么就可以用分组求和法，即原数列的前 n 项和等于拆分成的每个数列前 n 项和的和【对点训练】1求和：S n333333 .3n个解：数列 3,33,333， 的通项公式n个an (10n1)13S n (101) (1021) (10n1)13 13 13 (1010 210 n)13 n3 13 10
4、1 10n1 10 n3 (10n1) .1027 n3题型二、错位相减法求和【例 2】 已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2n 2n，nN *，数列b n满足 an4log 2bn3，nN *.(1)求 an，b n；(2)求数列a nbn的前 n 项和 Tn.解(1)由 Sn2n 2n，得当 n1 时，a 1S 13；当 n2 时，a nS nS n1 4n1，所以 an4n1，nN *.由 4n1a n4log 2bn3，得 bn2 n1 ，nN *.(2)由(1)知 anbn(4 n1)2 n1 ，nN *，所以Tn372 112 2 (4n1)2 n1, 2Tn3272
5、2(4n5)2 n1 (4n1)2 n，所以 2TnT n(4n1)2 n34(22 22 n1 )(4 n5)2 n5.故 Tn(4n5)2 n5，nN *.【类题通法】如果数列 an是等差数列， bn是等比数列，求数列 anbn的前 n 项和时，可采用错位相减法在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“ 错项对齐”以便下一步准确写出“S nqS n”的表达式【对点训练】2已知 an ，求数列a n的前 n 项和 Sn.n3n解：S n ，13 232 333 n 13n 1 n3nSn ，13 132 233 n 13n n3n 1两式相减得 Sn 23 13 132 13
6、3 13n n3n 1 ，13(1 13n)1 13 n3n 1 12 123n n3n 1S n .34 143n 1 n23n 34 2n 343n题型三、裂项相消法求和【例 3】 已知等差数列 an满足：a 37，a 5a 726， an的前 n 项和为 Sn.(1)求 an及 Sn；(2)令 bn (nN *)，求数列 bn的前 n 项和 Tn.1a2n 1解(1)设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d，由于 a37，a 5a 726，a 12d7,2a 110d26，解得 a13，d2.由于 ana 1(n1) d，S n ，na1 an2a n2n1，S nn(n2)(2)a
7、n2n 1，a 14n(n1) ，2n因此 bn .14nn 1 14(1n 1n 1)故 Tnb 1b 2b n14(1 12 12 13 1n 1n 1)14(1 1n 1) .n4n 1数列 bn的前 n 项和 Tn .n4n 1【类题通法】裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合使之能消去一些项，最终达到求和的目的利用裂项法的关键是分析数列的通项，考察是否能分解成两项的差，这两项一定要是同一数列相邻(相间)的两项，即这两项的结论应一致【对点训练】3在数列 an中，a n ，且 bn ，求数列b n1n 1 2n 1 nn 1 2anan 1的前 n 项的和解：a n (1
8、2n) ，1n 1 n2b n ，2anan 1b n 8( )，2n2n 12 1n 1n 1数列 bn的前 n 项和为Sn8(1 )( )( )( )8(1 ) .12 12 13 13 14 1n 1n 1 1n 1 8nn 1【练习反馈】1已知 an(1) n，数列a n的前 n 项和为 Sn，则 S9 与 S10 的值分别是( )A1,1 B1，1C1,0 D1,0解析：选 D S 9111111111 1，S10S 9a 10110.2数列 an， bn满足 anbn1，a nn 23n2，则 bn的前 10 项和为( )A. B.14 512C. D.34 712解析：选 B 依
9、题意 bn ，所以1an 1n2 3n 2 1n 1n 2 1n 1 1n 2bn的前 10 项和为 S10 ，故选(12 13) (13 14) (14 15) (111 112) 12 112 512B.3求和：S n1 1 (1 12) (1 12 14) 12 14 18_.(1 12 14 12n 1)解析：被求和式的第 k 项为：ak 1 2 .12 14 12k 11 (12)k1 12 (1 12k)所以 Sn2 (1 12) (1 122) (1 12n)2 n (12 122 123 12n)2n12(1 12n)1 12 2 n (1 12n)2n 2.12n 1答案：2
10、n 212n 14已知数列a n的通项公式 an ，其前 n 项和 Sn ，则项数 n 等于2n 12n 32164_解析：a n 12n 12n 12nS nn n1 5 ，12(1 12n)1 12 12n 32164 164n6.答案：65已知等比数列a n中， a28，a 5512.(1)求数列a n的通项公式；(2)令 bnna n，求数列b n的前 n 项和 Sn.解：(1) 64q 3，a5a2 5128q4.a na 24n2 84 n2 2 2n1 .(2)由 bnna nn2 2n1 知 Sn1222 332 5n2 2n1 ，从而 22Sn12 322 532 7n2 2n1 ，得(1 2 2)Sn22 32 52 2n1 n2 2n1 ，即 Sn (3n1)1922n1 2
