1、达标训练基础巩固达标1正五边形共有_条对称轴，正六边形共有_条对称轴.提示：正 n 边形的对称轴与它的边数相同.答案：5 62.中心角是 45的正多边形的边数是_.提示：因为正 n 边形的中心角为 ，所以 45= ，所以 n=8.n360n360答案：83.若正 n 边形的一个外角是一个内角的 23 时，此时该正 n 边形有_条对称轴.提示：因为正 n 边形的外角为 ，一个内角为 ，n3601802所以由题意得 = ，解这个方程得 n=5.360218答案：54.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正 n 边形的边长与半径之比（） A. 扩大了一倍B. 扩大了两倍C. 扩大了四倍D. 没有变化
2、提示：由题意知圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正 n 边形的边长也扩大一倍，所以相应的圆内接正 n 边形的边长与半径之比没有变化.答案：D5.正三角形的高，外接圆半径、边心距之比为（） A. 321B.432C. 421D. 643提示：如右图，设正三角形的边长为 a，则高 AD= a， OA= a， OC= a，2363所以 AD OA OC=321.答案：A6.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是() A.62 B.34 C. 63 D.43提示：分别求出正三角形、正方形的边长，知应选 A.答案：A7. 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积 S3、 S4、 S6之间的大小关系
3、是（） A.S3 S4 S6 B. S6 S4 S3 C .S6 S3 S4 D.S4 S6 S3提示：周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大.答案：B8.正六边形的两条平行边之间的距离为 1，则它的边长为（） A. B. C. D. 6343323提示：正六边形的两条平行边之间的距离为 1，所以边心距为 0.5，则边长为 .3答案：D9.已知 O 和 O 上的一点 A（如图 24-3-2）. 来源:学优高考网 gkstk（1）作O 的内接正方形 ABCD 和内接正六边形 AEFCGH；（2）在（1）题的作图中，如果点 E 在 上，求证：DE 是 O 内接正十二边形的边.图 24-3-2提
4、示：求作 O 的内接正六边形和正方形，依据定理应将 O 的圆周六等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂直于弦的直径的性质知把圆四等分.要证明 DE 是 O 内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明 DE 所对圆心角等于 36012=30（1）作法：作直径 AC；作直径 BD AC；依次连接 A、 B、 C、 D 四点.四边形 ABCD 即为 O 的内接正方形.分别以 A、 C 为圆心， OA 的长为半径作弧，交 O 于 E、H、 F、G；顺次连接 A、 E、 F、 C、G、H 各点;六边形 AEFCGH 为 O 的内接正六边形.（2）证明：连接 OE、 DE. AOD=
5、 =90， AOE= =60，4360630 DOE= AOD- AOE=30. DE 为 O 的内接正十二边形的一边.综合应用创新10某正多边形的每个内角比其外角大 100，求这个正多边形的边数.提示：由正多边形的内角和与外角公式可求.解：设此正多边形的边数为 n，则各内角为 ，外角为 ，依题意得n1802n360- =100.解得 n=9. 来源:gkstk.Comn18023611如图 24-3-3，在桌面上有半径为 2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，这个大圆片的半径最小应为多少？图 24-3-3提示：设三个圆的圆心为 O1、 O2、 O3，连接 O1O
6、2、 O2O3、 O3O1，可得边长为 4 cm 的正O1O2O3，设大圆的圆心为 O，则点 O 是正 O1O2O3的中心，求出这个正 O1O2O3的半径，再加上 O1的半径即为所求.解：设三个圆的圆心为 O1、 O2、 O3，连接 O1O2、 O2O3、 O3O1，可得边长为 4 cm 的正O1O2O3，则正 O1O2O3的半径为 cm，所以大圆的半径为 +2= (cm).4 3612如图 24-3-4，两相交圆的公共弦 AB，在 O1中为内接正三角形的一边，在 O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.图 24-3-4提示：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径
7、 R3与 R6的平方比即可.解：设正三角形外接圆 O1的半径为 R3，正六边形外接圆 O2的半径为 R6，由题意得 R 3= AB，R 6=AB，R 3R 6= 3. O1的面积 O2的面积=13.回顾热身展望13 （江苏连云港模拟）如图 24-3-5， ABC 是等边三角形，O 过点 B、 C，且与BA、CA 的延长线分别交于点 D、 E.弦 DF AC， EF 的延长线交 BC 的延长线于点 G.（1）求证： BEF 是等边三角形； 来源:学优高考网（2）若 BA=4， CG=2，求 BF 的长.图 24-3-5（1）证明： ABC 是等边三角形， BCA= BAC=60. DF AC，
8、D= BAC=60, BEF= D=60.又 BFE= BCA=60， BEF 是等边三角形.（2） ABC= EBF=60, FBG= ABE.又 BFG= BAE=120， BFG BAE. =BGBE.又 BG=BC+CG=AB=CG=6， BE=BF， EAF BF2=ABBG=24，可得 BF=2 （舍去负值）.6 14 （辽宁大连模拟） 如图 24 -3-6、 n、 M、 N 分别是 O 的内接正三角形 ABC、正方形 ABCD、正五边形 ABCDE、正 n 边形 ABCDE的边 AB、 BC 上的点，且 BM=CN，连接 OM、 ON.图 24-3-6（1）求图 24-3-6中
9、MON 的度数；（2）图 24-3-6中 MON 的度数是_，图 24-3-6中 MON 的度数是_；（3）试探究 MON 的度数与正 n 边形边数 n 的关系（直接写出答案）.来源:学优高考网（1）解法一：连接 OB、 OC.正 ABC 内接于 O， OBM= OCN=30， BOC=120.又 BM=CN， OB=OC， OBM OCN. 来源:学优高考网 BOM= OCN.M ON= BOC=120.解法二：连接 OA、 OB.正 ABC 内接于 O， AB=AC， OAM= OBN=30， AOB=120.又 BM=CN， AM=BN.又 OA=OB， AOM BON. AOM= BO
10、N. AON= AOB=120.（2）90 72（3）M ON= .n6015.(辽宁大连模拟) 将正方形 CGEF 绕点 C 旋转任意角度后（如图 24-3-7） ，其他条件不变.探究：线段 MD、 MF 的关系，并加以证明.图 24-3-7证法一：延长 DM 到 N，使 MN=MD，连接 FD、 FN、 EN，延长 EN 与 DC 延长线交于点 H.M A=ME，1=2，M D=MN， AMD EMN.3=4， AD=NE.又正方形 ABCD、 CGEF， CF=EF， AD=DC， ADC=90， CFE= ADC= FEG= FCG=90, DC=NE,3=4， AD EH.H= AD
11、C=90,G=90，5=6，7=8,7 DCF=8 FEN=90， DCF= FEN. FC=FE， DCFN EF. FD=FN， DFC=N FE. CFE=90， DFN=90. FMM D，M F=MD.证法二：如右图，过点 E 作 AD 的平行线分别交 DM、 DC 的延长线于 N、H，连接 DF、 FN. ADC=H，3=4. AM=ME，1=2， AMD EMN. DM=NM， AD=EN.正方形 ABCD、 CGEF， AD=DC， FC=FE， ADC= FCG= CFE=90.H=90，5=N EF， DC=NE. DCF7=57=90. DCF=5=N EF. FC=FE， DCFN EF. FD=FN， DFC=N FE. CFE=90， DFN=90. FMM D，M F=MD.
