1、变速问题教学目标1、 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点2、 能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。3、 变速变道问题的关键是如何处理“变”知识精讲变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算行程问题常用的解题方法有公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解
2、，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；图示法在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具示意图包括线段图和折线图图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；分段法在非匀速即分段变速的行程问题
3、中，公式不能直接适用这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解模块一、变速问题【例 1】 小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走 52 米，小强每分走 70 米，二人在途中的 A 处相遇。若小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走 90 米，则两人仍在 A 处相遇。小红和小强两人的家相距多少米？ 【解析】 因为小红的速度不变，相遇的地点不变，所以小红两次从出发到相遇行走的时间不变，也就是说，小强第
4、二次走的时间比第一次少 4 分钟。 （ 704）（90-70）=14 分钟 可知小强第二次走了 14 分钟，他第一次走了 144=18 分钟； 两人家的距离：（52+70）18=2196 （米） 【例 2】 甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加 2 米秒，乙比原来速度减少 2 米秒，结果都用 24 秒同时回到原地。求甲原来的速度。【解析】 因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用 24 秒，则相遇前两人和跑一圈也用 24 秒。以甲为研究对象，甲以原速 V 跑了 24 秒的路程与以（V +2 ）跑了 24 秒
5、的路程之和等于 400 米，24V +24 （V +2 ）=400 易得 V = 米/秒 173【例 3】 (2008 年日本小学算术奥林匹克大赛 )上午 点整，甲从 地出发匀速去 地， 点 分甲与从8AB820地出发匀速去 地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的 倍，乙速度不变； 点 分,甲，BA 3乙两人同时到达各自的目的地那么，乙从 地出发时是 点 分B8【解析】 点 分相遇，此时甲距离 地的距离是甲走了 分钟的路程， 点 分时乙到达目的地，说820 2030明乙走这段路程花了 分钟，所以乙的速度是甲速度的两倍，当甲把速度提高到原速的 倍时，10 3此时甲的速度是乙速度的 倍，甲从相遇点
6、走到 点花了 分钟，因此乙原先花了.5B10（分钟） ，所以乙是 点 分出发的10.58【例 4】 （难度等级 ）A 、 B 两地相距 7200 米，甲、乙分别从 A， B 两地同时出发，结果在距 B 地 2400 米处相遇如果乙的速度提高到原来的 3 倍，那么两人可提前 10 分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？【解析】 第一种情况中相遇时乙走了 2400 米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度比为 (7200 2400) : 2400 =2 :1，所以第一情况中相遇时甲走了全程的 2/3乙的速度提高 3倍后，两人速度比为 2 : 3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以
7、第二种情况中相遇时甲走了全程的 两种情况相比，甲的速度没有变化，只是第二种情况比第一种情况少走 3510 分钟，所以甲的速度为 (米/ 分 )60()91508【例 5】 （难度等级 ）甲、乙两车分别从 A， B 两地同时出发相向而行，6 小时后相遇在 C 点如果甲车速度不变，乙车每小时多行 5 千米，且两车还从 A， B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 12 千米；如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行 5 千米，则相遇地点距 C 点 16 千米甲车原来每小时行多少千米？【解析】 设乙增加速度后，两车在 D 处相遇，所用时间为 T 小时。甲增加速度后，两车在 E 处相遇。由于这两种
8、情况，两车的速度和相同，所以所用时间也相同。于是，甲、乙不增加速度时，经 T 小时分别到达 D、E。DE 121628（千米） 。由于甲或乙增加速度每小时 5 千米，两车在 D 或 E 相遇，所以用每小时 5 千米的速度，T 小时 走过 28 千米，从而 T285小时,甲用 6 （小时） ，走过 12 千米，所以甲原来每小时行 12 30（千米） 285285 25【巩固】 （难度等级 ）甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发相向而行，5 小时后相遇在 C 点。如果甲速度不变，乙每小时多行 4 千米，且甲、乙还从 A、B 两地同时出发相向而行，则相遇点 D 距 C 点 lO 千米；如果乙速度
9、不变，甲每小时多行 3 千米，且甲、乙还从 A、B 两地同时出发相向而行，则相遇点 E 距 C 点 5 千米。问：甲原来的速度是每小时多少千米？ 【解析】 当乙每小时多行 4 千米时，5 小时可以多行 20 千米，所以当两人相遇后继续向前走到 5 小时，甲可以走到 C 点，乙可以走到 C 点前面 20 千米。而相遇点 D 距 C 点 lO 千米，因此两人各走了 10 千米，所以甲乙二人此时速度相等，即原来甲比乙每小时多行 4 千米。 同理可得，甲每小时多行 3 千米时，乙走 5 千米的时间甲可以走 10 千米，即甲的速度是乙的 2 倍。 (4+3)(2-1)+4=11(千米/ 小时) ，所以甲
10、原来的速度是每小时 11 千米。 【例 6】 A、 B 两地间有一座桥 (桥的长度忽略不计)，甲、乙二人分别从两地同时出发，3 小时后在桥上相遇如果甲加快速度，每小时多走 2 千米，而乙提前 0.5 小时出发，则仍能恰在桥上相遇如果甲延迟 0.5 小时出发，乙每小时少走 2 千米，还会在桥上相遇则 A、 B 两地相距多少千米？【解析】 因为每次相遇的地点都在桥上，所以在这三种情况中，甲每次走的路程都是一样的，同样乙每次走的路程也是一样的在第二种情况中，乙速度不变，所以乙到桥上的时间还是 3 小时，他提前了 0.5 小时，那么甲到桥上的时间是 3 -0.5 =2.5 小时甲每小时多走 2 千米，
11、2.5 小时就多走 2 2.5= 5 千米，这 5 千米就是甲原来 3- 2.5 =0.5 小时走的，所以甲的速度是 5 0.5= 10千米/时在第三种情况中，甲速度不变，所以甲到桥上的时间还是 3 小时，他延迟了 0.5 小时，那么乙到桥上的时间是 3 0.5 =3.5 小时乙每小时少走 2 千米，3.5 小时就少走 2 3.5 =7 千米，这 7 千米就是甲原来 3.5 3= 0.5 小时走的，所以乙的速度就是 7 0.5 =14 千米/时所以 A、 B 两地的距离为 （10 14） 3 =72 千米【例 7】 一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的 3/4 前进，最
12、终到达目的地晚 1.5 小时若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的 3/4 前进，则到达目的地仅晚 1 小时，那么整个路程为多少公里？【解析】 出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的 前进，最终到达目的地晚 1.5 小时，所以34后面以原速的 前进的时间比原定时间多用 小时，而速度为原来的 ，所用时间为341.5034原来的 ，所以后面的一段路程原定时间为 小时，原定全程为 4 小时；出发 1 ()3小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的 前进，则到达目的地仅晚 1 小时，类似分析可知又前进 90 公里后的那段路
13、程原定时间为 小时所(10.5)(1.53以原速度行驶 90 公里需要 1.5 小时，而原定全程为 4 小时，所以整个路程为 公里901.5420【例 8】 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了 1/9，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高 1/6，于是提前 1 小时 40 分到达北京北京、上海两市间的路程是多少千米？【解析】 从开始出发，车速即比原计划的速度提高了 1/9，即车速为原计划的 10/9，则所用时间为原计划的 110/9=9/10，即比原计划少用 1/10 的时间，所以一个半小时等于原计划时间的 1/10，原计划
14、时间为：1.51/10=15( 小时) ；按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高 1/6，即此后车速为原来的 7/6，则此后所用时间为原计划的 17/6=6/7，即此后比原计划少用 1/7 的时间，所以 1 小时 40 分等于按原计划的速度行驶 280 千米后余下时间的 1/7，则按原计划的速度行驶 280 千米后余下的时间为：5/31/7=35/3(小时)，所以，原计划的速度为：84(千米/时)，北京、上海两市间的路程为：84 15= 1260(千米) 【例 9】 上午 8 点整，甲从 A 地出发匀速去 B 地， 8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A 地的乙相遇；相遇后甲将速
15、度提高到原来的 3 倍，乙速度不变； 8 点 30 分，甲、乙两人同时到达各自的目的地那么，乙从 B 地出发时是 8 点几分【解析】 甲、乙相遇时甲走了 20 分钟，之后甲的速度提高到原来的 3 倍，又走了 10 分钟到达目的地，根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走 10 3= 30分钟，所以前后两段路程的比为 20 : 30 =2 : 3，由于甲走 20 分钟的路程乙要走 10 分钟，所以甲走 30 分钟的路程乙要走 15 分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了 15 分钟，所以乙从 B 地出发时是 8 点 5 分【例 10】 （难度等级 ）甲、乙两人同时从山脚
16、开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？ 【解析】 甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲走过的路程应该是一个单程的 11.5+1/2=2 倍，就是说甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。 两人相遇时走了 1 小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了 1 小时，所以甲下山要用 1/2 小时。 甲一共走了 1+1/2=1.5（小时） 【例 11】 小华以每小时 8/3 千米的速度登山，走到途中 A 点后，他将速度
17、改为每小时 2 千米，在接下来的 1 小时中，他走到山顶，又立即下山，并走到 A 点上方 500 米的地方如果他下山的速度是每小时 4 千米，下山比上山少用了 52.5 分钟那么，他往返共走了多少千米？【解析】 11 千米【例 12】 （难度等级 ）甲、乙两车从 A、 B 两地同时出发相向而行，5 小时相遇；如果乙车提前 1 小时出发，则差 13 千米到中点时与甲车相遇，如果甲车提前 1 小时出发，则过中点 37 千米后与乙车相遇，那么甲车与乙车的速度差等于多少千米/小时？【解析】 第一次行程甲、乙两车同时出发，所以两车走的时间相同；第二次乙车提前 1 小时出发，所以这次乙车比甲车多走了 1
18、小时；第三次甲车提前 1 小时出发，所以这次甲车比乙车多走了 1 小时那么如果把第二次和第三次这两次行程相加，那么甲车和乙车所走的时间就相同了，而所走的路程为 2 个全程由于两人合走一个全程要 5 小时，所以合走两个全程要 10 小时由于第二次在乙车在差 13 千米到中点与甲车相遇，所以此次甲车走了全程的一半加上 13 千米；第三次在过中点 37 千米后与乙车相遇，所以此次甲车走了全程的一半加上 37 千米；这两次合起来甲车走了一个全程加上 13 37 =50 千米，所以乙车走了一个全程少 50 千米，甲车比乙车多走 50 2 =100 千米而这是在 10 小时内完成的，所以甲车与乙车的速度差
19、为 100 10 =10 千米/时【例 13】 甲、乙两名运动员在周长 米的环形跑道上进行 米长跑比赛，两人从同一起跑线同时4010起跑，甲每分钟跑 米，乙每分钟跑 米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙36的速度比原来快 ，甲每分钟比原来多跑 米，并且都以这样的速度保持到终点问：甲、乙18两人谁先到达终点？【解析】 从起跑到甲比乙领先一圈，所经过的时间为 (分钟)甲到达终点还需要跑403601(分钟) ，乙还需要跑71041081429(分钟) ，由于 ，所以乙先到达终点3627490【例 14】 环形场地的周长为 米，甲、乙两人同时从同一地点出发相背而行( 甲速大于乙速)， 分钟18
20、0 12后相遇如果每人每分钟多走 米，则相遇点与前次相差 米，求原来二人的速度253【解析】 甲、乙原来的速度和为： (米/分)，如果每人每分钟多走 米，现在的速度之和为：1025(米/ 分) ，现在相遇需要的时间为： (分钟)题目中说相遇点与前150201809次相差 米，但并不知道两者的位置关系，所以需要先确定两次相遇点的位置关系由于以原3来的速度走一圈，甲比乙多走的路程为每分钟甲比乙多走的路程 ；提速后走一圈，甲比乙12多走的路程为每分钟甲比乙多走的路程 ；故提速后走一圈与以原来速度走一圈相比，甲比乙9多走的路程少了，而二人所走的路程的和相等，所以提速后甲走的路程比以原速度走的路程少，其
21、差即为两次相遇点的距离 米所以现在问题转化为：甲以原速度走 12 分钟走到某一处，3现在甲以比原速度提高 25 米/分的速度走 9 分钟，走到距离前一处还有 33 米的地方，求甲的速度所以，甲原来的速度为： (米/分)，乙原来的速度为：(325)(186(米/ 分)150864【例 15】 王刚骑自行车从家到学校去，平常只用 20 分钟。因途中有 2 千米正在修路，只好推车步行，步行速度只有骑车速度的 ，结果这天用了 36 分钟才到学校。从王刚家到学校有多少千米？13【解析】 途中有 2 千米在修路，导致了王刚上学时间比平时多用 分钟，由于在别的路段上还3601是骑车，所以多用的时间都是耗费在
22、修路的 2 千米上由于步行速度是汽车速度的 ，所以步13行 2 千米所用的时间是骑车 2 千米所用时间的 3 倍，多用了 2 倍，这个多出来的时间就是 16 分钟，所以骑车 2 千米需要 分钟168由于 8 分钟可以骑 2 千米，而王刚平时骑车 20 分钟可以到学校，所以王刚家与学校的距离为千米2(0)5【例 16】 甲、乙两车分别从 、 两地同时出发，相向而行出发时，甲，乙的速度之比是 ，相遇AB 5:4后甲的速度减少 ，乙的速度增加 这样当甲到达 地时，乙离开 地还有 千20%20%BA10米那么 、 两地相距多少千米？【解析】 出发时，两车的速度之比为 ，所以相遇以后两辆车的速度之比为5
23、:4，而相遇前甲、乙两车的行程路程之比为 ，所以相遇后两辆5120:4120:6 5:4车还需要行驶的路程之比为 ，所以甲还需要行驶全部路程的 ，当甲行驶这段路程的同时，459乙行驶了全程的 ，距离 地还有 ，所以 、 两地相距8691A48195AB千米1045【例 17】 甲、乙往返于相距 米的 ， 两地甲先从 地出发， 分钟后乙也从 地出发，并在0B6距 地 米的 地追上甲乙到 地后立即原速向 地返回，甲到 地休息 分钟后加快速A6CAB1度向 地返回，并在 地追上乙问：甲比乙提前多少分钟回到 地？【解析】 由于甲比乙早出发 6 分钟，乙在走了 600 米时追上甲，可见乙走 600 米比
24、甲要少用 6 分钟，那么对于剩下的 米，乙比甲要少用 (分钟) ，也就是说乙比甲早 4 分钟到达 地那40406 B么乙从 地出发比甲早 (分钟)，走到 地被甲追上，相当于甲走 400 米比乙少用 5 分钟，B15C那么对于剩下的 600 米，甲比乙要少用 (分钟 )所以甲比乙提前 分钟回到 地057.47.A【例 18】 一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地，小轿车到达乙地后立即返回，返回时速度提高。出发 2 小时后，小轿车与大货车第一次相遇，当大货车到达乙地时，小轿车刚好走到甲、50%乙两地的中点。小轿车在甲、乙两地往返一次需要多少时间？【解析】 此题的关键是分析清楚题目中所提到的小轿
25、车返回时速度提高 所带来的变化，所以可以先50%假设小轿车返回时速度不发生变化会是什么样，然后再进行对比分析如果小轿车返回时速度不提高，那么大货车到达乙地时，小轿车又走了甲、乙两地距离的 ，所以，从11(50)23甲地到乙地小轿车与大货车的速度比为： ，小轿车到达乙地时，大货车走了全程1():43的 ，还差 小轿车从乙地返回甲地时，与大货车的速度比为 ，小轿车341 4(150%):21从乙地返回到与大货车相遇时，大货车又走了全程的 ，即相遇时大货车共走了全程12的 ，那么大货车从甲地到乙地需要 小时，小轿车从甲地到乙地需要315426526小时，小轿车往返一次需要 小时99(10%)3【例
26、19】 甲、乙两地间平路占 ，由甲地去往乙地，上山路千米数是下山路千米数的 ，一辆汽车从甲15 23地到乙地共行了 小时，已知这辆车行上山路的速度比平路慢 ，行下山路的速度比平路0 20%快 ，照这样计算，汽车从乙地回到甲地要行多长时间？20%【解析】 根据题意，可以把甲、乙两地之间的距离看作 25，这样两地间的平路为 5，从甲地去往乙地，上山路为 ，下山路为 ；再假设这辆车在平路上的速度为 5，则上山时8233201的速度为 4，下山时的速度为 6，于是，由甲地去乙地所用的总时间为：；从乙地回到甲地时，汽车上山、下山的速度不变，但是原来的上山路变85165成了此时的下山路，原来的下山路变成了
27、此时的上山路，所以回来时所用的总时间为：由于从甲地到乙地共行了 10 小时，所以从乙地回来时需要12458653小时203【例 20】 甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的 甲跑23第二圈的速度比第一圈提高了 ，乙跑第二圈的速度提高了 ，已知沿跑道看从甲、乙两人第1315二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是 米，问这条跑道长多少米？90【解析】 从起跑由于跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的 ，所以第一次相遇的地方在距起点 (或者 )23253处由于甲的速度比乙快，所以甲先跑完第
28、一圈，甲跑完第一圈时，乙跑了 圈，此时乙距出3发点还有 圈，根据题意，此时甲要回头加速跑，即此时甲与乙方向相同，速度为乙的13倍所以乙跑完剩下的 圈时甲又跑了 圈，此时甲距出发点还有 圈，而乙又2 132313要回头跑，所以此时两人相向而行，速度比为 ，所以两人第二次相遇1:5:点距离出发点 ，两次相遇点间隔 ，注意到 ，所以最短距13582584021940离为 圈，所以跑道长 米9401904【例 21】 甲、乙两人沿 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去相遇后甲比原来速度增加 米秒，乙比原来速度减少 米秒，结果都用 秒同时回到原地求甲4425原来的速度【解析】 因为
29、相遇前后甲、乙的速度和没有改变，如果相遇后两人合跑一圈用 25 秒，则相遇前两人合跑一圈也用 25 秒(法 1)甲以原速 跑了 25 秒的路程与以 的速度跑了 25 秒的路程之和等于 400 米，V甲 4V甲，解得 米/ 秒2540V甲 甲 6V甲(法 2)由跑同样一段路程所用的时间一样，得到 ，即二者速度差为 4；而二者速度和4V乙甲为 ，这是个典型的和差问题可得 为： 米/秒401625乙甲 甲 162【巩固】从 村到 村必须经过 村，其中 村至 村为上坡路， 村至 村为下坡路， 村至 村的ABCACBAB总路程为 千米某人骑自行车从 村到 村用了 小时，再从 村返回 村又用了 小时0B2
30、1分已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的45倍求 、 之间的路程及自行车上坡时的速度2【解析】 设 、 之间的路程为 千米，自行车上坡速度为每小时 千米，则 、 之间的路程为Ax yCB千米，自行车下坡速度为每小时 千米依题意得： ，两式相加，(20)x2y20314xy得： ，解得 ；代入得 故 、 之间的路程为 千米，自行车上坡3214y8y1xAC2时的速度为每小时 千米8【例 22】 （ 年“奥数网杯”六年级）欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里早晨 ，欢20 7:40欢从家出发骑车去学校， 追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校7
31、:46的通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来的 倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢2赶到学校时，贝贝也恰好到学校如果欢欢在家换校服用去 分钟且调头时间不计，那么8: 6贝贝从家里出发时是 点 分【解析】 欢欢从出发到追上贝贝用了 分钟，那么她调头后速度提高到原来的 倍，回到家所用的时间为6 23 分钟，换衣服用时 6 分钟，所以她再从家里出发到到达学校用了 分钟，故她以0635原速度到达学校需要 10 分钟，最开始她追上贝贝用了 6 分钟，还剩下 4 分钟的路程，而这 4 分钟的路程贝贝走了 14 分钟，所以欢欢的 6 分钟路程贝贝要走 分钟，也就是说欢121欢追上贝贝时贝贝已走了 21 分
32、钟，所以贝贝是 7 点 25 分出发的【例 23】 甲、乙两人都要从 地到 地去，甲骑自行车，乙步行，速度为每分钟 60 米乙比甲早出发AB20 分钟，甲在距 地 1920 米的 处追上乙，两人继续向前，甲发现自己忘带东西，于是将速C度提高到原来的 倍，马上返回 地去取，并在距离 处 720 米的 处遇上乙甲到达 地1.5CDA后在 地停留了 5 分钟，再以停留前的速度骑往 地，结果甲、乙两人同时到达 地 、BB两地之间的距离是 米B【解析】 乙从 地到 处所用时间为 分钟，甲用的时间为 分钟，甲的速度为AC920633201米/ 分钟，速度提高后为 米/分钟甲从 处回到 地并停留 5 分钟，
33、192061.5240DA共用时间 分钟，此时乙又走了 米，两人的距离为7204566190米，此时相当于追及问题，追及时间为 分钟，所以19207630 360240、 两地之间的距离为 米AB2408【例 24】 小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路小芳上学走这两条路所用的时间一样多已知下坡的速度是平路的 倍，那么上坡的速度是平路速1.6度的多少倍？【解析】 设小芳上学路上所用时间为 ，那么走一半平路所需时间是 由于下坡路与一半平路的长度相2同，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是 ，因此，走上坡路51.68需要的时间是 ，那么，上坡
34、速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为 ，53218 31:8:所以，上坡速度是平路速度的 倍8【例 25】 （2003 年“祖冲之杯”小学数学邀请赛）某校在 400 米环形跑道上进行 1 万米比赛，甲、乙两名运动员同时起跑后，乙的速度始终保持不变，开始时甲比乙慢，在第 15 分钟时甲加快速度，并保持这个速度不变，在第 18 分钟时甲追上乙并且开始超过乙。在第 23 分钟时甲再次追上乙，而在 23 分 50 秒时甲到达终点。那么，乙跑完全程所用的时间是多少分钟？【解析】 本题中乙的速度始终保持不变，甲则有提速的情况，但是甲提速后速度就保持不变，所以可以从甲提速后的情况着手进行考虑根据题意可知
35、，甲加速后，每过 （分钟）比乙多跑23185一圈，即每分钟比乙多跑 （米） 由于第 18 分钟时甲、乙处于同一位置，则在 234058分 50 秒时甲到达终点时，乙距终点的距离就是此时甲、乙之间的距离，即乙距离终点还有（米） ，即乙在 23 分 50 秒内跑了 米，由于乙的速度始终501823863 1403保持不变，所以乙每分钟跑（米） 所以，乙跑完全程需要 （分钟） 140524036 10425【例 26】 （2003 年迎春杯）甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步如果出发时乙的速度是甲的 倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高 ，而乙的速度立即减少 ，并. 25%20%且乙
36、第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距 100 米，那么这条环形跑道的周长是 米BCA【解析】 如图，设跑道周长为 1，出发时甲速为 2，则乙速为 5假设甲、乙从 点同时出发，按逆时针A方向跑由于出发时两者的速度比为 ，乙追上甲要比甲多跑 1 圈，所以此时甲跑了2:5，乙跑了 ；此时双方速度发生变化，甲的速度变为 ，乙的速21(5)35 2(5%)2.度变为 ，此时两者的速度比为 ；乙要再追上甲一次，又要比甲多跑0%)42.5:481 圈，则此次甲跑了 ，这个 就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇点的路51(8)3程从环形跑道上来看，第一次相遇点跑到第二次相遇点之间的距离，既可能是 个周52
37、13长，又可能是 个周长523那么，这条环形跑道的周长可能为 米或 米21053103【例 27】 如图所示，甲、乙两人从长为 米的圆形跑道的 点背向出发跑步。跑道右半部分(粗线部4A分）道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒 米，而8在泥泞道路上两人的速度均为每秒 米。两人一直跑下去，问：他们第 99 次迎面相遇的地方距 点还有 米。A A【解析】 本题中，由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果甲、乙各自绕着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同，那么两人所用的总时间也就相同，所以，两人同时出发，跑一圈后同时回到
38、 点，即两人在 点迎面相遇，然后AA再从 点出发背向而行，可以发现，两人的行程是周期性的，且以一圈为周期在第一个周期A内，两人同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇，这是两人第一次迎面相遇，然后回到出发点是第二次迎面相遇；然后再出发，又在同一个相遇点第三次相遇，再回到出发点是第四次相遇可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点，偶数次相遇点都是点本题要求的是第 99 次迎面相遇的地点与 点的距离，实际上要求的是第一次相遇点与A A点的距离对于第一次相遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快，所以甲从出发到跑完正常道路时，乙才跑了 米，此时两人相距 100 米，且之间20
39、8410全是泥泞道路，此时两人速度相同，所以再各跑 50 米可以相遇所以第一次相遇时乙跑了米，这就是第一次相遇点与 点的距离，也是第 99 次迎面相遇的地点与 点的距105AA离【例 28】 （2009 年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级）丁丁和乐乐各拿了一辆玩具甲虫在 400 米跑道上进行比赛，丁丁的玩具甲虫每分钟跑 30 米，乐乐的玩具甲虫每分钟跑 20 米，但乐乐带了一个神秘遥控器，按第一次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的 倒退 1 分钟，按第二次会0%使丁丁的玩具甲虫以原来速度的 倒退 1 分钟，以此类推，按第 次，使丁丁的玩具甲虫20%N以原来的速度的 倒退 1 分钟，然后再按原
40、来的速度继续前进，如果乐乐在比赛中最后0N获胜，他最少按 次遥控器。【解析】 乐乐的玩具甲虫跑完全程需要 分钟，丁丁的玩具甲虫跑完全程需要 分4 403钟，乐乐要想取胜，就必须使丁丁的玩具甲虫因倒退所耽误的总时间超过 分钟乐20乐第一次按遥控器后，丁丁耽误的时间为倒退的 1 分钟及跑完这 1 分钟倒退路程所花费的时间，为 分钟；乐乐第二次按遥控器后，丁丁耽误的时间为 分钟；10%.1 20%1.乐乐第 次按遥控器后，丁丁耽误的时间为 分钟所以相当于要使n10%1.nn大于 ，由于 ，而1.2.3 2063.2.34.563，所以乐乐要想取胜，至少要按 6 次遥控器14.58.1【例 29】 唐
41、老鸭和米老鼠进行 5000 米赛跑米老鼠的速度是每分钟 125 米，唐老鸭的速度是每分钟 100米唐老鸭有一种能使米老鼠停止或减速的遥控器，每次使用都能使米老鼠进入“麻痹”状态 1分钟，1 分钟后米老鼠就会恢复正常，遥控器需要 1 分钟恢复能量才能再使用米老鼠对“麻痹”状态也在逐渐适应，第 1 次进入“麻痹”状态时，米老鼠会完全停止，米老鼠第 2 次进入“麻痹”状态时，就会有原速度 的速度，而第 3 次就有原速度 的速度，第 20 次进入“麻痹”5%0%状态时已有原速度 的速度了，这以后米老鼠就再也不会被唐老鸭的遥控器所控制了唐老9鸭与米老鼠同时出发，如果唐老鸭要保证不败，它最晚要在米老鼠跑了
42、多少米的时候第一次使用遥控器?【解析】 (分钟)， (分钟)，所以米老鼠正常情况下要 40 分钟跑完全程，唐50124501老鸭要 50 分钟跑完全程若唐老鸭使米老鼠麻痹 20 次，由于 ，则在5%1095.这麻痹的 20 分钟内，米老鼠实际跑的路程为正常状态下 分钟跑的路程这样，米老鼠一共9.需要 分钟才能到达终点由于唐老鸭只需要 50 分钟，所以若使唐老鸭保持不409.520.败，并不需要使米老鼠麻痹 20 次，即可以尽量晚的第一次使用遥控器根据题意，第 20 次使用可以使米老鼠多损失 分钟，第 19 次使用可以使米老鼠多损失 分钟，第 18 次使用可以0.5 0.1使米老鼠多损失 分钟，
43、第 17 次使用可以使米老鼠多损失 分钟，总计正好是.1 .2分钟所以只需要使米老鼠麻痹 16 次，唐老鸭就能保持不败这样米0.5.02.5老鼠也要 50 分钟由于还要留出 15 分钟的遥控器恢复能量的时 间 ， 所 以 第 一 次 使 用 遥 控 器 的 时候 后 面 剩 下 的 时 间 不 能 少 于 分 钟 ， 此 时 米 老 鼠 已 经 跑 出 了 (米 )，1653125(03)275所 以 唐 老 鸭 最 晚 要 在 米 老 鼠 跑 了 2375 米 的 时 候 第 一 次 使 用 遥 控 器 【例 30】 小周开车前往某会议中心，出发 20 分钟后，因为交通堵塞，中途延误了 20
44、 分钟，为了按时到达会议中心，小周将车速提高了 ，小周从出发时算起到达会议中心共用了多少分钟？%【解析】 将车速提高 后，前、后两种情况下车速的比为 ，那么所用的时间的比为25%1:(25%)4:，由此省出的时间就是堵车耽误的 20 分钟，所以这段路程原来需要开5:4分钟，再加上开始的 20 分钟，可知小周从出发时算起到达会议中心共用了20()510分钟【例 31】 （2008 年清华附中入学测试题）如图，甲、乙分别从 、 两地同时出发，匀速相向而行，AC他们的速度之比为 ，相遇于 地后，甲继续以原来的速度向 地前进，而乙则立即调头返5:4B回，并且乙的速度比相遇前降低 ，这样当乙回到 地时，
45、甲恰好到达离 地 千米的 处，15 18D那么 、 两地之间的距离是 _千米。ACDCBA【解析】 由于甲、乙的速度之比为 ，所以， ，乙调头后的速度为原来速度的 ，所以5:4:5:4AB45乙调头后两人速度之比为 ，而乙回到 地时甲恰好到达 处，所以:()2:16CD，即 ，则 （千米） ，即 、 两地之间的距离:25:16BDC169BCD9472DAC为 千米7【例 32】 甲、乙两车分别从 、 两地同时出发相向而行，甲车速度为 32 千米/时，乙车速度为 48 千A米/时，它们到达 地和 地后，甲车速度提高 ，乙车速度减少 ，它们第一次相遇地点与B1416第二次相遇地点相距 74 千米
46、，那么 、 之间的距离是多少千米？AB【解析】 开始时两车速度比为 ，所以第一次相遇是在距 地全程的 处；当乙车到达 地时，32:48:B35A甲车离 地还有全程的 ，此时乙车速度减少 ，变为原来的 ，两车速度比为 ，B116652:(3)4:6那么当甲车走完剩下的 时，乙车已经往回走了 ，此时两车相距全程35342的 这时甲车速度提高 ，两车速度比变为 ，所以两车再各走571214():1即相遇即第二次相遇点距离 地全程的 所以 、 之间的距离为4B724AB千米37()052【例 33】 (2008 年日本第 12 届小学算术奥林匹克初赛)上午 8 点整，甲从 地出发匀速去 地，8 点 2
47、0AB分甲与从 地出发匀速去 地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍，乙速度不变；8BA点 30 分，甲、乙两人同时到达各自的目的地那么，乙从 地出发时是 8 点 分B【解析】 甲、乙相遇时甲走了 20 分钟，之后甲的速度提高到原来的 3 倍，又走了 10 分钟到达目的地，根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走 分钟，103所以前后两段路程的比为 ，由于甲走 20 分钟的路程乙要走 10 分钟，所以甲走 3020:3:分钟的路程乙要走 15 分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了 15 分钟，所以乙从 地出发时是B8 点 5 分【例 34】 甲、乙往返于相距
48、 米的 ， 两地甲先从 地出发， 分钟后乙也从 地出发，并在10ABA6A距 地 米的 地追上甲乙到 地后立即原速向 地返回，甲到 地休息 分钟后加快速A6C B1度向 地返回，并在 地追上乙问：甲比乙提前多少分钟回到 地？【解析】 由于甲比乙早出发 6 分钟，乙在走了 600 米时追上甲，可见乙走 600 米比甲要少用 6 分钟，那么对于剩下的 米，乙比甲要少用 (分钟) ，也就是说乙比甲早 4 分钟到达 地那40406 B么乙从 地出发比甲早 (分钟)，走到 地被甲追上，相当于甲走 400 米比乙少用 5 分钟，B15C那么对于剩下的 600 米，甲比乙要少用 (分钟 )所以甲比乙提前 分钟回到 地057.4
