1、小专题 构造基本图形解直角三角形的实际问题类型一 构造单一直角三角形解决实际问题【例 1】如图，某同学在楼房的 A 处测得荷塘的一端 B 处的俯角为 30，荷塘另一端 D 与点 C、B 在同一条直线上，已知 AC=32 米，CD=16 米，求荷塘宽 BD 为多少米？(取 31.73，结果保留整数)来源:gkstk.Com【方法总结】通过构造单一的直角三角形,只要知道其中的一条边长和一个锐角,就可以利用解直角三角形的知识求出其余各边的长.变式练习 1 如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B 处)6 米的 D 处，仰望旗杆顶端 A，测得仰角为60，眼睛离地面的距离 ED 为 1.5 米.试
2、帮助小华求出旗杆 AB 的高度.( 结果精确到 0.1 米， 31.732)类型二 构造单一非直角三角形解决实际问题【例 2】为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道 AB，如图，在山外一点C 测得 BC 距离为 200 m，CAB=54，CBA=30，求隧道 AB 的长(参考数据：sin540.81，cos540.59， tan541.38 ， 31.73，精确到个位).来源:gkstk.Com【方法总结】通过构造一个非直角三角形,已知其中的两角和一边,可过第三个角的顶点作高,将三角形转化为两个直角三角形,再利用解直角三角形的知识求出其余各边长.变式练习 2 如
3、图，某天上午 9 时，向阳号轮船位于 A 处，观测到某港口城市 P 位于轮船的北偏西 67.5，轮船以 21 海里 /时的速度向正北方向行驶，下午 2 时该船到达 B 处，这时观测到城市 P 位于该船的南偏西 36.9方向，求此时轮船所处位置 B 与城市 P 的距离.(参考数据：sin36.9 3/5 ，tan36.9 3/4，sin67.512/13 ，tan67.512/5)来源:学优高考网 gkstk类型三 构造双直角三角形解决实际问题【例 3】( 张家界中考) 如图:我渔政 310 船在南海海面上沿正东方向匀速航行,在 A 点观测到我渔船 C 在北偏东 60方向的我国某传统渔场捕鱼作业
4、.若渔政 310 船航向不变,航行半小时后到达 B 点,观测我渔船 C 在东北方向上.问: 渔政 310 船再按原航向航行多长时间, 离渔船 C 的距离最近?(渔船 C 捕鱼时移动距离忽略不计,结果不取近似值)【方法总结】如图,构造两个直角三角形, 利用解直角三角形的知识容易知道如下结果:tan= bh,tan= a,a=h/tan-h/tan,b= tan,h= tan.变式练习 3 (益阳中考)“中国益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥.如图，新大桥的两端位于 A、B 两点，小张为了测量 A、B 之间的河宽，在垂直于新大桥 AB 的直线型道
5、路 l 上测得如下数据：BDA=76.1，BCA=68.2,CD=82 米.求 AB 的长( 精确到 0.1 米).（参考数据：sin76.1 0.97,cos76.10.24,tan76.14.0,sin68.20.93,cos68.20.37,tan68.22.5）来源:学优高考网 gkstk变式练习 4 (岳阳中考)某校有一露天舞台，纵断面如图所示， AC 垂直于地面，AB 表示楼梯，AE 为舞台面，楼梯的坡角ABC=45, 坡长 AB=2 m.为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修建新楼梯 AD，使ADC=30.(1)求舞台的高 AC(结果保留根号)；(2)在楼梯口 B
6、左侧正前方距离舞台底部 C 点 3 m 处有一株大树，修新楼梯 AD 时底端 D 是否会触到大树？并说明理由.来源:gkstk.Com变式练习 5 (常德中考)如图，A，B ，C 表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB ，BC 表示连接缆车站的钢缆.已知 A，B，C 所处位置的海拔 AA1，BB 1，CC 1，分别为 160 米，400 米，1 000 米，钢缆 AB，BC 分别与水平线AA2， BB2 所成的夹角为 30，45，求钢缆 AB 和 BC 的总长度.(结果精确到 1 米)参考答案【例 1】 在 RtACB 中，CAB=60，CB=ACtan60=32 3.DB=CB-CD=3
7、2 3-1639.答：荷塘宽 DB 的长约为 39 米 .变式练习 1 在 RtACE 中，CEA=60，CE=BD=6,tanAEC=AC/CE ，AC=CEtanAEC=6tan60=6 3， AB=AC+BC=6 3+1.510.39+1.5=11.8911.9(米). 答：旗杆 AB 的高度为 11.9 米.【例 2】 过点 C 作 CDAB 于 D.在 RtBCD 中，B=30，BC=200 m.CD=1/2BC=100 m，BD=100 3 m.在RtACD 中， tanCAB=CD/AD,AD=100/tan5472 m,AB=ADBD=245 m.答：隧道 AB 的长约为 24
8、5 m.变式练习 2 设 BC=x 海里，由题意，易得 AB=21(14-9)=105(海里)，则 AC=105-x(海里).在 RtBCP 中，tan36.9 =PC/BC,PC=BCtan36.9 =3/4x.在 RtACP 中，tan67.5=PC/AC,PC=ACtan67.5 =12/5(105-x).34x=12/5(105-x),解得 x=80.PC=3/4x=60(海里),PB=100(海里). 答：此时轮船所处位置 B 与城市 P 的距离约为100 海里.【例 3】 作 CDAB, 交 AB 的延长线于 D,则当渔政 310 船航行到 D 处时,离渔船 C 的距离最近.设 C
9、D=x,在 RtACD中,ACD=60,tanACD=AD/CD,AD= 3x.在 RtBCD 中,CBD=BCD=45,BD=CD=x,AB=AD-BD=AD=3x-x ( -1)x.设渔政船从 B 航行到 D 需要 t 小时,则 AB0.5=BDt,( 3-1)x0.5=xt,( 3-1)t=0.5,t= 413.答：渔政 310 船再航行 413小时, 离渔船 C 的距离最近.变式练习 3 设 AD=x 米，则 AC=(x+82)米.在 RtABC 中，tan BCA=AB/AC ，AB=ACtanBCA=2.5(x+82). 在RtABD 中，tanBDA=AB/AD,AB=ADtan
10、BDA=4x.2.5(x+82)=4x，x=410/3.AB=4x=410/34546.7.答：AB 的长约为 546.7 米.变式练习 4 (1)在ABC 中，ACBC, ABC=45, ABC 是等腰直角三角形，斜边 AB=2 m，在 RtABC 中，AC=ABsin45=2 2/2= (m).(2)在 RtADC 中，ADC=30，CD= 63.不会触到大树.变式练习 5 在 RtABD 中，BD=400-160=240，BAD=30，则 AB=BD/sin30=480 m.在 RtBCB 2 中，CB 2=1 000-400=600，CBB 2=45.则 CB=CB2/sin45=600 2m.AB+BC=480+600 21 329(米).答：钢缆 AB 和 BC 的总长度约为 1 329 米.
