1、京津沪渝 4 市（7 份）2011 年中考数学试题分类解析汇编专题6：函数的图象与性质1、选择题1.（北京 4 分）抛物线 = 26 +5 的顶点坐标为yxA、 （3，4） B、 （3 ，4） C、 （3，4） D、 （3，4）【答案】A。【考点】二次函数的性质。【分析】利用配方法把抛物线的一般式写成顶点式，求顶点坐标，或者用顶点坐标公式求解： = 26 +5= 26 +99+5=（ 3） 24， 抛物线 = 2+6 +5 的顶点坐标yxxxyx是（3，4） 故选 A。2.（天津 3 分）一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式 A以每分 0.1 元的价格按上网所用时间计算；方式 B 除收
2、月基费 20 元外再以每分 005 元的价格按上网所用时间计费。若上网所用时问为 分计费为 元，如图是在同一直角坐标系中分别描述两种xy计费方式的函救的图象，有下列结论： 图象甲描述的是方式 A： 图象乙描述的是方式 B； 当上网所用时间为 500 分时，选择方式 B 省钱其中，正确结论的个数是(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0【答案】A。【考点】一次函数的图象和性质。【分析】 方式 A 以每分 0.1 元的价格按上网所用时间计算，函数关系式为 =0.1 ，与yx图象甲描述的是方式相同，故结论正确；方式 B 除收月基费 20 元外再以每分 005元的价格按上网所用时间计费，函数关系
3、式为 =0.05 +20，与图象乙描述的是方式相同，yx故结论正确；从图象观察可知，当 400 时，x乙 2.（上海 4 分）如果反比例函数 （ 是常数， 0）的图像经过点( 1，2)，那么这kyxk个函数的解析式是 【答案】 。2yx【考点】曲线上的点与方程的关系。【分析】根据点在曲线图上点的坐标满足方程的关系，把(1，2) 代入 ，得 ，kyx21即 ，那么这个函数的解析式是 。2k=2yx3、解答题1.（北京 5 分）如图，在平面直角坐标系 O 中，一次函数 =2y的图象与反比例函数 的图象的一个交点为 A（1，n） x=kyx（1）求反比例函数 的解析式；（2）若 P 是坐标轴上一点，
4、且满足 PA=OA，直接写出点 P 的坐标【答案】解：（1）点 A（ 1，n）在一次函数 =2 的图象上，yx学优中考网 n=2（1）=2。点 A 的坐标为（ 1，2） 。点 A 在反比例函数 的图象上，k=2=kyx反比例函数的解析式是 。（2）点 P 的坐标为（2，0）或（0，4） 。【考点】反比例函数与一次函数的交点，待定系数法。【分析】 （1）把 A 的坐标代入函数解析式即可求得 k 的值，即可得到函数解析式。 （2）以 A 为圆心，以 OA 为半径的圆与坐标轴的交点就是 P。2.（北京 7 分）在平面直角坐标系 Oy 中，二次函数 的图x2m3m0yxx（-象与 轴交于 A、B 两点
5、（点 A 在点 B 的左侧） ，与 轴交于点 Cx（1）求点 A 的坐标；（2）当ABC=45时，求 m 的值；（3）已知一次函数 =k +b，点 P（n，0）是 轴上的一个动点，在yxx（2）的条件下，过点 P 垂直于 轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数 的图象于 N若只有当23（-2n2 时，点 M 位于点 N 的上方，求这个一次函数的解析式【答案】解：（1）点 A、 B 是二次函数 的图象与 轴的2m3m0yxx（- x交点，令 =0，即 m 2+（m 3） 3=0 解得 1=1，yx。23=mx又点 A 在点 B 左侧且 m0，点 A 的坐标为（1，0） 。（2）由（1）可
6、知点 B 的坐标为 ，3 ，二次函数的图象与 y 轴交于点 C，点 C 的坐标为（0，3） 。ABC=45 ， 。m=1 。3=m（3）由（2）得，二次函数解析式为 = 22 3。yx依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为2 和 2。由此可得交点坐标为（2，5）和（2，3） ，将交点坐标分别代入一次函数解析式 =k +b 中，yx得 ，解得： 。kb=23k2b1一次函数解析式为 y=2 +1。xhttp:/ 】二次函数综合题。【分析】 （1）令 =0 则求得两根，又由点 A 在点 B 左侧且 m0，所以y求得点 A 的坐标。（2）二次函数的图象与 y 轴交于点
7、 C，即求得点 C，由ABC=45，从而求得。（3）由 m 值代入求得二次函数式，并能求得交点坐标，则代入一次函数式即求得。3.（天津 8 分）已知一次函数 (b 为常数) 的图象与反比例函数 （ 为常1yxb2kyx数且 ）0k的图象相交于点 P(31)(I) 求这两个函数的解析式；(II) 当 3 时，试判断 与 的大小井说明理由。x1y2【答案】解 ：(I)P(31)在一次函数一次函数 上，1=3b。b=2。1yx一次函数的解析式为 。2同理，反比例函数的解析式为 。3yx(II) 理由如下：当 时， ，12y12又当 时一次函数 随 的增大而增大反比例函数 随 的增3x1yx2yx大而
8、减小，当 时 。x12y【考点】点的坐标与方程的关系，一次函数和反比例函数的性质。学优中考网 【分析】(I) 因为点在曲线上点的坐标满足方程，所以利用点 P 在一次函数和反比例函数的图象上，把 P 的坐标分别代入即可求出。(II)根据一次函数和反比例函数增减性的性质即可作出判断。4.（天津 8 分）注意：为了使同学们更好她解答本题，我们提供了种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可某商品现在的售价为每件 35 元每天可卖出 50 件市场调查反映：如果调整价格每降价 1 元，每天可多卖出 2 件请你帮助分析，当每件商品降价多少元
9、时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少?设每件商品降价 元每天的销售额为 元xy(I) 分析：根据问题中的数量关系用含 的式子填表：x() (由以上分析，用含 的式子表示 ，并求出问题的解) xy【答案】解：（）（）根据题意，每天的销售额 (35)02)(35)yxx， 整理配方，得 。2)18x当 =5 时， 取得最大值 1800。xy答：当每件商品降价 5 元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为 l 800 元。【考点】列函数关系式，二次函数的应用。【分析】 （）根据题意，可分析出结果。（）列函数关系式是找出等量关系：每天的销售额=每件售价每天销量(35)(02)yxx 求每件商品降
10、价多少元时的每天的销售额最大和最大销售额是多少，只要把二次函数变形为顶点式 的形式即可求出。2yaxmn5.（天津 10 分）在平面直角坐标系中已知 O 坐标原点点 A(30)，B(0，4)以点 A为旋转中心，把ABO 顺时针旋转，得ACD 记旋转转角为 ABO 为 (I) 如图 ，当旋转后点 D 恰好落在 AB 边上时求点 D 的坐标；() 如图，当旋转后满足 BC 轴时求 与 之闻的数量关系；x() 当旋转后满足AOD= 时求直线 CD 的解析式( 直接写出即如果即可)，【答案】解：(I)点 A(3，0)，B(0，4) ，0A=3，OB=4。在 RtABO 中由勾股定理得 AB= 。22O
11、AB345根据题意，有 DA=OA=3。如图过点 D 作 DM 轴于点 M，则 MDOB。xADMABO。有 ，ADB得 ， 。9AMO512O5又 OM=OA-AM，得 OM= 。63点 D 的坐标为（ ） 。6125，()如图由己知，得CAB= ，AC=AB，ABC=ACB。在ABC 中，由ABC+ACB+CAB=180，得 =1802ABC。又BC 轴，得OBC=90 ，有ABC=90ABO=90 。x=180 2（90）=2。学优中考网 （） 直线 CD 的解析式为， 或 。742yx742yx【考点】旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行的性质。【分析】
12、(I) 作辅助线 DM 轴，由勾股定理求出 AB 的长，由相似三角形对应边成比例x的性质即可求出。() 由旋转的性质，知ABC=ACB，由三角形三内角和 1800 的定理可得=1802ABC 。又由于 BC 轴，可得ABC=90 ，从而 =2 从而的关系。x（）图 1 图 2如图 1，连接 BD，作 DF 轴于 F。由AOD= ABO 可证AOBADB，xADB=AOB=90 0。又ADC=90 0，B 在直线 CD 上。可设直线 CD 方程式为 =k +4。y由AOE ABO 得 。OEAO34124OD55设 D 点坐标为 ，则有,ab，解之得 。224=FB35ab 96=257ab代入
13、直线 CD 方程 =k +4，得 k= 。直线 CD 的解析式为 。yx24742yx同样考虑AOD 在 轴下方的情况，如图 2，可得直线 CD 的解析式。742yx6.（上海 12 分）已知平面直角坐标系 O （如图 1） ，一次函数 的图 像与 轴xy34yxy交于点 A，点 M 在正比例函数 的图像上，且 MO MA二次函数 2b c32yxyx的图像经过点 A、M（1）求线段 AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点 B 在 轴上，且位于点 A 下方，点 C 在上述二次函数的y图像上，点 D 在一次函数 的图像上，且四边形 ABCD 是菱形，34x求点 C 的坐标 【答案
14、】解：（1）在一次函数 中，当 =0 时，3yxx=3。A（0 ，3） 。yMO=MA， M 为 OA 垂直平分线上的点，而 OA 垂直平分线的解析式为 。2y又点 M 在反比例函数 上，M（1， ） 。32yx32又A（0，3） AM= 。（2）二次函数 2b c 的图象经过点 A、M可得yx，解得 。 这个二次函数的解析式31bc05c3 2 3。yx5（3）点 D 在一次函数 y= 的图象上，34yx则可设 D（n， ） ，设 B（0，m） （m 3） ，C （n， ） 。3425n+3四边形 ABDC 是菱形，| AB |=3m，| DC |= = （ ）= DCy3n425n+3。2
15、13n4| AD |= 2235n0n44学优中考网 | AB |=| DC |，3m= 。213n4| AB |=| AD |，3m= 。5解得，n 1=0（舍去） ，n 2=2。将 n=2，代入 C（n， ） 。点 C 的坐标为 C（2，2） 。+3【考点】二次函数综合题，线段垂直平分线的性质，曲线上的点与方程的关系，待定系数法，菱形的性质，勾股定理。【分析】 （1）先求出根据 OA 垂直平分线上的解析式，再根据两点的距离公式求出线段AM 的长。（2）二次函数 2b c 的图象经过点 A、M由待定系数法即可求出二次yx函数的解析式。（3）可设 D（n， ） ， ，C（n， ）且点 C 在
16、二次函数3425n+3 2 3 上，根据菱形的性质得出| AB |=| DC |，| AB |=| AD |，得到方程求解即可。yx57.（重庆分）如图，在平面直角坐标系 O 中，一次函数xy的图象与反比例函数 的图象交于二、0ykxb0m四象限内的 A、B 两点，与 轴交于 C 点，点 B 的坐标为x（6， ） 线段 OA=5，E 为 轴上一点，且 sinAOE= n 45（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求AOC 的面积【答案】解：（1）过点 A 作 AD 轴于 D 点，如图， xsinAOE= ，OA=5 ，sinAOE= 。45AD4O5AD=4 ，DO= 。222O3 而
17、点 A 在第二象限，点 A 的坐标为（3，4） 。将 A（3，4）代入 ，得 =12，myx所求的反比例函数的解析式为 。12yx将 B（6， ）代入 ，得 =2。n1yxn将 A（3，4）和 B（6，2）分别代入 ，得ykxb，解得 。6kb32kb所求的一次函数的解析式为 。2yx（2）在 中，令 ，即 ，解得 。23yx0033xC 点坐标为（0，3） ，即 OC=3， 。AO11SDC4622【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，勾股定理。【分析】 （1）过点 A 作 AD 轴于 D 点，由 sinAOE= ，OA=5，根据正弦的定义可x45求出 AD
18、，再根据勾股定理得到 DO，即得到 A 点坐标（ 3，4） ，把 A（3，4）代入，即可确定反比例函数的解析式；将 B（6， ）代入，确定点 B 点坐标，然后把myx nA 点和 B 点坐标代入 ，即可确定一次函数函数的解析式。ykxb（2）先令 ，求出 C 点坐标，得到 OC 的长，然后根据三角形的面积公式计0算AOC 的面积即可。8.（重庆分）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年 1 至 9 月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格 y1（元）与月份（1 9，且 取整数）之间的函数关系如下表：xx月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9价格 1（元/
19、件）y560 580 600 620 640 660 680 700 720随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10 至 12 月每件配件的原材料价格2（元）与月份 （10 12，且 取整数）之间存在如图所示的变化趋势：yxx学优中考网 （1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出 1 与 之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，yx直接写出 2 与 之间满足的一次函数关系式；yx（2）若去年该配件每件的售价为 1000 元，生产每件配件的人力成本为 50元，其它成本 30 元，该配件在 1 至 9 月的销售量 p1（万件）与月份 满x足函数
20、关系式 p1=0.1 +1.1（1 9，且 取整数）10 至 12 月的销售量xxp2（万件）与月份 满足函数关系式 p2=0.1 +2.9（10 12，且 取整数） 求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；（3）今年 1 至 5 月，每件配件的原材料价格均比去年 12 月上涨 60 元，人力成本比去年增加 20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高 %，与此同a时每月销售量均在去年 12 月的基础上减少 0.1 %这样，在保证每月上万件配件销量的a前提下，完成了 1 至 5 月的总利润 1700 万元的任务，请你参考以下数据，估算出 的整数值（参考数据：
21、99 2=9901，98 2=9604，97 2=9409，96 2=9216，95 2=9025）【答案】解：（1） 1 与 之间的函数关系式为 （1 9，且 取整数） 。yx1054yxx2 与 之间的一次函数关系式为 （10 12，且 取整263x数） 。（2）设去年第 月的利润为 W 元x当 1 9，且 取整数时，W=P1（10005030 1）= 2 2+16 +418=2（ 4） 2+450，yxx =4 时，W 最大 =450 元。x当 10 12，且 取整数时，W=P 2（10005030 2）=（ 29） 2。x yx当 29 时，函数 W 随 的增加而减小，x =10 时，
22、W 最大 =361 元。综上所述，去年 4 月销售该配件的利润最大，最大利润为 450 元。（3）去年 12 月的销售量为0.112+2.9=1.7（万件） ，今年原材料价格为：750+60=810（元） ，今年人力成本为： 50（1+20%）=60（元） ，依题意，得 51000（1+ %）81060301.7（10.1 %）aa=1700，设 t= %，整理得 10t299t+10=0，解得 t= 。a94029401 更接近于 9409， 97。9401.7t 10.1，t 29.8， 110 或 2980。a1.7（10.1 %）1， 10估算出 的整数值为 10。【考点】一、二次函数
23、的应用，一元二次方程的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，近似值。【分析】 （1）把表格（1）中任意 2 点的坐标代入直线解析式可得 1 的解析式：设y，ykxb则 ，解得 ， 1 的解析式为 （1 9，且 取整数） 。56028054kby12054yxx把（10，730） （12，750）代入直线解析式可得 2 的解析式：设 ，则把2ykb（10，730） ， （12，750）代入得，解得 ， 2 的解析式为 （10 12，且 取整数） 。107325kb1063kby21063yxx（2）分情况探讨得：1 9 和时，利润=P 1（售价各种成本） ；10 12 时
24、，x x利润=P 2（售价各种成本） ；用二次函数的最值原理求出最大利润即可。（3）根据 1 至 5 月的总利润 1700 万元得到关系式求值即可。9.（重庆綦江 10 分）如图，已知 A （4， ） ，B （2，4）是一次函数 的图aykxb象和反比例函数 的图象的交点myx（1）求反比例函数和一次函数的解祈式；（2）求A0B 的面积【答案】解：（1）将 A （4 ， ） ，B （2，4）两点坐标代入 中，a myx学优中考网 得 4 =（2）（4）= ，解得 =2， =8。ama将 A（4，2） ，B（2，4）代入 中，得 ，解得ykxb42kb。 12kb反比例函数解析式为 ，一次函数的
25、解祈式为 。8yx2yx（2）设直线 AB 交 轴于 C 点，由直线 AB 的解析式 得 C（0，2） ，yS AOB =SAOC +SBOC = 。146【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，角二元一次方程。【分析】 （1）A 根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（4， ） ，B a（2，4）两点代入 ，即可求 、 的值，再将 A、B 两点坐标代入 中myxa 2yx得方程组即可求解。（2）设直线 AB 交 轴于 C 点，由直线 AB 的解析式求 C 点坐标，根据 SyAOB=SAOC +SBOC 求面积10.（重庆江津 10 分）A、B 两所学校在一条东
26、西走向公路的同旁，以公路所在直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点 Ax的坐标是（2，2） ，点 B 的坐标是（ 7，3） （1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使 C 点到 A、B 两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标（2）若在公路边建一游乐场 P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场 P 的位置，并求出它的坐标【答案】解：（1）存在满足条件的点 C。作出图形，如图所示：（2）作点 A 关于 轴对称的点 A（2，2） ，连接xAB，与 轴的交点即为所求的点 P。设 AB 所在直线的解析式为：x。ykb把（2，2）和
27、（7，3）代入得：，解得 。kb14kbAB 所在直线的解析式为： 。yx当 =0 时， =4，yx点 P 的坐标为（4，0） 。【考点】作图（应用与设计作图） ，轴对称（最短路线问题） ，线段垂直平分线的性质，三角形两边之和大于第三边的性质，一次函数综合题。【分析】 （1）连接 AB，作出线段 AB 的垂直平分线，与 轴的交点即为所求的点；x（2）找到点 A 关于 轴的对称点，由三角形两边之和大于第三边的性质，对称点x与点 B 连线与 轴的交点即为所求作的点。x11.（重庆江津 10 分）已知双曲线： 与抛物线： 交于kyx2yaxbcA（2，3） 、B（m，2） 、C（3，n）三点（1）求
28、双曲线与抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系中描出点 A、点 B、点 C，并求出ABC 的面积【答案】解：（1）把点 A（ 2，3）代入 得， =6。kyx双曲线的解析式为 。6把 B（m，2） 、 （3，n）分别代入 得，m=3，n=2。6yx学优中考网 把 A（2，3） 、B（3，2） 、C（3，2）分别代入 得：2yaxbc，解得： 。4932abc13abc抛物线的解析式为 。213yx（2）描点画图得：SABC =S 梯形 ADECS ADB S BCE = （16）25 11 64=5。12【考点】二次函数综合题，曲线上的点与方程的关系，解多元方程组。【分析】 （1）函数图象过某
29、一点时，这点就满足关系式，利用待定系数法分别求出反比例函数与二次函数解析式即可。（2）根据 A，B，C 三点的坐标可以得出 ADB ，BCE 和梯形 ADEC 的面积，用梯形面积减去两三角形面积即可得到ABC 的面积。12 （重庆潼南 10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反0ykxb比例函数 的图象相交于 A、B 两点求：0myx（1）根据图象写出 A、B 两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出：当 为何值时，一次函数值大于反比例x函数值 【答案】解：（1）由图象可知：点 A、B 的坐标分别为（2， ） ， （1，1） 。2反比例函数 的图象经过
30、点 A（2， ） ，0myx把点 A 的坐标代入 ，得 。1m反比例函数的解析式为： 。yx又一次函数 的图象经过点 A（2， ）点0ykxbB（1，1） ，把点 A、点 B 的坐标分别代入 ，得0myx，解得 。12kb12kb一次函数的解析式为 。12yx（2）由图象可知：当 2 或1 0 时一次函数值大于反比例函数值。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。【分析】 （1）由题意，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，可得出 A、B 两点的坐标，再将 A、B 两点的坐标代入 与 ，即可得出解析式。ykxbmyx（2）即求出一次函数图象在反比例函数图象的上方时， 的取值范围即可。x学优中考网 学; 优 中考% ，网
