1、【2013 版中考 12 年】上海市 2002-2013 年中考数学试题分类解析 专题 6 函数的图像与性质选择题1. （上海市 2004 年 3 分）在函数 ykx()0的图象上有三点 Axy1()， 、Axyxy223()()， 、 ，已知 x123，则下列各式中，正确的是【 】A. 10 B. y30C. y23 D. 12【答案】 C。【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质。【分析】根据题意画出图形，再根据函数的增减性解答即可： k0，函数图象如图，图象在第一、三象限，在每个象限内， y随 x的增大而减小。 xx123， y213。故选 C。2.（上海市 2006 年
2、4 分）二次函数 2()x图像的顶点坐标是【 】（A.） （1，3） （B）. （1，3） （C）.（1，3） （ D）. （1，3）D 0k， b【答案】B。【考点】一次函数图象与系数的关系。【分析】一次函数 ykxb的图象有四种情况：4.（上海市 2008 年 4 分）在平面直角坐标系中，直线 1yx经过【 】A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限【答案】A。【考点】一次函数图象与系数的关系。【分析】一次函数 ykxb的图象有四种情况：由题意得，函数 1yx的 0k， b，故它的图象经过第一、二、三象限。故选 A。5.（上海市 2008 年组 4 分）
3、在平面直角坐标系中，抛物线 21yx与 轴的交点的个数是【 】A3 B2 C1 D0【答案】B。【考点】抛物线与 x轴的交点。【分析】抛物线 21y与 轴的交点的个数即方程 21=0x不相等实数根的个数，有2 个，故选 B。6.（上海市 2009 年 4 分）抛物线 2()yxmn（ ， 是常数）的顶点坐标是【 】A ()mn， B ()n， C ()， D ()n，是 ()mn， 。故选 B。7.（上海市 2010 年 4 分）在平面直角坐标系中，反比例函数 =0ky的图象上的一点分别作 x、y 轴的垂线段，与 x、y 轴所围成的矩形面积是 12，那么该函数解析式是 。【答案】 12=。【考
4、点】反比例函数系数 k 的几何意义。【分析】因为过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积 S 是个定值，即S=|k|：根据题意，知|k|=12，k=12，又k0，k=12。该函数关系式为： 12y=x。3.（上海市 2005 年 3 分）点 A(2，4)在正比例函数的图象上，这个正比例函数的解析式是 【答案】 2y=x。【考点】待定系数法求正比例函数解析式，曲线上的点与坐标的关系。【分析】设这个正比例函数的解析式是 y=kx，因为点 A（2，4）在该正比例函数的图象上，所以有 4=2 k，从而可求出 k =2。从而得这个正比例函数的解析式是 2y=x。21yx。5.（上海市 20
5、06 年 3 分）某型号汽油的数量与相应金额的关系如图所示，那么这种汽油的单价是每升 元。【答案】5.09。【考点】函数的图象。【分析】根据图象知道 100 升油花费了 509 元，由此即可求出这种汽油的单价：单价=509100=5.09 元。6.（上海市 2007 年 3 分）如图，正比例函数图象经过点 A，该函数解析式是 【答案】 y=x。【考点】待定系数法求正比例函数解析式。【分析】设该正比例函数的解析式为 y=kx，由图象可知，该函数图象过点 A（1，3） ， =3k。该正比例函数的解析式为 。7.（上海市 2008 年 4 分）在平面直角坐标系中，如果双曲线 (0)ykx经过点 (2
6、1)， ，那么 k 【答案】2。的函数关系如图所示 当 0x1 时，y 关于 x 的函数解析式为 y = 60 x，那么当 1x2 时，y 关于 x的函数解析式为 .【答案】y=100x40。【考点】函数图象，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】在 0x1 时，把 x=1 代入 y = 60 x，则 y=60，那么当 1x2 时由两点坐标（1,60）与（2,160）得当 1x2 时的函数解析式为 y=100x40。10.（上海市 2011 年 4 分）如果反比例函数 kyx（ 是常数， k0）的图像经过点(1，2)，那么这个函数的解析式是 【答案】 2yx。（填“增大”或“减小” ） 【答案】
7、增大。【考点】一次函数的性质。【分析】由一次函数 y3 x2 中 k=30，根据一次函数的增减性的性质知，函数值 y随自变量 x值的增大而增大。12.（2012 上海市 4 分）已知正比例函数 y=kx（k0） ，点（2，3）在函数上，则 y 随 x的增大而 （增大或减小） 【答案】减小。【考点】正比例函数的性质，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】点（2，3）在正比例函数 y=kx（k0）上，2k=3，解得： 3k=2。正比例函数解析式是：y= 32x。k= 320，y 随 x 的增大而减小。13.（2013 年上海市 4 分）李老师开车从甲地到相距 240 千米的乙地，如果邮箱剩余油量 y
8、（升）与行驶里程 x（千米）之间是一次函数关系，其图像如图所示，那么到达乙地时邮箱剩余油量是 升三、解答题1.（上海市 2002 年 10 分）如图，直线 y 21x2 分别交 x、y 轴于点 A、C，P 是该直线上在第一象限内的一点，PBx 轴，B 为垂足，S ABP 9（1）求点 P 的坐标；（2）设点 R 与点 P 的同一个反比例函数的图象上，且点 R 在直线 PB 的右侧，作RTx 轴，T 为垂足，当BRT 与AOC 相似时，求点 R 的坐标.【答案】解：（1）由题意，得点 C（0，2） ，点 A（4，0） 。b2，RT 6。当RTBAOC 时， RTBAOC，即 AO2， b2，解得
9、 b3 或 b1（舍去） 。点 R 的坐标为（3，2） 。 当RTBCOA 时， RTBCOA，即 O12， 61b2，解得 b1 3或 b1 3（舍去） 。点 R 的坐标为（1 ， 2） 。 综上所述，点 R 的坐标为（3，2）或（1 13， 2） 。【考点】一次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。【分析】 （1）根据点在直线上，点的坐标满足方程的性质，求出 BP，AB 的值从而可求出点P 的坐标。（2）设 R 点坐标为（x，y） ，求出反比例函数又因为BRTAOC，利用线段比联立方程组求出 x，y 的值。2.（上海市 2003 年 10 分）卢浦
10、大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分，在大桥截面111000 的比例图上，跨度 AB5cm，拱高 OC0.9cm，线段 DE 表示大桥拱内桥长，DEAB。如图，在比例图上，以直线 AB 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，以 1cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图：（1）求出图上以这一部分抛物线为图像的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果 DE 与 AB 的距离 OM0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：1.4，计算结果精确到 1 米）【答案】解：（1）顶点 C 在 y 轴上，设以这部分抛物线为图象的函数解析式为29yax0。因此月河河流宽度为 52110000.01
11、=27538（米） 。【考点】二次函数的应用，曲线上的点与方程的关系。【分析】 （1）因为 C 在 y 轴上，故设抛物线的解析式为 29yax10，把 A 点坐标代入解析式求出 a 即可。（2）因为点 D、E 的纵坐标相同，易求 DE 的长。 3.（上海市 2003 年 10 分）已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A、B 是 x轴正半轴上的两点，点 A 在点 B 的左侧，如图，二次函数 2(0)yaxbc的图象经过点A、B，与 y轴相交于点 C。（1） a、 c的符号之间有何关系？（2）如果线段 OC 的长度是线段 OA、OB 长度的比例中项，试证 a、 c互为倒数；（3）在（2）的条件
12、下，如果 b4，AB 3，求 、 的值。【答案】解：（1）由图可知：当抛物线开口向下，即 a0 时， c0（如图） ；当抛物线开口向上，即 a0 时， c0；因此 a、 c同号。（2）设 A（m，0） ，B（n，0） ，抛物线的解析式 2(0)yaxbc中，令 y=0，得： 2=0axbc。OAOB=mn= c，OC 2= 。OAOB=OC 2， a= ，解得 c=1。所以 、 c互为倒数。（3）由题意知： 214yxa，则 mn= 4，mn= 21a。AB= 4，AB 2=48。（nm） 2=48，即（m+n） 24mn=48，241=8a。解得 1=a。 c。因此 、 的值分别为： 12、
13、2 或 、2。【考点】二次函数综合题，一元二次方程根与系数的关系。【分析】 （1）根据 A、B 点的位置即可判断出当抛物线开口向下时，函数图象与 y 轴交于负半轴，当抛物线开口向上时，函数图象与 y轴交于正半轴，即 a、 c同号。（2）当 CO2=OAOB 时，可用 c表示出 OC，用 、 表示出 OAOB，代入上式即可求得 a、 c是否为倒数关系。（3）沿用（2）的思路，首先将 b值代入抛物线的解析式中，可依据韦达定理表示出 AB 的长，几何 a、 c的倒数关系，即可求得 a、 c的值。 4.（上海市 2004 年 12 分）数学课上，老师出示图和下面框中条件。如图，在平面直角坐标系中，O
14、为坐标原点，A 点的坐标为（1，0） ，点 B 在 x轴上，且在点 A 的右侧，AB=OA，过点 A 和 B 作 x轴的垂线，分别交二次函数 2yx的图象于点 C 和 D，直线 OC 交 BD 于点 M，直线 CD 交 y轴于点 H，记点 C、D 的横坐标分别为 CD、 ，点 H 的纵坐标为 yH同学发现两个结论：()()tt， ，0”，其他条件不变，结论是否仍成立？（请说明理由）（3）进一步研究：如果将上述框中的条件“A 点坐标（1，0） ”改为“A 点坐标为()()tt， ，”，又将条件“ yx2”改为“ yax2()”，其他条件不变，那么xCD、和 yH有怎么样的数值关系？（写出结果并说
15、明理由）【答案】解：（1）由已知可得点 B的坐标为（2，0） ，点 C 的坐标为（1，1） ，点 D 的坐标为（2，4） ，由点 C 坐标为（1，1）易得直线 OC 的函数解析式为 yx（2）结论仍成立，理由如下：点 A 的坐标为 ()t， 0，则点 B 坐标为（ 20t， ） ，从而点 C 坐标为()t， 2，点 D 坐标为 42， ，设直线 OC 的函数解析式为 ykx，则 tk2，得k。直线 OC 的函数解析式为 ytx。设点 M 的坐标为（ 2t， ） ，点 M 在直线 OC 上， 当 xt时， yt2，点 M 的坐标为（ 2t， ） 。 21()3CDABCS梯 形： ： ： 。结论
16、仍成立。（3） xayCDH，理由如下：由题意，当二次函数的解析式为 yax20()，且点 A 坐标为（t，0） （t0）时，点 C 坐标为（ t， 2） ，点 D 坐标为（ 42t， ） ，设直线 CD 的函数解析式为 ykxb【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。5.（上海市 2005 年 10 分）在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数2yxbc的图象与 x 轴的负半轴相交于点 C（如图） ，点 C 的坐标为（0，3） ，且BOCO1、求这个二次函数的解析式；2、设这个二次函数的图象的顶点为 M，求 AM 的长.【答案】解：（1）C（0，3） ，OC=|3|=3， c=
17、3。又OC=BO，BO=3，B（3，0） 。93 b3=0， =2。这个二次函数的解析式为 23yx。（2） 223=14yxx，M（1，4） 。又由 0解得 A（1，0） ， AM= 25。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。【分析】 （1）由已知可得 B（3，0） ，又 C（0，3） ，代入抛物线解析式可求 b、 c。（2）求抛物线顶点坐标和 A 点坐标，在直角三角形中用勾股定理可求 AM 的长。6.（上海市 2006 年 12 分）如图，在直角坐标系中， O为原点点 A在第一象限，它的纵坐标是横坐标的 3 倍，反比例函数 12yx的图象经过点 （1）求点 A的坐
18、标（5 分） ；（2）如果经过点 的一次函数图象与 轴的正半轴交于点 B，且 ，求这个一次函数的解析式（7 分） 。【答案】解：（1）由题意，设点 A的坐标为 3a， 0点 在反比例函数 12yx的图象上，得 12a，解得 1，2a。经检验 12a， 是原方程的根，但 2不符合题意，舍去。点 A的坐标为 6。（2）由题意，设点 B的坐标为 0m， 0m， 2， 解得 103，经检验 103m是原方程的根。【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】 （1）根据 A点位置及坐标特点，代入反比例函数解析式解方程即可求出 A的坐标。（2）根据题意求 B 点坐标，再求解析
19、式。7.（上海市 2007 年 12 分）如图，在直角坐标平面内，函数 myx（0x， m是常数）的图象经过 (14)A， ， ()Bab， ，其中 1过点A作 轴垂线，垂足为 C，过点 作 y轴【答案】解：（1）函数 (0myx， 是常数）图象经过 (1 4)A， ， m。设 BDAC， 交于点 E，据题意，可得 B点的坐标为 a， ， D点的坐标为 40 a， ，E点的坐标为 1 ， 。 a， DBa， 4AEa。由 A 的面积为 4，即 12，得 3a，点 B的坐标为43，。DCAB 。（3） AB ，当 DC时，有两种情况：直线 AB的函数解析式是 5yx。综上所述，所求直线 AB的函
20、数解析式是 26yx或 5yx。（2）由已知，求出 BEADC，即可证得 DAB 。（3）分 A 和 与 所在直线不平行两种情况讨论即可。8.（上海市 2008 年 12 分）如图，在平面直角坐标系中， O为坐标原点二次函数2yxb的图像经过点 (10)， ，顶点为 B（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点 的坐标（5 分） ；（2）如果点 C的坐标为 (4)， ， AEC，垂足为点 E，点 D在直线 AE上，1DE，求点 的坐标（7 分） 【答案】解：（1）二次函数 23yxb的图像经过点 (1 0)A， ， 01，得 。所求二次函数的解析式为23yx。则这个二次函数图像顶点 B的坐标为
21、(1 4)， 。（2）过点 B作 Fx轴，垂足为点 F。在 RtC 中， 4， 3C， 5， sin5。在 tAE 中， sinAE，又 ，可得 45AE。4AE。过点 D作 Hx轴，垂足为点 H。由题意知，点 在点 的右侧，易证 C DAEC。其中 3E， 4。设点 的坐标为 ()xy， ，则 1AHx，DHy。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的顶点坐标，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质。79 5， 。9（上海市 2010 年 12 分）如图，已知平面直角坐标系 xOy，抛物线 y x2 bx c 过点A(4,0)、B(1,3) .（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线
22、的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线 l，设抛物线上的点 P(m,n)在第四象限，点 P 关于直线 l的对称点为 E，点 E 关于 y 轴的对称点为 F，若四边形 OAPF 的面积为 20，求 m、n 的值.则四边形 OAPF 可以分为：OFA 与OAP， OFAPOFAOPASS= 12OFASn+ 12OPASn= 4=20 =5。点 P 为第四象限的点，n经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B，AO=OB=2，AOB=120 0（1）求这条抛物线的表达式；（2）连接 OM，求AOM 的大小；（3）如果点 C 在 x 轴上，且ABC 与AOM 相似，求点 C 的坐标【答案】解
23、：（1）如图，过点 A 作 ADy 轴于点 D，AO=OB=2，B（2，0） 。AOB=120 0，AOD=30 0，AD=1，OD= 3。A（1， 3） 。将 A（1， ） ，B（2，0）代入 2yaxb，得：ab3420，解得3a2b。这条抛物线的表达式为 23yx。（2）过点 M 作 MEx 轴于点 E， 223yx133。M（1， ） ，即 OE=1，EM= 。 EM3tanPO。 0EP3。 0AB15。（3）过点 A 作 AHx 轴于点 H ，AH= 3，HB=HOOB=3，AO=2，223OM1， BCc2，22AB33。由 ABC得，23c，解得 c4。C 1（4，0） 。由 OM得， 23，解得 8。C 2（8，0） 。综上所述，如果点 C 在 x 轴上，且ABC 与AOM 相似，则点 C 的坐标为（4，0）或（8，0） 。
