1、莱布尼茨与微积分,跨专业选修课数学简史,设计制作：,导航页面,人物简介,一、生平简介,二、智者的奋斗史,三、思想观点,一、生平简介,戈特弗里德威廉莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年1716年），德国哲学家、数学家。涉及的领域及法学、力学、光学、语言学等40多个范畴，被誉为十七世纪的亚里士多德。和牛顿先后独立发明了微积分。,“世界上没有两片完全相同的树叶”就是出自他之口，他还是最早研究中国文化和中国哲学的德国人，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。,中西文化交流之倡导者,莱布尼茨对中国的科学、文化和哲学思想十分关注，他是最早研究中国文化和中国哲学的
2、德国人。他向耶稣会来华传教士格里马尔迪了解到了许多有关中国的情况，包括养蚕纺织、造纸印染、冶金矿产、天文地理、数学文字等等，并将这些资料编辑成册出版。他认为中西相互之间应建立一种交流认识的新型关系。,二、智者的奋斗史,(一)、少年天才,从幼年时代起，莱布尼茨就明显展露出一颗灿烂的思想明星的迹象。他13岁时就像其他孩子读小说一样轻松地阅读经院学者的艰深的论文了。他提出无穷小的微积分算法，并且他发表自己的成果比伊萨克牛顿爵士将它的手稿付梓早三年，而后者宣称自己第一个做出了这项发现。,二、智者的奋斗史,(二)、出生书香门第，却有不幸的童年,公元1646年7月1日，莱布尼茨出生于德国东部莱比锡的一个书
3、香之家，父亲是莱比锡大学的道德哲学教授，母亲出身于教授家庭，虔信路德新教。莱布尼茨的父母亲自做孩子的启蒙教师，耳濡目染使莱布尼茨从小就十分好学，并有很高的天赋，幼年时就对诗歌和历史有着浓厚的兴趣。不幸的是，父亲在他6岁时去世，但却给他留下了丰富藏书。 1664年1月，莱布尼茨完成了论文论法学之艰难，获哲学硕士学位。是年2月12日，他母亲不幸去世。18岁的莱布尼茨从此只身一人生活，他生在思想、性格等方面受母亲影响颇深。,二、智者的奋斗史,(三)、人情世故,莱布尼茨是一个世故的人，取悦于宫廷并得到知名人士的庇护。他与斯宾诺莎有私交，后者的哲学给他以深刻的印象，虽然他断然与斯宾诺莎的观念分道扬镳了。
4、 莱布尼茨与哲学家、神学家和文人们进行着广泛的通信交往。在他的宏大计划中曾尝试达成新教和天主教之间的一个和解以及基督教国家之间的联合，这种联合在他那个时代意味着欧洲联盟。他还做过后来成为普鲁士科学院的柏林科学协会的第一会长。,二、智者的奋斗史,(四)、悲惨的晚年,就在莱布尼茨倍受各个宫廷青睐之时，他却已开始走向悲惨的晚年了。在公元1716年11月14日，由于胆结石引起的腹绞痛卧床一周后，莱布尼茨孤寂地离开了人世，终年70岁。 莱布尼茨一生没有结婚，没有在大学当教授。他平时从不进教堂，因此他有一个绰号 Lovenix，即什么也不信的人。他去世时教士以此为借口，不予理睬，曾雇用过他的宫廷也不过问，
5、无人前来吊唁。弥留之际，陪伴他的只有他所信任的大夫和他的秘书艾克哈特。,三、思想观点,（一）、认识论,莱布尼茨的认识论，是同他的单子论一脉相承的。他从单子的等级出发，贬低感性，抬高理性，把感性认识看做纯粹动物的认识。正因如此，他反对经验论，尤其是洛克的经验论。他的人类理智新论一书，就是专门为了反对洛克的人类理智论而写的。他认为经验论只抓住了个别事物，不能把握普遍的、必然性的东西。若仅凭经验，这是动物行为。,三、思想观点,（二）、单子论,全文共 90节，大体可分为两部分：148节主要论述一切实体的本性，包括实体应是构成复合物的最后单位，本身没有部分，是单纯的东西，即精神性的单子；实体本身应具有内
6、在的能动原则等等。4990节主要论述实体间的关系，包括前定和谐及这个世界是“一切可能的世界中最好的世界”的学说等等。莱布尼兹的单子论是一个客观唯心主义的体系，有向宗教神学妥协的倾向，但也包含一些合理的辩证法因素，如万物自己运动的思想等。,三、思想观点,（三）、哲学观,作为一个唯理论者，莱布尼茨企图调和经验论和唯理论，企图找出一条介于笛卡尔与洛克理论之间的中间道路。莱布尼茨继承了笛卡尔的唯理论，主张“天赋观念”论。 莱布尼茨抬高推理的真理，表现出唯理论倾向，但他毕竟承认了事实的真理，并认为它就是由感性知觉提供的，反映了他向经验论的让步。,一、微积分,二、二进制,三、其他成就,科学成就,一、微积分
7、,莱布尼茨和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算。而这是微积分建立的关键所在。只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学。并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则。因此，微积分“是牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的”。 然而关于微积分创立的优先权，在数学史上曾掀起了一场激烈的争论。实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼茨，但莱布尼茨成果的发表则早于牛顿。,二、二进制,关于莱布尼茨的二进制与中国的八卦图的关系，有许多的考证，但是对于莱布尼茨是受到八
8、卦图的影响而发明二进制还是单独发明二进制，迄今似乎也没有定论。,胡阳、李长铎的著作莱布尼茨二进制与伏羲八卦图考给出了比较可信的材料，表明莱布尼茨的二进制至少在某种程度上受到了八卦图的启发。,三、其他成就,（一）、数学方面,高等数学上的众多成就 1、莱布尼茨在数学方面的成就是巨大的，他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域。他的一系列重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定了基础。 2、莱布尼茨曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对数并不存在，共扼复数的和是实数的结论。在后来的研究中，莱布尼茨证明了自己结论是正确的。他还对线性方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提
9、出行列式的某些理论，此外，莱布尼茨还创立了符号逻辑学的基本概念。,三、其他成就,（一）、数学方面,3、莱布尼兹是数字史上最伟大的符号学者之一，堪称符号大师。 他曾说：“要发明, 就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物的内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动”，正象印度阿拉伯的数学促进了算术和代数发展一样，莱布尼兹所创造的这些数学符号对微积分的发展起了很大的促进作用。欧洲大陆的数学得以迅速发展， 莱布尼兹的巧妙符号功不可没.。除积分、微分符号外， 他创设的符号还有商“a/b”, 比“a:b”，相似“”, 全等“”、并“”、“交“ ”以及函数和行列式
10、等符号。,三、其他成就,（二）、物理方面,1671年，莱布尼茨发表了物理学新假说一文，提出了具体运动原理和抽象运动原理，认为运动着的物体，不论多么渺小，它将带着处于完全静止状态的物体的部分一起运动。 他还对笛卡儿提出的动量守恒原理进行了认真的探讨，提出了能量守恒原理的雏型；证明了动量不能作为运动的度量单位，并引入动能概念，第一次认为动能守恒是一个普通的物理原理。,三、其他成就,（二）、物理方面,证明了“永动机是不可能”的观点。 1684年，莱布尼茨在固体受力的新分析证明一文中指出，纤维可以延伸，其张力与伸长成正比，因此他提出将胡克定律应用于单根纤维。这一假说后来在材料力学中被称为马里奥特莱布尼
11、茨理论。 在光学方面，他利用微积分中的求极值方法，推导出了折射定律，并尝试用求极值的方法解释光学基本定律。,三、其他成就,（三）、哲学方面,著作单子论原文为法文，本无 标题。1720年克 勒曾发表 了本篇的德译文 ，1721年迪唐又据德译转译 为拉丁文，1840 年J.E. 爱尔特曼在莱布尼 兹手稿 中发现 原文，收入所编 莱布尼兹哲学全集中，并加上了标题。本文是莱布尼兹把自己在许多哲学著作中所阐述的主要观点高度浓缩的作品。篇幅虽短而内容丰富。,单子论,三、其他成就,（三）、计算机方面,1673年莱布尼茨特地到巴黎去制造了一个能进行加、减、乘、除及开方运算的计算机。这是继帕斯卡加法机后，计算工
12、具的又一进步。帕斯卡逝世后，莱布尼茨发现了一篇由帕斯卡亲自撰写的“加法器”论文，勾起了他强烈的发明欲望，决心把这种机器的功能扩大为乘除运算。,莱布尼茨发明的 “乘法器”,二、建立过程,三、优先权之争,四、微积分的科学意义,微积分,一、微积分的概念,一、微积分的概念,微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。 微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。,二、建立过程,（一）、微积分的萌芽极限思想,1、公元前三世纪，古希
13、腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。 2、作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如中国的庄周所著的庄子一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。 3、三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。,二、建立过程,（二）、促使产生的问题因素,归结起来，大约有四种主要类型的问题：,第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。天文学、力学等涉及许多非匀速运动，大多数也不是直线
14、运动，传统的数学方法无能为力，要求新的数学工具。 第二类问题是求曲线的切线的问题。不仅是几何学的问题，而且也是许多其他科学问题的要求，如物体作曲线运动，光的折射和反射。 第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。天文学和力学都有关，例如求行星运动的近日点远日点，抛射体的最大射程和高度等。 第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。,三、建立过程,（三）、早期的研究者,十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作。如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利
15、的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。,二、建立过程,（四）、集大成者、创始人,十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）。 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。,二、建立过程,（四）、集大成者、创始人,牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小
16、量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。,牛顿,莱布尼茨,三、优先权之争,关于微积分创立的优先权，在数学史上曾掀起了一场激烈的争论。实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼茨，但莱布尼茨成果的发表则早于牛顿。,由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。,三、优先权之争,莱布尼
17、茨1684年10月在教师学报上发表的论文一种求极大极小的奇妙类型的计算，是最早的微积分文献。这篇仅有六页的论文，内容并不丰富，说理也颇含糊，但却有着划时代的意义。,三、优先权之争,牛顿在三年后，即1687年出版的自认哲学的数学原理的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家莱布尼茨的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外”（但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了）。,四、微积分的科学意
18、义,直到世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，後来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布贝努利和他的兄弟约翰贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。,（一）、历史意义,四、微积分的科学意义,微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。,（二）、现实意义,结束语,“我有非常多的思想,如果别人比我更加深入透彻地研究这些思想,并把他们心灵的美好创造与我的工作结合起来,总有一天会有某些用处.” 莱布尼茨,结束！,
