1、中考数学专题复习三 分类讨论问题一、总体概述分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想。对于因存在一些不确定因素、解答无法或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决。分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解。要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏。二、典型例题【例题 1】已知直角三角形两边 、 的长满足 ，则第三边长为 。例 2. O 的半径为 5，弦 ABCD，AB6 ，CD8，则 AB 和 C
2、D 的距离是（ ）A. 7 B. 8 C. 7或 1 D. 1图 1例 3. 如图 2，正方形 ABCD 的边长是 2，BECE，MN1，线段 MN 的两端在CD、AD 上滑动。当 DM 时，ABE 与以 D、M、N 为顶点的三角形相似。图 2例 4. 如图 3，在直角梯形 ABCD 中，ADBC ，C90 0，BC16，DC12，AD21，动点 P 从 D 出发，沿射线 DA 的方向以每秒 2 个单位长度的速度运动，动点 Q 从点 C 出发，经线段 CB 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 运动，点 P、Q 分别从 D、C 同时出发，当点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停止运动。设运
3、动时间为 秒。设BPQ 的面积为 S，求 S 与 之间的函数关系式。当 为何值时，以 B、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？图 3三、当堂达标1. 如图 4，D 为ABC 边 AB 上一点，满足_条件时，ADCACB。图 42. 如图 5，四边形 ABCD 是矩形，O 是它的中心，E、F 是对角线 AC上的点。如果_，则DEC BFA（请你填上能使结论成立的三个条件） 。图 53. 如图 6 所示，ABC 中，点 D 在 AB 上，点 E 在 BC 上，BDBE。请你再添加一个条件，使得BEABDC，并给出证明。你添加的条件是：_ _，根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形_。
4、（只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）图 64. 如图 7，AB 是O 的直径，CB、CD 分别切O 于点 B、D ，CD 与 BA 的延长线交于点 E，连结 OC、OD 。求证： OBC ODC ；已知 DEa，AEb，BCc，请你思考后，选用以上适当的数，设计出算O 半径的一种方案：你选用的已知数是_；写出求解的过程。 （结果用字母表示）图 75 如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=2，点 A 的坐标为(1，0)，以 CD 为直径，在矩形 ABCD 内作半圆，点 M 为圆心设过 A、B 两点抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，顶
5、点为点 N(1)求过 A、C 两点直线的解析式；(2)当点 N 在半圆 M 内时，求 a 的取值范围；(3)过点 A 作M 的切线交 BC 于点 F，E 为切点，当以点 A、F,B 为顶点的三角形与以 C、N、M 为顶点的三角形相似时，求点 N 的坐标6 在平面直角坐标系内,已知点 A(2,1),O 为坐标原点.请你在坐标轴上确定点 P,使得AOP 成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点 P 都找出来,画上实心点,并在旁边标上 P1,P2,Pk,(有 k 个就标到 PK为止,不必写出画法) 中考数学专题复习 分类讨论问题参考答案一、 例题参考答案【例题 1】解：由已知易得若 是三角形两
6、条直角边的长，则第三边长为 。若 是三角形两条直角边的长，则第三边长为 ，若 是一直角边的长， 是斜边，则第三边长为 。第三边长为 。【例题 2】解：因为弦 AB、CD 均小于直径，故可确定出圆中两条平行弦 AB 和 CD 的位置关系有两种可能：一是位于圆心 O 的同侧，二是位于圆心 O 的异侧。如图 1，过 O 作 EFCD，分别交 CD、AB 于 E、F ，则 CE4，AF3 。 由勾股定理可求出 OE3，OF 4。当 AB、CD 在圆心异侧时，距离为OEOF 7 。 当 AB、CD 在圆心同侧时，距离为 OFOE1。选C。 图 1【例题 3】解：勾股定理可得 AE 。当ABE 与以 D、
7、M、N 为顶点的三角形相似时，DM 可以与 BE 是对应边，也可以与 AB 是对应边，所以本题分两种情况：当 DM 与 BE 是对应边时， ，即 。当 DM 与 AB 是对应边时， ，即故 DM 的长是 。【例题 4】：过点 P 作 PMBC，垂足为 M，则四边形 PDCM 为矩形，PMDC12。QB 16 ， 。由图可知，CM PD2 ，CQ ，若以 B、P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为三种情况：以 Q 为顶点，由图可知，PQBQ。在 Rt PMQ 中， ，解得 。若以 B 为顶点，则 BQBQ。在 RtPMB 中，即 ， ，解得 无解， 。若以 P 为顶点，则 PBPQ。在
8、RtPMB 中，。解得 不合题意，舍去） 。综合上面原讨论可知：当 秒或 秒时，以 B、P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形。二、当堂达标参考答案1.解：可填ACDB，ADCACB，AC2ADAB。2.解：AECF （OEOF； DEAC、BFAC ；DE BF 等等）3.解：添加条件列举：BABC；AEBCDB；BAC BCA；BCD BAE等，证明列举（以添加条件AEBCDB 为例）AEBCDB ，BEBD，BB，BEABDC 。另一对全等三角形是：ADFCEF 或AECCDA 。4.解：证明：CD、CB 是O 的切线，ODCOBC 90 ，ODOB，OCOC ，OBC ODC（HL）
9、。选择 a、b、c，或其中 2 个均可。若选择 a、b。由切割线定理：a 2b（b2r） ，得 r ，若选择 a、b、c。在 RtEBC 中，由勾股定理：（b2r） 2c 2（ac） 2。得 r 。若选择 b、c ，则有关系式 2r3br 2bc 205.解：(1)过点 A、c 直线的解析式为 y= x3(2)抛物线 y=ax25x+4a顶点 N 的坐标为( ， a)52 94由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点 M 且与 CD 垂直的直线上，又点 N 在半圆内， a 2，解这个不等式，得 a 12 94 98 29(3)设 EF=x，则 CF=x，BF=2x在 RtABF 中，由勾股定理得 x= ，BF= 98 786.解：以 A 为圆心，OA 为半径作圆交坐标轴得 和 ；1(4,0)P2(,)以 O 为圆心，OA 为半径作圆交坐标轴得 ， ， 和35,5,5(0,)P；作 OA 的垂直平分线交坐标轴得 和 。6(0,5)P7()48()2点拨：应分三种情况：OA=OP 时；OP=P 时；OA=PA 时，再找出这三种情况中所有符合条件的 P 点
