1、学优中考网 第二十一讲：相似图形孙法光知识梳理知识点 1.相似图形的定义及特征重点：掌握相似图形的定义及特征难点：运用定义和性质解决问题日常生活中我们会碰到很多形状相同，大小不一定相同的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形相似多边形的特征“对应边成比例，对应角相等”既是相似多边形的识别方法又是性质。相似比相似比是把一个图形放大或缩小的倍数，其具有顺序性，全等是相似比为 1 时的特殊情况。知识点 2 相似三角形的定义及判定重点：掌握相似的判定方法难点：熟练判定三角形的相似相似三角形的定义对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似三角形的判定定理: （1）平行相似定理(2)如
2、果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,(简叙为两角对应相等两三角形相似). (3)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.) (4)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似.) 直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似. (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.
3、 相似三角形所对应的基本图形：例 1. 如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为 AB、PQ，并且 ABPQ，建筑物的一端 DE 所在的直线 MNAB 于点 M，交 PQ 于点 N，小亮从胜利街的 A 处，沿着 AB 方向前进，小明一直站在点 P 的位置等候小亮。请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在的位置（用点 C 标出）；已知：MN20m，MD8m，PN24m。求中的点 C 到胜利街口的距离 CM。解题思路：由三点共线可知点 C 在直线 PD 上；再根据已知条件可得两三角形相似，建立比例式求得 CM。解：如图，连结 PD 并延长交 AB 于点 C，点 C 即为小亮恰好能
4、看见小明的位置；由已知条件得：CMDPND，所以有： ，即 ，解得：CM16m。例 2 .如图在 44 的正方形方格中，ABC 和DEF 的顶点都在长为 1 的小正方形顶点上。学优中考网 ABCDE FABCPABC D EF H KG12 3456填空：ABC_，BC_。判定ABC 与DEF 是否相似？解题思路：注意从图中提取有效信息，通过观察图形并充分利用正方形方格的特征和勾股定理计算有关线段的长即可解本题。解答：ABC135，BC ；能判断ABC 与DEF 相似；理由：因为ABCDEF135，又因为由 AB2，BC ，DE ，EF2，可得： ，2ABCDEF所以，根据两边对应成比例，且夹
5、角相等，可得ABCDEF。例 3. 如图所示，D、E 两点分别在ABC 两条边上，且 DE 与 BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件_，使得ADEABC。解题思路：结合相似三角形的判定方法补充条件。解：1B 或2C，或 ADEBC练习 1 如图， 两点分别在 的边 上，与 不平行，当满足_ 条件（写出一个即可）时，2.已知：如图，ABC 中，P 为 AB 上的一点，在下列四个条件中： ACP=B APC=ACB AC 2=APAB ABCP=APCB，能满足APC 和ACB 相似的条件是 （ ）A、 B、 C、 D、3.如图，在正方形网格上有 6 个三角形 ABC， BCD， BDE， B
6、FG， FGH， EFK，其中中与三角形相似的是 （ ）A、 B、 C、 D、答案：1. ADE=ACB 2. D 3. B知识点 3 相似三角形的性质重点：掌握相似三角形的性质难点：熟练运用三角形的相似的性质相似三角形的性质（1）对应边成比例，对应角相等；（2）对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；（3）周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。例 1. 如图，王华晚上由路灯 A 下的 B 处走到 C 处时，测得影子 CD的长为 1 米，继续往前走 2 米到达 E 处时，测得影子 EF 的长为 2 米，已知王华的身高是 1.5 米，那么路灯 A 的高度等于（ ）A. 4
7、.5 米 B. 6 米 C. 7.2 米 D. 8 米解题思路：在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁。本题中“ ”，就是一个中间比，利用它进行转化即1.5AB可得出答案。略解：由题意可得 以及 ，所以 ，即 ，解得 BC2，所以 = ，1.5AB3所以 AB4.5，故选 A。例 2. 一块直角三角形木板的一条直角边 AB 长为 1.5m，面积为 1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形，请两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图（3），乙设计的方案如图（4）。你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由。（加工损耗忽略，计算结果可
8、保留分数）解题思路：方案（1），设正方形的边长为 x m，通过相似三角形对应边成比例建立方程，求出边长。方案（2），设正方形的边长为 xm，通过相似三角形对应高的比等于相似比建立方程，求出边长。解：方案（1）：由题意可知， DE BA，得 CDE CBA。学优中考网 ；方案（2）：作 BH AC 于 H。 DE AC，得 BDE BAC。 。如图（3）加工出的正方形面积大。例 3.如图， 分别是 的边 上的点， ，则 解题思路：利用相似三角形的面积比等于相似比的平方答案：练习 1、 如图，点 在射线 上，点在射线 上，且 ，若 ， 的面积分别为 1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 2、如
9、图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点 P 处放一水平的平面镜,光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端 C 处，已知 ABBD，CDBD，且测得 AB=1.2 米，BP=1.8 米，PD=12 米， 那么该古城墙的高度是（ ）A、6 米 B、8 米 C、18 米 D、24 米3、如图，点 D、E 分别在ABC 的边上 AB、AC 上，且，若 DE=3，BC=6，AB=8，则 AE 的长为_答案 1、10.5 2、B 3、4知识点 4、位似重点：能根据位似图形的特征，将一个图形进行放大和缩小难点：理解位似图形的性质、选择适当的方式进行图形的放大和缩小辨别图形相似与位
10、似例 1下列说法中不正确的是（ ）A位似图形一定是相似图形; B相似图形不一定是位似图形;C位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比;D位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行解题思路:本题考查了位似图形的性质及相似图形与位似图形的关系，A、B、C正确，因为一对位似对应点与位似中心共线，所以 D 错误例 2. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm3.5cm，放映的荧屏的规格为 2m2m，若放映机的光源距胶片 20cm 时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？解题思路:胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转
11、化为位似问题解答。位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质。设荧屏距镜头为 xcm，由题意可得 ，解得 （cm）即 （m）。203.5x807x807x所以，荧屏应拉在离镜头 m 的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏。87最新考题中考要求及命题趋势1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段、黄金分割；2、通过具体实例认识图形 的相似，理解相似图形的性质，相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方；学优中考网 3、了解两个三角形相似的概念，理解两个三角形的相似的条件；4、了解图形 的位似，灵活运用位似将一个图形放大或缩小；5、灵活运用图形的相似解决
12、一些实际问题；2010 年中考将继续考查相似三角形的判定和性质，试题更加贴近生活；考查运用不同的方式确定物体的位置，以及感受在同一坐标系中，图形变换后的坐标的变化。应试对策 1、要掌握基本知识和基本技能；2、运用相似形的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养数学建模的思想；3、在综合题中，注意相似形的灵活运用，并熟练掌握等线段、等比代换，等代换技巧的运用，培养综合运用知识的能力；考查目标一、相似三角形性质与判定例 1(2008 湖南怀化)如图，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG,AE 与 CG 相交于点 M，CG 与 AD
13、相交于点 N求证：（1） ；（2）解题思路：（1） 四边形 和四边形 都是正方形 （2）由（1）得 AMN CDN例 2(2008 安徽)如图，四边形 和四边形 都是平行四边形，点 为 的中点， 分别交 于点 （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1 除外） ；（2）求 解题思路：（1） ， ， ， （2） 四边形 和四边形 都是平行四边形， ， 又 ，点 是 中点， 又 ，例 3（2008 广东）如图，在ABC 中，BCAC， 点 D 在BC 上，且 DCAC,ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F，点 E 是AB 的中点，连结 EF.（1）求证：EFBC.（2）若四边形 BDFE 的
14、面积为 6，求ABD 的面积.解题思路（1）证明：,CFAB平 分 . 又 , CF 是ACD 的中线，学优中考网 图22图图NMDCBA 点 F 是 AD 的中点. 点 E 是 AB 的中点， EFBD,即 EFBC. （2）解：由（1）知，EFBD， AEFABD , .又 , , , 的面积为 8. 考查目标二、相似三角形与函数综合例：（2009 广东）正方形 ABCD 边长为 4，M、N 分别是 BC、CD上的两个动点，当 M 点在 BC 上运动时，保持 AM 和 MN 垂直，（1）证明：RtABM RtMCN；（2）设 BM=x，梯形 ABCN 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函
15、数关系式；当 M 点运动到什么位置时，四边形 ABCN 的面积最大，并求出最大面积；（3）当 M 点运动到什么位置时 RtABM RtAMN，求此时 x 的值.解题思路：（1）证明：四边形 ABCD 是正方形，B=C=90，ABM+BAM=90ABM+CMN+AMN=180，AMN=90AMB+CMN=90BAM=CMNRtABMRtMCN（2）RtABMRtMCN， 即 解得：AB =MCN， 4-xC(4)xN , 1=CN+S梯 形 1()y2即： 128yx又 221=-480xx当 x=2 时，y 有最大值 10.当 M 点运动到 BC 的中点时，四边形 ABCN 的面积最大，最大面
16、积是 10.（3）RtABMRtMCN， ，即ABMN2224(4)16()xx化简得： ，解得：x=22160x当 M 点运动到 BC 的中点时 RtABM RtAMN，此时 x 的值为 2.考查目标三、相似三角形与圆综合例 1.(2009 南京)如图，已知O 的半径为 6cm，射线 PM 经过点 O,OP=10cm，射线 PN 与O相切于点 Q.A,B 两点同时从点 P 出发，点 A 以 5cm/s 的速度沿射线 PM 方向运动.点 B以 4cm/s 的速度沿射线 PN 方向运动.设运动时间为 t s.(1)求 PQ 的长；（2）当 t 为何值时，直线 AB 与O 相切？解题思路：（1）连
17、接 OQ.PN 与O 相切于点 Q，OQPN，即OQP=90，OP=10,OQ=6,PQ= =8（cm）.2610（2）过点 O 作 OCAB，垂足为 C，点 A 的运动速度为 5cm/s,点 B 的运动速度为 4cm/s，运动时间为 ts，PA=5t,PB=4t,PO=10,PQ=8, = ,POQBP=P, PAB POQ.PBA=PQO=90.NOQPBAMOACBQPN图 1学优中考网 BQO=CBQ=OCB=90，四边形 OCBQ 为矩形，BQ=OC,O 的半径为 6，BQ=OC=6 时，直线 AB 与O 相切， 当 AB 运动到如图 1 所示的位置，BQ=PQ-PB=8-4t，由
18、BQ=6,得 8-4t=6，解得 t=0.5（s）当 AB 运动到如图 2 的位置，BQ=PB-PQ=4t-8,由 BQ=6，得 4t-8=6,解得 t=3.5(s),所以，当 t 为 0.5 或 3.5 时，直线 AB 与O 相切. 例 2（08 山东省日照市）在 ABC 中， A90， AB4， AC3， M 是 AB 上的动点（不与A， B 重合） ，过 M 点作 MN BC 交 AC 于点 N以 MN 为直径作 O，并在 O 内作内接矩形AMPN令 AM x （1）用含 x 的代数式表示 NP 的面积 S； （2）当 x 为何值时， O 与直线 BC 相切？ （3）在动点 M 的运动过
19、程中，记 NP 与梯形 BCNM 重合的面积为 y，试求 y 关于 x 的函数表达式，并求 x 为何值时， y 的值最大，最大值是多少？解题思路：（1） MN BC， AMN= B， ANM C AMN ABC ，即 AN x = （0 4） MO ACBQPN图 2（2）如图 2，设直线 BC 与 O 相切于点 D，连结 AO， OD，则 AO =OD = MN在 Rt ABC 中， BC =5由（1）知 AMN ABC ，即 ， 过 M 点作 MQ BC 于 Q，则 在 Rt BMQ 与 Rt BCA 中， B 是公共角， BMQ BCA ， x 当 x 时， O 与直线 BC 相切（3）
20、随点 M 的运动，当 P 点落在直线 BC 上时，连结 AP，则 O 点为 AP 的中点 MN BC， AMN= B， AOM APC AMO ABP 学优中考网 AM MB2 故以下分两种情况讨论： 当 0 2 时， 当 2 时， 当 2 4 时，设 PM， PN 分别交 BC 于 E， F 四边形 AMPN 是矩形， PN AM， PN AM x 又 MN BC， 四边形 MBFN 是平行四边形 FN BM4 x 又 PEF ACB 当 2 4 时， 当 时，满足 2 4， 综上所述，当 时 值最大，最大值是 2 过关测试一、选择题 （1）如图,Rt ABAC 中, AB AC,AB=3
21、,AC=4,P 是 BC 边上一点,作 PE AB 于 E,PD AC 于 D,设 BP=x,则 PD+PE=（ ）A. B. C. D. （2）如图（2） ，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网 6 米的位置上，则球拍击球的高度 h 为 （ ）A、 B、 1 C、 D、（3）如图 3，已知等边三角形 ABC 的边长为 2，DE 是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1， （2）AB 边上的高为 ， （3）CDECAB， （4）CDE 的面积与CAB 面积之比为 1：4.其中正确的有 （）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个（4）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是
22、（）学优中考网 （5）若ABCDEF，ABC 与DEF 的相似比为 23，则 SABC S DEF 为（） A、23 B、49 C、 D、32（6）在同一时刻，身高 1.6 米的小强在阳光下的影长为 0.8 米，一棵大树的影长为 4.8 米，则树的高度为（ ） A、4.8 米 B、6.4 米 C、9.6 米 D、10 米（7）小刚身高 1.7m，测得他站立在阳关下的影子长为 0.85m。紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶 （）A.0.5m B.0.55m C.0.6m D.2.2m（8）如图，每个小正方形边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中
23、相似的是（）（9）如图 1,已知 AD 与 VC 相交于点 O,AB/CD,如果B=40,D=30,则AOC 的大小为（ ）A.60 B.70 C.80 D.12010.如图，已知 D、 E 分别是 的 AB、 AC 边上的点，且 那么 等于（ ）A1 : 9 B1 : 3 C1 : 8 D1 : 2（11）图为 ABC 与 DEC 重迭的情形，其中 E 在 BC 上，AC 交 DE 于 F 点， 且 AB / DE。若 ABC 与 DEC 的面积相等，且 EF=9， AB=12，则 DF=？( ) (A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15 （12） 如果两个相似三角形的相似比是 ，
24、那么它们的面积比是（）A B C D二、填空题（1）如图，点 D、E 分别在ABC 的边上 AB、AC 上，且，若 DE=3，BC=6，AB=8，则 AE 的长为_（2）如图 4， 分别是 的边 上的点， ，则 （3）如图，已知 ABC 中， EF GH IJ BC，则图中相似三角形共有 对（4）利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，阳阳的身高是 1.6m，他在阳光下的影长是 1.2m，在同一时刻测得某棵树的影长为 3.6m，则这棵树的高度约为_ m（5）在比例尺为 12000 的地图上测得 AB 两地间的图上距离为 5cm，则 AB 两地间的实际距离为 m（6）在 RtABC 中，
25、C 为直角，CDAB 于点 D,BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是_ 和 ；并写出它的面积比 . 三、解答题1.阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达） ，他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案（1）所需的测量工具是： ；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高 的长度为 ，请用所测数据（用小写字母表示）求出 2. 如图，梯形 ABCD 中，ABCD，E 为 DC 中点，直线 BE 交 AC 于 F，交 AD 的延长线于 G；求证：EFBG=BFEGA BC
26、D EFG学优中考网 3.如图，在直角坐标系中 ABC 的 A、 B、 C三点坐标为 A(7，1)、 B(8，2)、 C(9，0)(1) 请在图中画出 ABC 的一个以点 P (12，0)为位似中心，相似比为 3 的位似图形(要求与 ABC 同在 P 点一侧);(2)求线段 BC 的对应线段 所在直线的BC解析式4.如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 MN，矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似，已知 AB=4(1)求 AD 的长 (2)求矩形 DMNC 与矩形 ABCD 的相似比5.如图四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点R 为 DE 的中点，BR 分别交 AC、CD
27、于点 P、Q。请写出图中各对相似三角形(相似比为 1 除外)；(2)求 BPPQQR6.如图，平行四边形 ABCD 中， AB5， BC10， BC 边上的高 AM=4， E 为 BC 边上的一个动点（不与 B、 C 重合） 过 E 作直线 AB 的垂线，垂足为F FE 与 DC 的延长线相交于点 G，连结 DE， DF （1） 求证： BEF CEG（2） 当点 E 在线段 BC 上运动时， BEF 和 CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由QPA DB C ER（3）设 BE x， DEF 的面积为 y，请你求出 y 和 x 之间的函数关系式，并求出当 x 为何值时, y 有最大值，
28、最大值是多少？ 答 案一选择题 1. C 2. C 3. D 4. B5.B6.C7.A8.B9.B10.B11.B12.B二填空 1. _4_2. 3. 6 对 4. 4.8 5. 100 6. ABC CBD 25：9三解答题1. 解：（1）皮尺、标杆（2）测量示意图如右图所示（3）如图，测得标杆 ，树和标杆的影长分别为 ， ， 2. 证明： ABDC EFCBFA，GDEGAB EF/BF = EC/AB， EG/BG = DE/AB又 DE = EC EC/AB = DE/AB EF/BF = EG/BG 即 EFBG = BFEG3. 解:(1)画出 ，如图所示 ABCMBDCEFG
29、xA学优中考网 (2)作 BD 轴， 轴，垂直分别是 D， E 点 BDxBExB PD B(8，2)， ， 8O2 124 与 ABC 的相似比为 3，AC 3PB 24E ， PE=126B PO=12 ， E 与 O 点重合，线段 在 y 轴上BE 点坐标为(0，6) 同理 : :3PC1又 = ， 2939PC1293O 点坐标为(3，0) 设线段 所在直线的解析式为 BC ykxb则 603kb 26kb，线段 所在直线解析式为 BC 26yx4. 解：(1)由已知，得 MN=AB，MD= AD= BC1矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似，BCDMNA AD2=AB2，1由 AB
30、=4 得，AD=4 (2)矩形 DMNC 与矩形 ABCD 的相似比为 DM2AB5. 解：（1）BCPBER，PCQPAB，PCQRDQ，PABRDQ 4 分（2）四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形BC=AD=CE，ACDE，PB=PR， PC1=RE2又PCDR，PCQRDQ又点 R 是 DE 中点，DR=RE。，QR=2PQ。PQC1=DE2又BP=PR=PQQR=3PQBPPQQR=3126. （1） 因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 ABDG所以 所以 ,BGCEBFECE （2） 的周长之和为定值 F 与 理由一：过点 C 作 FG 的平行线交直线 AB
31、 于 H ，因为 GF AB，所以四边形 FHCG 为矩形所以 FH CG， FG CH因此， 的周长之和等于 BC CH BH BEFG 与 由 BC10， AB5， AM4，可得 CH8， BH6，学优中考网 所以 BC CH BH24 理由二：由 AB5， AM4，可知 在 Rt BEF 与 Rt GCE 中，有：，343,555EFBEGCE所以， BEF 的周长是 ， ECG 的周长是12B12又 BE CE10，因此 的周长之和是 24 FA与（3）设 BE x，则 43,(10)5ExGCx所以 216()52 5yDx配方得： 26()6x所以，当 时， y 有最大值 最大值为 516AMxHGFEDCB学优中 考，网 学优中考网 学优中考，网 学.优!中考*，网
