1、2018 高中毕业年级第一次质量预测文科数学试题卷第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数 （为虚数单位）等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 故选2. 设集合 ， ，若 ，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】集合 ， ，故选3. 设向量 ， ，且 ，若 ，则实数 （ ）A. B. C. 1 D. 2【答案】C【解析】即即得 或当 时， ， ，满足当 时， ， ，不满足综上故选4. 下列说法正确的是（ ）A. “若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”B. “若 ，
2、则 ”的逆命题为真命题C. ，使 成立D. “若 ，则 ”是真命题【答案】D【解析】选项 A，否命题为“若 ，则 ”，故 A 不正确选项 B，逆命题为“ 若 ，则 ”，为假命题，故 B 不正确选项 C，由题意知对 ，都有 ，故 C 不正确选项 D，命题的逆否命题“若 ，则 ”为真命题，故“若 ，则 ”是真命题，所以 D 正确选 D5. 我国古代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果 （ ）A. 5 B. 4 C. 3 D. 2【答案】B【解析】模拟执行程序可得，a=1,
3、A=1,S=0,n=1S=2 不满足条件 S ,执行循环体，n=2,a=,A=2,S=不满足条件 S ，执行循环体，n=3,a=,A=4,S=不满足条件 S ，执行循环体,n=4,a=,A=8,S=满足条件 S ，退出循环，输出 n=4故选 B6. 若某几何体的三视图（单位： ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A. 10 B. 20 C. 30 D. 40【答案】B【解析】试题分析：从题设中提供的三视图的图形信息和数据信息可知该几何体是一个以为直角边的直角三角形为底高为的三棱柱去掉一个以 为直角边的直角三角形为底高为的三棱锥剩下的几何体,故其体积 ,故应选 B考点：三视图的识读和理解7.
4、若将函数 图象上的每一个点都向左平移个单位，得到 的图象，则函数 的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】将函数 图象上的每一个点都向左平移个单位，得到 的图象故本题即求 的减区间令求得故函数 的单调递增区间为故选8. 已知数列 的前项和为， ， ，且 ，记，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，数列 是等差数列又 ， ，则 ，故选9. 已知函数 ，若函数 在上有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得：解得故选10. 已知椭圆 的左顶点和上顶点分别为 ，左、右焦点分别是 ，在线段 上有且只有一个点满足 ，
5、则椭圆的离心率的平方为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】作图如下：，直线 的方程为：椭圆 整理得：设直线 上的点则，令则由 得 ,整理得： ，又 ，又椭圆的离心率故椭圆的离心率的平方为故选11. 我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出 7 名学生参加 2018 年全国高中数学联赛（河南初赛） ，他们取得的成绩（满分 140 分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是 81，乙班学生成绩的平均数是 86，若正实数 满足 成等差数列且 成等比数列，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 9【答案】C【解析】甲班学生成绩的中位数是 ，解得由茎叶图可知乙班学生的总分为又乙班学
6、生成绩的平均数是总分又等于 ，若正实数 满足 成等差数列且 成等比数列，则 ， ，即有则故选12. 若对于任意的正实数 都有 成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由 ，可得设 ，则可设则 ，所以单调递减， 在 单调递增，在 上单调递减，实数的取值范围为故选点睛：本小题主要考查了不等式的恒成立问题的求解，其中解答中涉及利用导数求解函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合应用，解答中通过分离参数，构造新函数，利用函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题。第卷二、填空题（本题共 4 小题，
7、每题 5 分，共 20 分）13. 设变量 满足约束条件 则目标函数 的最小值为_.【答案】6【解析】由图可知，当 时，14. 如果直线 与直线 平行，则 _.【答案】3【解析】解：利用直线平行，斜率相等，截距不同可知15. 已知数列 满足 ，且 ，则_.【答案】100【解析】数列 是等比数列，点睛：由 ，得到数列 是公比 的等比数列，根据等比数列的性质以及对数的运算法则进行求解即可。本题主要考查对数值的计算，根据条件判断数列是等比数列，以及等比数列的性质是解决本题的关键。16. 已知双曲线 的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为 ，交另一条渐近线于，若 ，则双曲线的渐近线方程为
8、_.【答案】 【解析】如图所示渐近线 OM 的方程为 右焦点为 ，因此 ，过点向 ON 作垂线，垂足为 P，则 .又因为 ，所以 ，在直角三角形 中，所以 ，故在三角形 OMN 中， ，所以 ,所以 ，即 所以双曲线的离心率为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在 中，角 的对边分别为 ，且 .（1）求角；（2）若 的面积为 ，求的最小值.【答案】 （1） （2）12【解析】试题分析： 利用余弦定理化简 ，转化求解角；利用三角形的面积以及余弦定理结合基本不等式求解即可。解析：(1)（2） 故的最小值为 12. 18. 2017 年 10 月份郑州市进行了高三学生的体
9、育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校 1000 名（男生 800 名，女生 200 名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取 100 名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：抽样情况 病残免试 不合格 合格 良好 优秀人数 5 10 15 47女生测试情况抽样情况 病残免试 不合格 合格 良好 优秀人数 2 3 10 2（1）现从抽取的 1000 名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好” 或“优秀”的学生为“体育达人”， 其它等级的学生（含病残免试 ）为“ 非体育达人”，根据以上统计
10、数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？男性 女性 总计体育达人非体育达人总计临界值表：0.10 0.05 0.025 0.010 0.0052.706 3.841 5.024 6.635 7.879附：（ ，其中 ）【答案】 （1） （2）在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下可以认为“是否为体育达人与性别无关”【解析】试题分析： 按分层抽样男生应抽取名，女生应抽取名，从而得到， ，从而得到名任意选名总的基本事件，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解概率；列出列联表，利用对立性检验的公式，求得，即可得到结论。解析：（1
11、）按分层抽样男生应抽取 80 名，女生应抽取 20 名.，抽取的 100 名且测试等级为优秀的学生中有三位男生，设为， ， ；两位女生设为，.从 5 名任意选 2 名，总的基本事件有 ， ， ， ， ， ， ， ， 共 10 个.设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件”.则事件包含的基本事件有 ， ， ， ， ， 共 6 个.（2） 列联表如下表：男生 女生 总计体育达人 50 5 55非体育达人 30 15 45总计 80 20 100则且 .所以在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下可以认为“是否为体育达人与性别无关”. 19. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， 为线段上
12、的点，且 ， .（1）求证： 平面 ；（2）若 ，求点到平面 的距离.【答案】 （1）详见解析（2）3【解析】试题分析： 连接 ，由边长可以求得 ，运用余弦定理求得 ，结合面面垂直的性质定理可以证得 平面 （2）利用等体积法 即可求得结果解析：（1）证明：连接 ，据题知,则 ,又因为 ，所以 因为 ， 都在平面 内，所以 平面 ； （2） 20. 已知圆 和抛物线 ，圆心到抛物线焦点的距离为 .（1）求抛物线的方程；（2）不过原点的动直线交抛物线于 两点，且满足 .设点为圆上任意一动点，求当动点到直线的距离最大时的直线方程.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析： 根据题意圆心到抛物线焦点距
13、离，利用两点之间距离公式计算可得结果（2） ，联立抛物线，结合条件求得两根之和与两根之积，解得 再得出点到线距离最大时的直线方程解析：（1） 可化为 ，则,抛物线的方程为（2）， 点睛：本题在解答直线与抛物线位置关系时需设出直线方程，这里给出 形式的直线方程，方便计算，根据题目意思解得直线横过定点，再结合题意，求得当与直线垂直时的直线方程即可21. 已知函数 ， 在 处的切线与轴平行.（1）求 的单调区间；（2）若存在 ，当 时，恒有 成立，求的取值范围.【答案】(1)增区间 减区间 (2) 【解析】试题分析： 先求出函数的导数，令导函数大于，解出即可；（2）构造新函数 ，求导，分类讨论的取值
14、，在不同情况下讨论，取得最后结果解析：（1）由已知可得 的定义域为（2）不等式 可化为 ，不适合题意.适合题意.适合题意 .综上，的取值范围是点睛：含有参量的不等式题目有两种解法，一是分离含参量，二是带着参量一起计算，本题在处理问题时含有参量运算，然后经过分类讨论，求得符合条件情况的参量范围22. 在平面直角坐标系 中，直线过点 ，倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是 .（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（2）若 ，设直线与曲线交于 两点，求 的面积.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由直线参数方程的定义可得的参数方程，根据极坐标和直角坐标间的转化公式可得所求方程 （2）求出直线的参数方程，代入抛物线方程后根据参数方程中参数的几何意义求得，求得点 后可得三角形的面积试题解析：(1)由题意可得直线的参数方程为：，将 代入上式，可得 ，曲线的直角坐标方程为 （2）当 时，直线的参数方程为代入 可得23. 设函数 ， .（1）解不等式 ；（2）若 对任意的实数恒成立，求的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）将绝对值不等式两边平方，化为二次不等式求解 （2）将问题化为分段函数问题，通过分类讨论并根据恒成立问题的解法求解即可试题解析：整理得解得 解得,且无限趋近于 4，综上的取值范围是
