1、2017-2018 学年度上学期质量监测高三数学（理）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集 ,则 等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为全集 ，则 且， ，故选 B.2. 是“函数 的最小正周期为 ”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为函数 ，它的周期是 ，显然“ ”可得“函数 的最小正周期为 ” ， “函数 的最小正周期为 ”推不出“ ”， 是“函数 的最小正周期为 ”的充分不必
2、要条件，故选 A.3. 已知 ,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据对数函数的单调性可以得到 根据指数函数的性质可得 ，故选 D.4. 设 ,则使函数 的定义域为 且为奇函数的所有 的值为( )A. 1，3 B. -1，1 C. -1，3 D. -1，1，3【答案】A5. 若 满足约束条件 且向量 ,则 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】向量 ，设 ，作出不等式组对于的平面区域如图，由 ，得 ，平移直线 ，由图象可知当直线 ，经过点 时，直线 的截距最大，此时 最大，由 ，解得 ，即 ，此时，经过点 时，直线 的截距最小，此时 最小，由 ，解得 ，即
3、 ，此时 ，则 ， 的取值范围是 ，故选 D.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6. 在公差不为零的等差数列 中， ,数列 是等比数列，且 ,则的值为( )A. 2 B. 4 C. 8 D. 1【答案】B【解析】试题分析： ， ， ， ，而 考点：等差数列等比数列的性质、对数的运算7. 定积分 的值为( )A. B
4、. C. D. 【答案】A【解析】 表示以 为圆心，以 为半径的圆， 定积分等于该圆的面积的四分之一， 定积分 ，故选 A.8. 设 ,若 成等差数列，则 的最小值为 ( )A. 8 B. 9 C. 12 D. 16【答案】D【解析】 成等差数列， ，当且仅当 时取等号，故则的最小值为 ，故选 D.9. 在 中，已知 分别为角 的对边且 若 且 ，则 的周长等于( )A. B. 12 C. D. 【答案】A【解析】在 中， ，故由正弦定理可得 ，再由10. 在 中，若 ，则 是( )A. 等边三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形【答案】D【解析】 在 中， ，为直角三角
5、形，故选 D.11. 已知函数 在 上非负且可导，满足， ,若 ,则下列结论正确的是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 函数 在 上递减，又且 非负，于是有 ， ， 两式相乘得，根据“或”命题成立的条件可得 成立，故选 A.【方法点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状” ；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数
6、.本题通过观察四个选项，联想到函数 ，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.12. 若存在实常数 和 ，使得函数 和 对其公共定义域上的任意实数 都满足：和 恒成立，则称此直线 为 和 的“隔离直线” ，已知函数 , ,有下列命题： 在 内单调递增； 和 之间存在“隔离直线” ，且 的最小值为-4； 和 之间存在“隔离直线” ，且 的取值范围是 ； 和 之间存在唯一的“隔离直线” .其中真命题的个数有( )A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【答案】C【解析】 ， ，在内单调递增，故正确；，设 的隔离直线为 ，则 对一切实数 成立，即有 ，又 对一切 成立，则 ，即，即
7、有 且 ，同理可得 ，故正确，错误，函数 和 的图象在 处有公共点，因此存在 和 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为 ，则隔离直线方程为 ，即 ，由 ，可得，当 恒成立，则 ，只有 ，此时直线方程为，下面证明 ，令 ， ，当 时， ；当 时， ；当时， ；当 时， 取到极小值，极小值是 ，也是最小值，则 ， 函数 和 存在唯一的隔离直线 ，故正确，真命题的个数有三个，故选 C.【方法点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题、以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅
8、读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求， “照章办事” ，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“隔离直线”达到考查导数在研究函数性质的应用的目的.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知不等式 的解集为 ,则不等式 的解集为_【答案】 或【解析】试题分析：根据题意可得 ，所以 可化为，所以不等式的解集为 .考点：一元二次不等式的解法.14. 等比数列 中， ,函数 ，则 _【答案】【解析】 函数 ，
9、 ，则 ，故答案为 .15. 设 是定义在 上的偶函数，对任意 ，都有 且当 时，若在区间 内关于 的方程 恰有 3 个不同的实数根，则 的取值范围是_【答案】【解析】对于任意的 ，都有 函数 是一个周期函数，且 ，又 当时， ，且函数 是定义在 上的偶函数，若在区间 内关于 的方程恰有 个不同的实数解，则函数 与 在区间 上有三个不同的交点，画出 与 的图象，如图所示，又 ，则对于函数，由题意可得，当 时的函数值小于 ，当 时的函数值大于 ，即 ，且 ，由此解得 ，故答案为 .16. 设函数 ，对任意的 ，不等式 恒成立，则正数 的取值范围是_【答案】【解析】 当 时， ， 时，函数 有最小
10、值 ，当 时， ，则函数 在 上单调递增；当 时， ，则函数 在 上单调递减， 时，函数 有最大值，则有 ， 恒成立且 ， ，故答案为 .【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1） 只需 ；（2），只需 ；（3） ， 只需；（4） ， ， .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，角 所对的边分别是 满足： ，且成等比数列.()求角 的大小；()若 ,判断三角形的形状.【答案】
11、 （1） （2）三角形 是等边三角形【解析】试题分析：()根据诱导公式以及两角和的余弦公式化简，可得 ，再由 结合正弦定理，求得，根据 不是最大边，可得 为锐角，从而求得 的值；()由条件可得， ，结合 ，可求得 ，从而得三角形为等边三角形.试题解析：() ,因为,又 ,而 成等比数列，所以 不是最大，故 为锐角，所以 .()由 ,则 ,利用正弦定理可得 ,又因为 ,所以 ,所以三角形 是等边三角形.18. 在等差数列 中， ,其前 项和为 .()求数列 的通项公式；()设数列 满足 ,求数列 的前 项和 .【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：()设等差数列 的公差为 ，由 列方程组求得
12、首项和公差，代入等差数列的通项公式可得答案；()求出等差数列的前 项和 ，代入 ，然后利用裂项相消法可求得数列 的前 项和.试题解析：() ,即 得 ,.() ,.【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ； （3） ；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.19. 已知函数 .()求函数 的最小正周期和单调递增区间；()若存在 满足 ,求实数 的取值范围.【答
13、案】 （1） （2）【解析】试题分析：()利用两角差的余弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式化简 ，由周期公式可得函数 f(x)的最小正周期，利用正弦函数的单调性解不等式 可得 单调递增区间；()利用三角函数的有界性求得的范围，从而根据二次函数的性质求得 的最大值为 ，进而可得结果.试题解析：() ,函数 的最小正周期 ，由 ,得 ,单调递增区间为 .()当 时，,存在 满足 的实数 的取值范围为 .20. 已知单调递增的等比数列 满足 ,且 是 的等差中项.()求数列 的通项公式；()若 ,对任意正数数 ， 恒成立，试求的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：()通过 是 的
14、等差中项可知 ，结合，可知 ，进而通过解方程 ，可知公比 ，从而可得数列的通项公式；()通过() ，利用错位相减法求得 ，对任意正整数恒成立等价于 对任意正整数 恒成立，问题转化为求 的最小值，从而可得 的取值范围.试题解析：()设等比数列 的首项为 ,公比为 依题意，有 ,代入 ,得 ，因此 ,即有 解得 或又数列 单调递增，则 故 .() -，得对任意正整数 恒成立.对任意正整数 恒成立，即 恒成立，,即 的取值范围是 .【易错点晴】本题主要考查等差数列的通项公式以及求和公式、 “错位相减法”求数列的和，以及不等式恒成立问题，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相
15、减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积） ；相减时注意最后一项 的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以 .21. 已知函数 .()求函数 的单调区间；()试探究函数 在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；()若 ,且 在 上恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1）当 时，函数 的单调增区间为 ；当 时，函数 的单调增区间为 ,单调减区间为 .（2）见解析（3）【解析】试题分析：() 求出 ，分两种种情况讨论 的范围，在定义域内，分别令求得 的范围，可得函数 增区间，
16、 求得 的范围，可得函数 的减区间；()利用导数研究函数的单调性，结合函数图象可得：当 时，函数 有两个不同的零点；当 时，函数 有且仅有一个零点；当 时，函数 无零点；()分两种情况讨论，当 时，不合题意，当 时，由()知，函数 在 单调递增，则在 恒成立，从而可得结果.试题解析：()由 所以 ,当 时，则 有 ,函数 在区间 单调递增；当 时， ,所以函数 的单调增区间为 ,单调减区间为 ,综合的当 时，函数 的单调增区间为 ；当 时，函数 的单调增区间为 ,单调减区间为 .()函数 定义域为 ，又 ,令 ,则 ,所以 ,故函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 .由()知当 时，对
17、,有 ,即 ,所以当 且 趋向 0 时， 趋向 ，随着 的增长， 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 的增长速度，而 的增长速度则会越来越慢，故当 且 趋向时， 趋向 ，得到函数 的草图如图所示，当 时，函数 有两个不同的零点；当 时，函数 有且仅有一个零点；当 时，函数 无零点 .()由()知当 时， ,故对 ,先分析法证明： ,要证 ，只需证 ,即证 ,构造函数 ),所以 ,故函数 在 单调递增， ,则 成立，当 时，由()知，函数 在 单调递增，则 在 恒成立，当 时，由()知，函数 在 单调递增，在 单调递减，故当 时， ,所以 ,则不满足题意，综合得，满足题意的实数 的取值范围 .
18、22. 以直角坐标系的原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线 的参数方程为 ( 为参数， )，曲线 的极坐标方程为.()求曲线 的直角坐标方程；()设直线 与曲线 相较于 两点，当 变化时，求 的最小值.【答案】 （1） （2）4【解析】试题分析：()把极坐标方程两边同时乘以 ，利用 曲线 的直角坐标方程；()把直线的参数方程代入抛物线方程，化为关于 的一元二次方程，利用韦达定理以及直线参数方程中参数 的几何意义求可 的最小值.试题解析：()由 ,得 ，所以曲线 的直角坐标方程为 .()将直线 的参数方程代入 ，得 ,设 两点对应的参数分别为 ,则 ,当 时， 的最小值为时 4.
