1、2013 中考数学压轴题函数直角三角形问题精选解析(二)例 3 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 221534myxm与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 A，点 B(2,n)在这条抛物线上（1）求点 B 的坐标；（2）点 P 在线段 OA 上，从点 O 出发向点 A 运动，过点 P 作 x 轴的垂线，与直线 OB 交于点 E，延长 PE 到点 D，使得 ED PE，以 PD 为斜边，在 PD 右侧作等腰直角三角形PCD（当点 P 运动时，点 C、 D 也随之运动）当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；若点 P 从点 O 出发向点 A 作匀速运动，速度为每
2、秒 1 个单位，同时线段 OA 上另一个点 Q 从点 A 出发向点 O 作匀速运动，速度为每秒 2 个单位（当点 Q 到达点 O 时停止运动，点 P 也停止运动）过 Q 作 x 轴的垂线，与直线 AB 交于点 F，延长 QF 到点 M，使得FM QF，以 QM 为斜边，在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN（当点 Q 运动时，点 M、 N 也随之运动）若点 P 运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻 t 的值图 1解析(1) 因为抛物线 22534myxm经过原点，所以 230m 解得 12， （舍去）因此 154yx所以点 B的坐标为（2，4）(2)
3、如图 4，设 OP 的长为 t，那么 PE2 t， EC2 t，点 C 的坐标为(3 t, 2t)当点C 落在抛物线上时， 252(3)t解得 9OP如图 1，当两条斜边 PD 与 QM 在同一条直线上时，点 P、 Q 重合此时 3t10解得03t如图 2，当两条直角边 PC 与 MN 在同一条直线上， PQN 是等腰直角三角形，PQ PE此时 3t解得 2t如图 3，当两条直角边 DC 与 QN 在同一条直线上， PQC 是等腰直角三角形，PQ PD此时 104t解得 107t图 1 图 2 图 3考点伸展在本题情境下，如果以 PD 为直径的圆 E 与以 QM 为直径的圆 F 相切，求 t
4、的值如图 5，当 P、 Q 重合时，两圆内切， 103t如图 6，当两圆外切时， 2t图 4 图 5 图 6例 4 如图 1，已知 A、 B 是线段 MN 上的两点， 4MN， 1A， B以 A 为中心顺时针旋转点 M，以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、 N 两点重合成一点 C，构成 ABC，设xA（1）求 x 的取值范围；（2）若 ABC 为直角三角形，求 x 的值；（3）探究： ABC 的最大面积？图 1解析（1）在 ABC 中， 1AC， xB， xC3，所以 .3,x 解得2x（2）若 AC 为斜边，则 22)(x，即 04x，此方程无实根若 AB 为斜边，则 1)3(2x，解得
5、 35，满足 21若 BC 为斜边，则 2x，解得 ，满足 x因此当 35x或 4时，ABC 是直角三角形（3）在 ABC 中，作 ABCD于 D，设 hC， ABC 的面积为 S，则 xh21如图 2，若点 D 在线段 AB 上，则 x22)3(1移项，得21)3(hxh两边平方，得 21hhx整理，得 4312x两边平方，得 16249)1(2整理，得682h所以 424xhxS 2)3(（ x ）当 23时（满足 ）， 2S取最大值 1，从而 S 取最大值 2图 2 图 3如图 3，若点 D 在线段 MA 上，则 xhx221)3( 同理可得， 462412xhxS 21)3(（ 43x ）易知此时 综合得， ABC 的最大面积为 2考点伸展第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设 aAD，例如在图 2 中，由 22BDCA列方程 222)()3(1xa整理，得 xa4所以 21a2264843xx因此 )1(4222 aS
