1、2013 中考数学压轴题函数相似三角形问题精选解析(二)例 3 如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0，0）、 A（2，0）、 B（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标；（2）将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、 CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点 O1、 A1、 C1、 B1，得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1的面积为S， A1、 B1的坐标分别为 (x1， y1)、( x2， y2)用含 S 的代数式表示 x2 x1，并求出当S=36 时点 A1的坐标；（3）在图 1 中，设点 D 的坐标
2、为(1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段 BC 运动，动点 Q 从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动 P、 Q两点同时出发，当点 Q 到达点 M 时， P、 Q 两点同时停止运动设 P、 Q 两点的运动时间为t，是否存在某一时刻 t，使得直线 PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由图 1 图 2解析（1）抛物线的对称轴为直线 1x，解析式为 2184yx，顶点为 M（1， 8）（2） 梯形 O1A1B1C1的面积 22()3()6Sx，
3、由此得到13sx由于 23y，所以 2211yx整理，得2121()()84x因此得到 217S当 S=36 时， 21,. 解得 126,8.x 此时点 A1的坐标为（6，3）（3）设直线 AB 与 PQ 交于点 G，直线 AB 与抛物线的对称轴交于点 E，直线 PQ 与 x 轴交于点 F，那么要探求相似的 GAF 与 GQE，有一个公共角 G在 GEQ 中， GEQ 是直线 AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值在 GAF 中， GAF 是直线 AB 与 x 轴的夹角，也为定值，而且 GEQ GAF因此只存在 GQE GAF 的可能， GQE GAF这时 GAF GQE PQD由于 3tan4
4、A， tan5DQtP，所以 345t解得 207t图 3 图 4考点伸展第（3）题是否存在点 G 在 x 轴上方的情况？如图 4，假如存在，说理过程相同，求得的 t 的值也是相同的事实上，图 3 和图 4 都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3例 4 如图 1，已知点 A (-2，4) 和点 B (1，0)都在抛物线 2ymxn上（1）求 m、 n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点 A 的对应点为 A，点 B 的对应点为 B，若四边形 A A B B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线 AB 的交点为 C，试在 x 轴上找一个点 D，使得以点 B、 C
5、、 D 为顶点的三角形与 ABC 相似图 1 解析(1) 因为点 A (-2，4) 和点 B (1，0)都在抛物线 2ymxn上，所以44,20.mn解得 43m， n(2)如图 2，由点 A (-2，4) 和点 B (1，0)，可得 AB5因为四边形 A A B B 为菱形，所以 A A B B AB5因为 4382xy2163x，所以原抛物线的对称轴 x1 向右平移 5 个单位后，对应的直线为 x4因此平移后的抛物线的解析式为 162,图 2(3) 由点 A (-2，4) 和点 B (6，0)，可得 A B 45如图 2，由 AM/CN，可得 NCM，即 8解得 C所以35C根据菱形的性质，在 ABC 与 B CD 中， BAC CB D如图 3，当 ABD时， 53，解得 3此时 OD3，点 D 的坐标为（3，0）如图 4，当 C时， 5B，解得 53D此时 OD 13，点 D 的坐标为（ 13，0）图 3 图 4考点伸展在本题情境下，我们还可以探求 B CD 与 AB B相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况我们也可以讨论 B CD 与C B B相似，这两个三角形有一组公共角 B，根据对应边成比例，分两种情况计算
