1、 九年级数学专项训练二次函数 第 1 页二次函数中以三角形为主的中考压轴题（等腰三角形、直角三角形、相似三角形）问题解析精选【例 1】 （2013 抚顺）如图 1，已知直线 y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， 抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、B 两点，与 x 轴交于另一个点 C，对称轴与直线 AB 交于点 E，抛物线顶点为 D（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，F 为抛物线上一点，以 A、E、F 为顶点的三角形面积为 3，求点 F 的坐标；（3）点 P 从点 D 出发，沿对称轴向下以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为 t 秒，当 t 为何值时
2、，以 P、B、C 为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的 t 值考点： 二次函数综合题分析： （1）先由直线 AB 的解析式为 y=x+3，求出它与 x 轴的交点 A、与 y 轴的交点 B 的坐标，再将 A、B 两点的坐标代入 y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设第三象限内的点 F 的坐标为（m ， m22m+3） ，运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点 D 的坐标，再设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 G，连接 FG，根据 SAEF=SAEG+SAFGSEFG=3，列出关于 m 的方程，解方程求出 m 的值，进而得出点 F 的坐标；（3）设 P 点坐标为
3、（ 1，n） 先由 B、C 两点坐标，运用勾股定理求出 BC2=10，再分三种情况进行讨论：PBC=90 ，先由勾股定理得出 PB2+BC2=PC2，据此列出关于n 的方程，求出 n 的值，再计算出 PD 的长度，然后根据时间=路程速度，即可求出此九年级数学专项训练二次函数 第 2 页时对应的 t 值；BPC=90，同可求出对应的 t 值； BCP=90，同可求出对应的 t 值解答： 解：（1）y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，当 y=0 时，x=3，即 A 点坐标为（ 3，0） ，当 x=0 时，y=3，即 B 点坐标为（0，3） ，将 A（3，0） ，B （0，3）代
4、入 y=x2+bx+c，得 ，解得 ，抛物线的解析式为 y=x22x+3；（2）如图 1，设第三象限内的点 F 的坐标为（m ， m22m+3） ，则m0，m 22m+30y=x22x+3=（x+1 ） 2+4，对称轴为直线 x=1，顶点 D 的坐标为（ 1，4） ，设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 G，连接 FG，则 G（1，0） ，AG=2直线 AB 的解析式为 y=x+3，当 x=1 时，y= 1+3=2，E 点坐 标为（1，2） SAEF=SAEG+SAFGSEFG= 22+ 2（m 2+2m3） 2（1 m）=m 2+3m，以 A、 E、F 为顶点的三角形面积为 3 时，m 2+3m
5、=3，解得 m1= ，m 2= （舍去） ，当 m= 时， m22m+3=m23m+m+3=3+m+3=m= ，点 F 的坐标为（ ， ） ；（3）设 P 点坐标为（ 1，n） B（0，3） ，C（1，0） ，BC2=12+32=10九年级数学专项训练二次函数 第 3 页分三种情况：如图 2，如果PBC=90 ，那么 PB2+BC2=PC2，即（0+1） 2+（n3） 2+10=（1+1） 2+（n0） 2，化简整理得 6n=16，解得 n= ，P 点坐标为（1， ） ，顶点 D 的坐标为（ 1，4） ，PD=4 = ，点 P 的速度为每秒 1 个单位长度，t1= ；如图 3，如果BPC=90
6、 ，那么 PB2+PC2=BC2，即（0+1） 2+（n3） 2+（1+1） 2+（n 0） 2=10，化简整理得 n23n+2=0，解得 n=2 或 1，P 点坐标为（1，2）或（ 1，1） ，顶点 D 的坐标为（ 1，4） ，PD=42=2 或 PD=41=3，点 P 的速度为每秒 1 个单位长度，t2=2，t 3= 3；如图 4，如果BCP=90 ，那么 BC2+PC2=PB2，即 10+（1+1） 2+（n0） 2=（ 0+1） 2+（n 3） 2，化简整理得 6n=4，解得 n= ，P 点坐标为（1， ） ，顶点 D 的坐标为（ 1，4） ，PD=4+ = ，点 P 的速度为每秒 1
7、 个单位长度，t4= ；综上可知，当 t 为 秒或 2 秒或 3 秒或 秒时，以 P、B 、C 为顶点的三角形是直角三九年级数学专项训练二次函数 第 4 页角形九年级数学专项训练二次函数 第 5 页点评： 本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，函数图象上点的坐标特征，抛物线的顶点坐标和三角形的面积求法，直角三角形的性质，勾股定理综合性较强，难度适中 （2）中将AEF 的面积表示成 SAEG+SAFGSEFG，是解题的关键；（ 3）中由于没有明确哪一个角是直角，所以每一个点都可能是直角顶点，进行分类讨论是解题的关键【例 2】 （2013 大连）如图，抛
8、物线 y= x2+ x4 与 x 轴相交于点 A、B ，与 y 轴相交于点 C，抛物线的对称轴与 x 轴相交于点 MP 是抛物线在 x 轴上方的一个动点（点P、M、 C 不在同一条直线上） 分别过点 A、B 作直线 CP 的垂线，垂足分别为 D、E，连接点 MD、ME （1）求点 A，B 的坐标（直接写出结果） ，并证明MDE 是等腰三角形；（2）MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点 P 的坐标；若不能，说明理由；（3）若将“P 是抛物线在 x 轴上方的一个动点（点 P、M、C 不在同一条直线上） ”改为“ P 是抛物线在 x 轴下方的一个动点”，其他条件不变，MDE 能否为等腰直角三
9、角形？若能，求此时点 P 的坐标（直接写出结果） ；若不能，说明理由考点： 二次函数综合题九年级数学专项训练二次函数 第 6 页分析： （1）在抛物线解析式中，令 y=0，解一元二次方程，可求得点 A、点 B 的坐标；如答图 1 所示，作辅助线，构造全等三角形AMF BME，得到点 M 为为 RtEDF斜边 EF 的中点，从而得到 MD=ME，问题得证；（2）首先分析，若MDE 为等腰直角三角形，直角顶点只能是点 M如答图 2 所示，设直线 PC 与对称轴交于点 N，首先证明ADMNEM，得到 MN=AM，从而求得点N 坐标为（3，2） ；其次利用点 N、点 C 坐标，求出直线 PC 的解析式
10、；最后联立直线PC 与抛物线的解析式，求出点 P 的坐标（3）当点 P 是抛物线在 x 轴下方的一个动点时，解题思路与（2）完全相同解答： 解：（1）抛物线解析式为 y= x2+ x4，令 y=0，即 x2+ x4=0，解得 x=1 或 x=5，A （1，0） ，B （5，0） 如答图 1 所示，分别延长 AD 与 EM，交于点 FADPC，BE PC， ADBE， MAF=MBE在AMF 与 BME 中，AMFBME（ASA） ，ME=MF，即点 M 为 RtEDF 斜边 EF 的中点，MD=ME，即MDE 是等腰三角形（2）答：能抛物线解析式为 y= x2+ x4= （x 3） 2+ ，对
11、称轴是直线 x=3，M（3， 0） ；令 x=0，得 y=4，C （0，4） MDE 为等腰直角三角形，有 3 种可能的情形：若 DEEM，由 DEBE，可知点 E、M、B 在一条直线上，而点 B、M 在 x 轴上，因此点 E 必然在 x 轴上，由 DEBE，可知点 E 只能与点 O 重合，即直线 PC 与 y 轴重合，九年级数学专项训练二次函数 第 7 页不符合题意，故此种情况不存在；若 DEDM，与同理可知，此种情况不存在；若 EMDM，如答图 2 所示：设直线 PC 与对称轴交于点 N，EMDM，MNAM，EMN=DMA在ADM 与 NEM 中，ADMNEM（ASA ） ，MN=MA抛物
12、线解析式为 y= x2+ x4= （x 3） 2+ ，故对称轴是直线 x=3，M（3，0） ，MN=MA=2 ，N（ 3， 2） 设直线 PC 解析式为 y=kx+b，点 N（3，2） ，C（0，4）在抛物线上， ，解得 k=2，b=4，y=2x 4将 y=2x4 代入抛物线解析式得：2x4= x2+ x4，解得：x=0 或 x= ，当 x=0 时，交点为点 C；当 x= 时，y=2x4=3P（ ，3） 综上所述，MDE 能成为等腰直角三角形，此时点 P 坐标为（ ，3） （3）答：能如答题 3 所示，设对称轴与直线 PC 交于点 N与（2）同理，可知若MDE 为等腰直角三角形，直角顶点只能是
13、点 M九年级数学专项训练二次函数 第 8 页MDME，MAMN，DMN= EMB在DMN 与 EMB 中，DMNEMB（ASA） ，MN=MBN（ 3， 2） 设直线 PC 解析式为 y=kx+b，点 N（3，2） ，C（0， 4）在抛物线上， ，解得 k= ，b= 4，y= x4将 y= x4 代入抛物线解析式得： x4= x2+ x4，解得：x=0 或 x= ，当 x=0 时，交点为点 C；当 x= 时，y= x4= P（ ， ） 综上所述，MDE 能成为等腰直角三角形，此时点 P 坐标为（ ， ） 点评： 本题是二次函数综合题型，考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角
14、形的判定与性质、等腰直角三角形、解方程等知识点，题目难度较大第（2） （3）问均为存在型问题，且解题思路完全相同，可以互相借鉴印证【例 3】 （2013 凉山州）如图，抛物线 y=ax22ax+c（a0）交 x 轴于 A、B 两点，A 点坐标为（3，0） ，与 y 轴交于点 C（0，4） ，以 OC、OA 为边作矩形 OADC 交抛物线于点 G（1）求抛物线的解析式；九年级数学专项训练二次函数 第 9 页（2）抛物线的对称轴 l 在边 OA（不包括 O、A 两点）上平行移动，分别交 x 轴于点 E，交CD 于点 F，交 AC 于点 M，交抛物线于点 P，若点 M 的横坐标为 m，请用含 m 的
15、代数式表示 PM 的长；（3）在（2）的条件下，连结 PC，则在 CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点 P，使得以P、C、 F 为顶点的三角形和AEM 相似？若存在，求出此时 m 的值，并直接判断PCM 的形状；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）将 A（3，0） ，C（0，4）代入 y=ax22ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先根据 A、C 的坐标，用待定系数法求出直线 AC 的解析式，进而根据抛物线和直线AC 的解析式分别表示出点 P、点 M 的坐标，即可得到 PM 的长；（3）由于PFC 和 AEM 都是直角，F 和 E 对应，则若以 P、C、F
16、为顶点的三角形和AEM相似时，分两种情况进行讨论： PFCAEM，CFPAEM ；可分别用含 m 的代数式表示出 AE、EM、CF 、PF 的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出 m 的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出PCM 的形状解答：解：（1）抛物线 y=ax22ax+c（a 0）经过点 A（3，0） ，点 C（0，4） ， ，解得 ，抛物线的解析式为 y= x2+ x+4；（2）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，A（ 3， 0） ，点 C（0，4） ， ，解得 ，直线 AC 的解析式为 y= x+4点 M 的横坐标为 m，点 M 在 AC
17、上，M 点的坐标为（ m， m+4） ，九年级数学专项训练二次函数 第 10 页点 P 的横坐标为 m，点 P 在抛物线 y= x2+ x+4 上，点 P 的坐标为（m， m2+ m+4） ，PM=PEME=（ m2+ m+4）（ m+4）= m2+4m，即 PM= m2+4m（0m3） ；（3）在（2）的条件下，连结 PC，在 CD 上方的抛物线部分存在这样的点 P，使得以P、C、 F 为顶点的三角形和AEM 相似理由如下：由题意，可得AE=3m，EM= m+4，CF=m，PF= m2+ m+44= m2+ m若以 P、C、F 为顶点的三角形和AEM 相似，分两种情况： 若 PFCAEM，则
18、PF：AE=FC ：EM，即（ m2+ m）：（3m）=m：（ m+4） ，m0 且 m3，m= PFCAEM，PCF=AME，AME=CMF，PCF=CMF 在直角CMF 中，CMF+MCF=90 ，PCF+MCF=90，即PCM=90，PCM 为直角三角形；若CFP AEM，则 CF：AE=PF：EM，即 m：（3m） =（ m2+ m）：（ m+4） ，m0 且 m3，m=1CFPAEM，CPF=AME，AME=CMF，CPF=CMF CP=CM，PCM 为等腰三角形综上所述，存在这样的点 P 使PFC 与 AEM 相似此时 m 的值为 或 1，PCM 为直角三角形或等腰三角形九年级数学
19、专项训练二次函数 第 11 页点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解 【例 4】 （2013 本溪）如图，在平面直角坐标系中，点 O 是原点，矩形 OABC 的顶点 A在 x 轴的正半轴上，顶点 C 在 y 的正半轴上，点 B 的坐标是（ 5，3） ，抛物线 y= x2+bx+c经过 A、C 两点，与 x 轴的另一个交点是点 D，连接 BD（1）求抛物线的解析式；（2）点 M 是抛物线对称轴上的一点，以 M、
20、B、D 为顶点的三角形的面积是 6，求点 M 的坐标；（3）点 P 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 DB 匀速运动，同时点 Q 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 BAD 匀速运动，当点 P 到达点 B 时，P、Q 同时停止运动，设运动的时间为 t 秒，当 t 为何值时，以 D、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值考点：二次函数综合题分析：（1）求出点 A、C 的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图 1 所示，关键是求出 MG 的长度，利用面积公式解决；注意，符合条件的九年级数学专项训练二次函数 第 12 页点 M 有 2
21、个，不要漏解；（3）DPQ 为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论：若 PD=PQ，如答图 2 所示；若 PD=DQ，如答图 3 所示；若 PQ=DQ，如答图 4 所示解答：解：（1）矩形 ABCD，B（5，3） ，A（ 5， 0） ，C（0，3） 点 A（ 5，0） ， C（0，3）在抛物线 y= x2+bx+c 上， ，解得：b= ，c=3抛物线的解析式为：y= x2 x+3（2）如答图 1 所示，y= x2 x+3= （x 3） 2 ，抛物线的对称轴为直线 x=3如答图 1 所示，设对称轴与 BD 交于点 G，与 x 轴交于点 H，则 H（3，0） 令 y=0，即 x2 x+3=0，
22、解得 x=1 或 x=5D（ 1， 0） ，DH=2，AH=2，AD=4tanADB= = ，GH=DHtanADB=2 = ，G（ 3， ） SMBD=6，即 SMDG+SMBG=6， MGDH+ MGAH=6，即： MG2+ MG2=6，九年级数学专项训练二次函数 第 13 页解得：MG=3点 M 的坐标为（ 3， ）或（ 3， ） （3）在 RtABD 中，AB=3，AD=4，则 BD=5，sinB= ，cosB= 以 D、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，则：若 PD=PQ，如答图 2 所示：此时有 PD=PQ=BQ=t，过点 Q 作 QEBD 于点 E，则 BE=PE，BE=BQc
23、osB= t，QE=BQ sinB= t，DE=t+ t= t由勾股定理得：DQ 2=DE2+QE2=AD2+AQ2，即（ t） 2+（ t） 2=42+（3 t） 2，整理得：11t 2+6t25=0，解得：t= 或 t=5（舍去） ，t= ；若 PD=DQ，如答图 3 所示：此时 PD=t，DQ=AB+AD t=7t，t=7t，t= ；若 PQ=DQ，如答图 4 所示：PD=t，BP=5 t；DQ=7t，PQ=7t ，AQ=4（7t ）=t3过点 P 作 PFAB 于点 F，则 PF=PBsinB=（5t ） =4 t，BF=PBcosB=（5 t）九年级数学专项训练二次函数 第 14 页
24、 =3 tAF=ABBF=3（3 t）= t过点 P 作 PEAD 于点 E，则 PEAF 为矩形，PE=AF= t，AE=PF=4 t，EQ=AQAE=（t 3）（4 t） = t7在 RtPQE 中，由勾股定理得：EQ 2+PE2=PQ2，即：（ t7） 2+（ t） 2=（7t ） 2，整理得：13t 256t=0，解得：t=0（舍去）或 t= t= 综上所述，当 t= ，t= 或 t= 时，以 D、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积、解直角三角形、勾股定理等知识点分类讨论的数学思想是本题考查的重点，在第（2）
25、（3）问中均有所体现，解题时注意全面分析、认真计算【例 5】 （2013 衡阳）如图，已知抛物线经过 A（1，0） ，B（0，3）两点，对称轴是x=1（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）动点 Q 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段 OA 上运动，同时动点 M 从M 从 O 点出发以每秒 3 个单位长度的速度在线段 OB 上运动，过点 Q 作 x 轴的垂线交线段AB 于点 N，交抛物线于点 P，设运动的时间为 t 秒当 t 为何值时，四边形 OMPQ 为矩形；AON 能否为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由九年级数学专项训练二次函数 第 15 页考点： 二次函
26、数综合题分析： （1）利用顶点式、待定系数法求出抛物线的解析式；（2）当四边形 OMPQ 为矩形时，满足条件 OM=PQ，据此列一元二次方程求解；AON 为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算解答： 解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1） 2+k，点 A（ 1，0） ， B（0，3）在抛物线上， ，解得：a= 1，k=4，抛物线的解析式为：y= （x+1） 2+4（2）四边形 OMPQ 为矩形，OM=PQ，即 3t=（t+1） 2+4，整理得：t 2+5t3=0，解得 t= ，由于 t= 0，故舍去，当 t= 秒时，四边形 OMPQ 为矩形；RtAOB 中，
27、 OA=1，OB=3，tanA=3若AON 为等腰三角形，有三种情况：九年级数学专项训练二次函数 第 16 页（I）若 ON=AN，如答图 1 所示：过点 N 作 NDOA 于点 D，则 D 为 OA 中点，OD= OA= ，t= ；（II）若 ON=OA，如答图 2 所示：过点 N 作 NDOA 于点 D，设 AD=x，则 ND=ADtanA=3x，OD=OA AD=1x，在 RtNOD 中，由勾股定理得：OD 2+ND2=ON2，即（1x ） 2+（3x） 2=12，解得 x1= ，x 2=0（舍去） ，x= ，OD=1x= ，t= ；（III）若 OA=AN，如答图 3 所示：过点 N
28、作 NDOA 于点 D，设 AD=x，则 ND=ADtanA=3x，在 RtAND 中，由勾股定理得：ND 2+AD2=AN2，即（x） 2+（3x） 2=12，解得 x1= ，x 2= （舍去） ，OD=1x=1 ，t=1 综上所述，当 t 为 秒、 秒， （1 ）秒时，AON 为等腰三角形点评： 本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性质、等腰三角形的性质等知识点，综合性比较强，有一定的难度第（2）问为运动型与存在型的综合性问题，注意要弄清动点的运动过程，进行分类讨论计算【例 6】已知函数 23ykx（ k是常数）若该函数的图像与 轴只有一
29、个交点，求 的值；九年级数学专项训练二次函数 第 17 页若点 1,Mk在某反比例函数的图像上，要使该反比例函数和二次函数23yx都是 y随 x的增大而增大，求 k应满足的条件以及 x的取值范围；设抛物线 2k与 轴交于 12,0,AxB两点，且 12，21x，在 y轴上，是否存在点 P，使ABP 是直角三角形？若存在，求出点 P 及ABP 的面积；若不存在，请说明理由。解析：解：(1)当 0k时，函数 32yx的图像与 x轴只有一个交点2 分当 时，若函数 k的图像与 轴只有一个交点，则方程23kx有两个相等的实数根，所以 23()40k，即 23k.综上所述，若函数的图像与 x轴只有一个交
30、点，则 的值为 0 或 4 分（2）设反比例函数为 my，则 1k，即 k.所以，反比例函数为 kyx 要使该反比例函数和二次函数都是 随着 的增大而增大，则 0k.5 分二次函数 22313()yxxk的对称轴为 1，要使二次函数2k是 随着 的增大而增大，在 0k的情况下， x必须在对称轴的左边，即1x时，才能使得 y随着 x的增大而增大. 6 分综上所述，要使该反比例函数和二次函数都是 y随着 的增大而增大，0k且 k.7 分(3)抛物线 23yx与 x轴有两个交点，一元二次方程方程 230kx的判别式 ()40,即 2k 又1221,3,.xkx 240，九年级数学专项训练二次函数 第
31、 18 页 4k或 1.又 23k， 8 分在 y轴上，设 (0,)Pb是满足条件的点，则 22211()()()bxx，212bx， 64. . 471832)(2121 xb. 217x9 分 216()RtABPS.在 y轴上，存在点 )4,0(),(21P,使 ABP是直角三角形， ABP的面积为421610 分【例 7】 （2013 张家界）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象过点 C（0，1） ，顶点为 Q（2，3） ，点 D 在 x 轴正半轴上，且 OD=OC（1）求直线 CD 的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45所得直
32、线与抛物线相交于另一点 E，求证：CEQCDO；（4）在（3）的条件下，若点 P 是线段 QE 上的动点，点 F 是线段 OD 上的动点，问：在 P点和 F 点移动过程中， PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由考点： 二次函数综合题分析： （1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（3）关键是证明CEQ 与CDO 均为等腰直角三角形；九年级数学专项训练二次函数 第 19 页（4）如答图所示，作点 C 关于直线 QE 的对称点 C，作点 C 关于 x 轴的对称点C，连接 CC，交 OD 于点 F，交 QE 于点 P，则PCF
33、 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF 的周长等于线段 CC的长度利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时PCF 的周长最小如答图所示，利用勾股定理求出线段 CC的长度，即 PCF 周长的最小值解答： 解：（1）C（0，1） ，OD=OC，D 点坐标为（1，0） 设直线 CD 的解析式为 y=kx+b（k0） ，将 C（0，1） ，D（1，0）代入得： ，解得：b=1，k=1，直线 CD 的解析式为： y=x+1（2）设抛物线的解析式为 y=a（x2） 2+3，将 C（0，1）代入得：1=a （2） 2+3，解得 a= y= （x 2） 2+3= x2+2x+1（3
34、）证明：由题意可知，ECD=45 ，OC=OD，且 OCOD， OCD 为等腰直角三角形，ODC=45，ECD=ODC，CEx 轴，则点 C、E 关于对称轴（直线 x=2）对称，点 E 的坐标为（4，1） 如答图所示，设对称轴（直线 x=2）与 CE 交于点 F，则 F（2，1） ，ME=CM=QM=2，QME 与 QMC 均为等腰直角三角形，QEC= QCE=45又OCD 为等腰直角三角形，ODC=OCD=45，QEC=QCE=ODC=OCD=45，CEQCDO（4）存在如答图所示，作点 C 关于直线 QE 的对称点 C，作点 C 关于 x 轴的对称点 C，连接 CC，交 OD 于点 F，交
35、 QE 于点 P，则PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF 的周长等于线段 CC的长度（证明如下：不妨在线段 OD 上取异于点 F 的任一点 F，在线段 QE 上取异于点 P 的任一点 P，连接 FC，F P， PC由轴对称的性质可知，P CF的周长=FC+FP+PC ；而 FC+FP+PC是点 C，C之间的折线段，由两点之间线段最短可知：FC+FP+PC CC，即PCF的周长大于PCE 的周长 ）如答图所示，连接 CE，C，C关于直线 QE 对称，QCE 为等腰直角三角形，QCE 为等腰直角三角形，九年级数学专项训练二次函数 第 20 页CEC为等腰直角三角形，点
36、 C的坐标为（ 4，5） ；C，C关于 x 轴对称， 点 C的坐标为（1，0） 过点 C作 CNy 轴于点 N，则 NC=4，NC=4+1+1=6 ，在 RtCNC中，由勾股定理得：CC = = = 综上所述，在 P 点和 F 点移动过程中，PCF 的周长存在最小值，最小值为 点评： 本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等重要知识点，涉及考点较多，有一点的难度本题难点在于第（4）问，如何充分利用轴对称的性质确定PCF 周长最小时的几何图形，是解答本题的关键九年级数学专项训练二次函数 第 21 页【例 8】 （2013
37、长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx2 与 x 轴交于点A（1， 0） 、B（4，0） 点 M、N 在 x 轴上，点 N 在点 M 右侧，MN=2以 MN 为直角边向上作等腰直角三角形 CMN，CMN=90设点 M 的横坐标为 m（1）求这条抛物线所对应的函数关系式（2）求点 C 在这条抛物线上时 m 的值（3）将线段 CN 绕点 N 逆时针旋转 90后，得到对应线段 DN当点 D 在这条抛物线的对称轴上时，求点 D 的坐标以 DN 为直角边作等腰直角三角形 DNE，当点 E 在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的 m 值（参考公式：抛物线 y=ax2+bx+c（
38、a0）的顶点坐标为（ ， ） ）考点： 二次函数综合题分析： （1）将 A（1，0） 、B （4，0）两点的坐标代入 y=ax2+bx2，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先根据等腰直角三角形的性质求出点 C 的坐标为（m ，2） ，再将 C 的坐标代入y= x2 x2，即可求出 m 的值；（3）先由旋转的性质得出点 D 的坐标为（m， 2） ，再根据二次函数的性质求出抛物线 y= x2 x2 的对称轴为直线 x= ，然后根据点 D 在直线 x= 上，即可求出点 D的坐标；以 DN 为直角边作等腰直角三角形 DNE 时，分别以 D、N 为直角顶点，在 DN 的两侧分别作出等腰直角三角
39、形 DNE，E 点的位置分四种情况讨论针对每一种情况，都可以先根据等腰直角三角形的性质求出点 E 的坐标，然后根据点 E 在直线 x= 上，列出关于 m 的方程，解方程即可求出 m 的值解答： 解：（1）抛物线经过点 A（ 1，0） 、B（4，0） ，九年级数学专项训练二次函数 第 23 页解得抛物线所对应的函数关系式为 y= x2 x2；（2）CMN 是等腰直角三角形 CMN，CMN=90，CM=MN=2，点 C 的坐标为（m，2） ，点 C（m，2）在抛物线上， m2 m2=2，解得 m1= ，m 2= 点 C 在这条抛物线上时，m 的值为 或 ；（3）将线段 CN 绕点 N 逆时针旋转
40、90后，得到对应线段 DN，CND=90， DN=CN= CM= MN，CD= CN=2CM=2MN，DM=CM=MN， DMN=90，点 D 的坐标为（m， 2） 又 抛物线 y= x2 x2 的对称轴为直线 x= ，点 D 在这条抛物线的对称轴上，点 D 的坐标为（ ， 2） ；如图，以 DN 为直角边作等腰直角三角形 DNE，E 点的位置有四种情况：如果 E 点在 E1 的位置时，点 D 的坐标为（m， 2） ，MN=ME 1=2，点 N 的坐标为（ m+2，0） ，点 E1 的（m2 ，0） ，点 E1 在抛物线 y= x2 x2 的对称轴 x= 上，m2= ，解得 m= ；如果 E
41、点在 E2 的位置时，九年级数学专项训练二次函数 第 24 页点 D 的坐标为（m， 2） ，点 N 的坐标为（m+2，0） ，点 E2 的（m+2，4） ，点 E2 在抛物线 y= x2 x2 的对称轴 x= 上，m+2= ，解得 m= ；如果 E 点在 E3 的位置时，点 D 的坐标为（m， 2） ，点 E3 的（m，2） ，点 E3 在抛物线 y= x2 x2 的对称轴 x= 上，m= ；如果 E 点在 E4 的位置时，点 D 的坐标为（m， 2） ，点 N 的坐标为（m+2，0） ，点 E4 的（m+4，2） ，点 E4 在抛物线 y= x2 x2 的对称轴 x= 上，m+4= ，解得
42、 m= ；综上可知，当点 E 在这条抛物线的对称轴上时，所有符合条件的 m 的值为 m= 或m= 或 m= 或 m= 点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，综合性较强，难度适中其中（3）要注意分析题意分情况讨论 E 点可能的位置，这是解题的关键九年级数学专项训练二次函数 第 25 页【例 9】 （2013 济南）如图，在直角坐标系中有一直角三角形 AOB，O 为坐标原点，OA=1， tanBAO=3，将此三角形绕原点 O 逆时针旋转 90，得到DOC，抛物线 y=ax2+bx+c经过点 A、B、C（1
43、）求抛物线的解析式；（2）若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为 t，设抛物线对称轴 l 与 x 轴交于一点 E，连接 PE，交 CD 于 F，求出当 CEF 与COD 相似点 P 的坐标；是否存在一点 P，使PCD 得面积最大？若存在，求出 PCD 的面积的最大值；若不存在，请说明理由考点： 二次函数综合题3793881分析： （1）先求出 A、B、C 的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式；（2）由（1）的解析式可以求出抛物线的对称轴，分类讨论当 CEF=90时，当CFE=90时，根据相似三角形的性质就可以求出 P 点的坐标；先运用待定系数法求出直线 CD 的解析式
44、，设 PM 与 CD 的交点为 N，根据 CD 的解析式表示出点 N 的坐标，再根据 SPCD=SPCN+SPDN 就可以表示出三角形 PCD 的面积，运用顶点式就可以求出结论解答： 解：（1）在 RtAOB 中，OA=1 ，tan BAO= =3，OB=3OA=3DOC 是由AOB 绕点 O 逆时针旋转 90而得到的，DOCAOB，OC=OB=3，OD=OA=1，A、 B、C 的坐标分别为（1，0） ， （0，3） （3，0） 代入解析式为，九年级数学专项训练二次函数 第 26 页解得： 抛物线的解析式为 y=x22x+3；（2）抛物线的解析式为 y=x22x+3，对称轴 l= =1，E 点
45、的坐标为（ 1，0） 如图，当CEF=90 时，CEFCOD 此时点 P 在对称轴上，即点 P 为抛物线的顶点，P（1，4） ；当CFE=90时，CFECOD，过点 P 作 PMx 轴于点 M，则 EFCEMP ，MP=3EMP 的横坐标为 t，P（ t， t22t+3） P 在二象限，PM=t22t+3， EM=1t，t22t+3=3（ 1t） ，解得：t 1=2，t 2=3（与 C 重合，舍去） ，t=2 时，y=（2） 22（2）+3=3P（ 2，3） 当 CEF 与COD 相似时， P 点的坐标为：（ 1，4）或（2，3） ；设直线 CD 的解析式为 y=kx+b，由题意，得，解得： ，直线 CD 的解析式为： y= x+1九年级数学专项训练二次函数 第 24 页设 PM 与 CD 的交点为 N，则点 N 的坐标为（t， t+1） ，NM= t+1PN=PMNM=t22t+3（ t+1）= t2 +2SPCD=SPCN+SPDN，SPCD= PMCM+ PNOM= PN（CM+OM）= PNOC= 3（ t2 +2）= （t+ ） 2+ ，当 t= 时，S PCD 的
