1、中档题型训练(五) 圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算与证明是河北中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系圆的切线性质与判定【例1】(2016天水中考)如图，点D为O上一点，点C 在直径BA的延长线上，且CDACBD.(1)判断直线CD和O的位置关系，并说明理由；(2)过点B作O 的切线BE交直线CD于点E，若AC2，O的半径是3，求BE的长【思路分析】(1)连接OD，根据圆周角定理求出DABDBA90，从而得出CDA ADO 90，再根据
2、切线的判定推出即可；(2)首先利用勾股定理求出DC ，由切线长定理得出DE EB ，在RtCBE中根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可【学生解答】解：(1)直线CD和O 的位置关系是相切理由是：连接OD.AB是O的直径，ADB 90，DABDBA90.CDACBD， DABCDA90.ODOA ，DABADO，CDA ADO90，即 ODCE，直线CD是O的切线，即直线CD和O的位置关系是相切；(2)AC 2， O的半径是3，OC235，OD3.在RtCDO中，由勾股定理得CD4.CE切O于点D，EB切O于点B，DE EB，CBE90，设DEEBx，在RtCBE 中，由勾股定理，得CE 2B
3、E 2BC2，则(4 x) 2 x2(5 3) 2，解得 x6，即BE6.1(2016毕节中考)如图，以ABC的BC边上一点O 为圆心的圆，经过A ，B 两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于点F，ACFC.(1)求证：AC 是 O的切线；(2)已知圆的半径R 5，EF3，求DF 的长解：(1)如图，连接AE，AO.BE为半圆，BAE90. ，BADEAD45，AFCBD ED B 45，CAFEAC45.ACFC，AFCCAF，B 45EAC45，BEAC.OAOB，OABB ，EACOAB ，OACOAEEACOAEOAB BAE90，ACOA，AC为O 为切
4、线；(2)如图，连接OD. ，BODDOE90.在 RtOFD中 ，OF532，OD5，DFBD DE .OF2 OD2 292(2016承德二中一模)已知如图，以RtABC的AC 边为直径作O交斜边AB于点E，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D，点F 为BC 的中点，连接EF.(1)求证：EF 是O的切线；(2)若O的半径为 3，EAC 60，求AD的长来源:学优高考网gkstk解：(1)连接FO，易证OFAB.AC是O 的直径，CEAE，OFAB，OFCE.又OEOC，OF是线段CE的垂直平分CE，FCFE ，FECFCE.OEOC，OECOCE.RtABC中，ACB90，即OCEFC
5、E90，OECFEC90，即FEO90，EF为O的切线；(2)O的半径为 3，AOCOEO3.EAC60，OA OE，EOA 60，CODEOA60.在RtOCD中，COD60，OC3，CD3 .在RtACD中，ACD 90，CD 3 ，AC3 36，AD3 .7来源:学优高考网gkstk圆与相似【例2】如图，已知AB是O的弦，OB2，B 30，C是弦AB上的任意一点(不与点A，B重合)，连接CO并延长CO交O于点D，连接 AD.(1)弦长AB _ ；( 结果保留根号 )(2)当D20 时，求BOD的度数；(3)当AC 的长度为多少时，以A ，C ，D 为顶点的三角形与以B ，C，O为顶点的三
6、角形相似？请写出解答过程【思路分析】(1)结合垂径定理过点O 作BC 的垂线，再由特殊直角三角形得 AB OB ，则AB2 ；(212 32 3 3)结合“ 三角形的外角定理” 和“同圆或等圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半”即可解答；(3) 首先分析要使DAC与 BOC 相似，只能DCA BCO 90，此时，BOC60，BOD120，DAC60，DAC BOC. BCO90，即OCAB，AC AB .来源: 学优高考网gkstk12 3【学生解答】解：(1)2 ；(2)连接OA.OAOBOD， BAO B 30，D DAO 20，3DAB BAODAO50，BOD2DAB 100 ；(3)
7、BCODACD，BCODAC，BCO D，要使DAC与BOC相似，只能DCABCO90，此时BOC60，BOD120，DAC 60，DACBOC.BCO 90，即OCAB，AC AB .12 33(2016黄冈中考)已知：如图，在ABC中，ABAC，以 AC为直径的O 交AB于点M，交BC 于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P.求证：(1)BCP BAN；(2) .AMMN CBBP证明：(1)AC为O的直径，ANC 90，NACACN90，ABAC，BANCAN，PC 是O 的切线，ACP90，ACNPCB90，BCP CAN，BCPBAN；(2)连接MN，ABAC，ABCAC
8、B ，又四边形AMNC为O 的内接四边形，ACB AMN 180，又CBPABC 180 ，PBC AMN，由(1) 知BCP BAN，BPCMNA， .AMMN CBBP4(2016广东中考)如图，O是ABC 的外接圆，BC 是O 的直径，ABC30，过点B 作O的切线BD，与CA 的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E ，过点A作O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.(1)求证：ACFDAE; (2)若S AOC ，求DE的长； 34(3)连接EF ，求证：EF是O的切线解：(1)BC为O的直径， BAC 90，又ABC30，ACB60，又OA OC，OAC 为等边三角形，即OA
9、CAOC60，AF为O 的切线， OAF90，CAFAFC 30，DE为O的切线，DBC OBE90，D DEA30，DCAF，DEAAFC，ACFDAE ；(2)AOC为等边三角形，S AOC OA2 ，OA 1，BC2，OB1，又DBEO34 3430，BD2 ，BE ，DE3 ；(3)如图，过点O作OMEF于点M，OAOB，OAFOBE903 3 3，BOEAOF，OAFOBE，OE OF， EOF 120，OEM OFM30，OEBOEM30，即OE平分BEF，又OBEOME90，OM OB，EF 为O 的切线圆与锐角三角函数【例3】(2016菏泽中考)如图，AB是O的直径，点C在 O
10、上，连接BC ，AC，作ODBC 与过点A 的切线交于点D，连接DC并延长交AB 的延长线于点E.(1)求证：DE 是 O的切线；来源:学优高考网gkstk(2)若 ，求cosABC的值CEDE 23【思路分析】 (1)连接OC. 欲证 DE是O的切线，只需证得OCDE ；(2) 由 ，可设CE2k(k0)，则DE3k，在RtDAE中CEDE 23，由勾股定理求得AE 2 k，则tanE ，所以在RtOCE中，tan E ，求得OCDE2 AD2 2ADAE 24 OCCE OC2k.在 RtAOD中，由勾股定理得到OD k，从而求出cos ABC 的值k2 AO2 AD2 32【学生解答】解
11、：(1)如图，连接OC. AD 是过点A 的切线，AB是O的直径，ADAB. DAB 90. OD BC, DOC BCO，DOACBA.OCOB， BCOCBA，DOCDOA.在COD和AOD中， CODAOD( SAS)，OCDDAB 90.即OC DE 于点C. OC是O 的半径，OC OA， DOC DOA，OD OD， )DE是 O的切线；(2)由 ，可设CE 2k(k0) ，则DE 3k，ADDCk，在RtDAE中，AE 2 k，tCEDE 23 DE2 AD2 2anE .在RtOCE中，tanE ， ，OCOA k，在RtAOD 中，ODADAE 24 OCCE OC2k 24
12、 OC2k 22 AO2 AD2 k， cosABCcos AOD .62 OAOD 335(2016唐山九中一模)如图，四边形ABCD内接于O，对角线AC为O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，点F为CE的中点，连接 DB，DC，DF.(1)求CDE的度数；(2)求证：DF是O的切线；(3)若AC 2 DE，求tanABD 的值5解：(1)AC 为 O的直径，ADC 90，EDC90；(2)连接DO，EDC90，F是EC 的中点，DFFC，FDC FCD ，ODOC，OCD ODC，ODCFDCOCDFCD，ODF OCF，ECAC ，OCF90， ODF90 ， DF是O的切
13、线； (3)在ACD 与ACE中，ADCACE90，EACCAD，ACDAEC， ，AC 2ADAE.又AC2 DE，20DE 2(AEDE)AE，(AE5DE)(AE4DE) ACAE ADAC 50，AE 5DE，AD4DE ，在Rt ACD 中，AC 2AD 2CD 2，CD2DE.又在O中，ABD ACD，tanABD tanACD 2.ADCD6(2016自贡模拟)如图，AB是O的直径，弦CDAB 于点 G，点F是CD上一点，且满足 ，连接AF并延CFFD 13长O于点E，连接AD，DE，若CF2，AF3.(1)求证：ADFAED；(2)求FG的长；来源:gkstk.Com(3)求证：tanE .54解：(1)AB 是 O的直径，弦CDAB， ， ADFAED.FADDAE，ADF AAD AC ED；(2) ，CF2，FD 6，CDDF CF 8，CGDG 4，FGCGCF 2；CFFD 13(3)AF3，FG2，AG ，在Rt AGD中，tan ADG .ADGE，taAF2 FG2 5AGDG 54nE .54
