1、第三十四讲 * 集合与简易逻辑我们考察某些事物的时候，常常要考虑由这些事物组成的群体，我们把这个群体叫作集合组成某个集合的事物，叫作这个集合的元素通常用大写字母 A，B ，C 等表示集合，小写字母 a，b，c，等表示元素如果 m 是集合 A 的元素，就说 m 属于 A，记作mA如果 n(i)你的家庭中所有成员组成一个集合，你和你的家庭中的其他各个成员都是这个集合中的元素(ii)自然数全体 1，2 ，3，组成一个集合(通常把它叫作自然数集)(iii)如果 A，B 是平面上两个不同的点，那么 A，B 两点所确定的直线上的点组成一个集合，这条直线上每个点都是这个集合的元素总之，集合是数学中一个最基本
2、、最常用的概念，下面进一步给同学们介绍一些关于集合的基本知识1集合的描述方法(1)列举法当一个集合所含元素个数较少时，一个最简单的描述方法就是把它所含的每个元素都列举出来，这叫列举法用列举法表示集合，通常是将这个集合的每个元素一一填写在中，每个元素之间用逗点隔开填写集合的元素时，与元素的排列次序无关例如：(i)由 a，b，c，d ，e 五个小写字母组成的集合 A，记作A=a，b，c，d ，e，也可记作A=b，a，c，d ，e)(ii)由小于 40 的质数组成的集合 B，记作B=2 ，3 ，5，7，11，13，17，19，23，29 ，31，37 (iii)平方等于 1 的有理数集合 C，记作C
3、=1，-1(iv)三条直线 l1，l 2，l 3 组成的集合 D，记作D=l1 ，l2，l3(2)特征性质描述法当一个集合所含元素较多时，用列举法描述很麻烦，这就要用到特征性质描述法所谓特征性质是指集合中元素的特征性质，即：(i)这个集合中每个元素都具有这些性质；(ii)具有这些性质的事物都是这个集合的元素例如，集合=1,-1 用特征性质描述法表示就是A=xx 2=1，或者A=xx=1 全体偶数组成的集合 B，用特征性质描述法表示就是B=xx 是能被 2 整除的整数，或者B=2nn 是整数全体奇数组成的集合 C，用特征性质描述法表示就是C=xx 是不能被 2 整除的整数，或者C=2n1n 是整
4、数，C=2n-1n 是整数一般地，用特征性质 表示集合 A 的形式是：A=xx 具有性质 2集合之间的关系和运算(1)包含与子集(i)你班上的同学的集合和你学校的同学的集合之间的关系是：前者是后者的子集，后者包含前者(ii)设集合例 1 设 A=1，2，3 ，4 ，试写出 A 的所有子集1，3，1 ，4，2，3，2 ，4，3，4，1，2，3 ，1，2，4， 2，3，4 ， 1，3，4，1，2 ，3 ，4 (2)交集运算对于给定的集合 A，B，由它们的公共元素所构成的集合叫作集合 A 与 B 的交集我们用 AB 表示 A，B 的交集( 图 2-88)例如(i)如图 2-89，设A=xx 是 12
5、 的正因数，B=x5x13，x 是整数，则A= 1，2，3，4 ，6 ，12 ，B=6，7，8 ，9，10，11 ，12所以 AB=6，12(ii)设 l1，l 2 是平面上两条不同的直线，则 l1l 2 就是由它们的交点组成的集合如果 l1 与 l2 相交于一点 P，则 l1l 2=P ( 图 2-90)；(3)并集运算对于给定的两个集合 A， B，把它们所含的元素合并起来所构成的集合，叫作集合A，B 的并集，我们用符号 AB 表示 A，B 的并集(图 2-92)例如(i)设 M，N 分别表示你班上男生、女生的集合，那么 MN 就是你班上同学的集合(ii)设A=1 ， 3，5，7，9，B=
6、2，3，4，5，6，则 AB=1，2 ，3 ，4，5，6，7 ，9注意 在求上述集合 A， B 的并集时，虽然在 A，B 中都有 3 和 5，但在 AB 中，3，5 只取一次(iii)设 E=xx 是实数，且 x4，F=x x 是实数，且 x-4，G=xx 216则 EF=G 一般地说，如果 ， 分别是集合 A，B 的特征性质，即A=xx 具有性质 ，B=xx 具有性质 ，则 AB 就是那些具有性质 或性质 的元素组成的集合，也就是AB=xx 具有性质 或 ，或者AB=xxA 或 xB例 2 设A=xx 是 12 的正因数，B=xx 是 18 的正因数，C=x0x5，且 xZ求：(1)ABC；
7、(2)A BC解 根据已知条件，用填文氏图各区域的元素的方法来解决(如图 2-93(a)，(b).(1)AB C=1，2 ，3；(2)AB C=0，1 ，2，3，4，5，6 ，9，12，18例 3 设 A=1，a，a 2 ，B=1，a，b)，假定 A，B 中的元素都是整数，并且AB=1，3，AB=1，a，2a，3a，求 a，b 的值解 因为 A=1 ，a，a 2， B=1，a ，b，所以AB1，a已知 AB=1，3 所以 a=3又由于AB=1，a ，b ，a 2= 1 ，a，2a，3a= 1 ，3，6，9，所以 b=6172 简易逻辑逻辑一词是 LOGIC 的音译，它是研究思维法则的一门学科数
8、学和逻辑的关系非常密切，在此，对逻辑知识做一些初步介绍1推出关系如果设 A=xx 是 4 的倍数，B=xx 是 2 的倍数，则 A 中元素具有性质 4的倍数；B 中元素具有性质 2 的倍数我们知道：如果某元素 x 是 4 的倍数，那么x 一定是 2 的倍数，即具有性质一般地说，如果具有性质 的元素也具有性质 ，我们便说由 推下面再举一个例子2命题和证明(1)命题和逆命题人们在思维活动中，经常要对客观事物做出判断例如：(i)雪是白的；(ii)如果1 和2 是对顶角，那么 1=2；(iii)3+4=6；上述所列都是对客观事物做出判断的语句人们对客观事物的情况做出判断可能是正确的(真) ，也可能是错
9、误的( 假) 我们把肯定或否定的判断语句叫作命题上述语句(i)，(ii)，(iii)， (iv)都是命题关于命题的真假性，有些容易判断，如(i)，(ii)是真命题，(iii) 是假命题但对(iv)的真假性就不是显然可判断的可通过设 x=1，y=0(xy) ，那么因此，命题(iv) 为假命题 (注意：证明一个命题为真命题，必须通过逻辑推演，但要证明一个命题为假命题只须举出一个反例即可)数学命题具有多种形式，经常采用的命题形式是“若 ，则 ”，“如果 ，那么”命题“若 ，则 ”或是真命题，或是假命题，二者必居其一“若当由 不可能推出 时，“若 ，则 ”便是假命题在命题“若 ，则 ”中， 叫作这个命
10、题的条件， 叫作这个命题的结论如果将命题“若 ，则 ”的条件和结论互换，就得到一个新命题“若 ，则 ”，这两个命题之间具有互连关系，其中一个叫作原命题时，则另一个命题就叫作这个原命题的逆命题当“如果 ，则 ”为真命题时，它的逆命题“如果 ，则 ”不一定是真命题例如：(i)“如果 23=6，那么 63=2”是真命题它的逆命题“如果 63=2，那么23=6”也是真命题(ii)“若 a=0 并且 b=0，则 ab=0”是真命题，但它的逆命题“若 ab=0，则 a=0 并且b=0”就不是真命题(iii)“如果1 ，2 是对顶角，那么 1=2”是真命题，但它的逆命题“1=2，那么1，2 是对顶角”就是假
11、命题(2)证明我们要说明“若 ，则 ”是真命题时，以什么方式来推证呢？最常用的基本格式就是推出关系的传递性，即：如果那么例如，(i)若1 和2 是对顶角，对顶角相等，则 1=2 (ii) 张三是人，凡人必有死，所以张三必有死上述推理格式叫作三段论式，推理中的，是两个前提条件，叫小前提，叫大前提，是由，推出的结论实际上，三段论式和推出关系的传递性是一致的例如“对顶角相等”的证明过程，可以像下面这样来理解已知：1 是2 的对顶角( 图 2-98)，求证：1= 2证从上述证明过程可知，要证明“若 ，则 ”，我们先设法找出一应用已经被确认的正确命题和已知条件作根据，经过推演，导出某一命题成立，这种方法
12、就叫作演绎推理法(简称演绎法 )演绎法是证明数学问题的重要方法a 2b 2c 2(a+b-c) 2=a2+b2+c2.例 2 某校数学竞赛，A ，B ，C ，D，E，F，G ，H 八位同学获得了前八名，老师叫他们猜一下谁是第一名A 说： “或者 F，或者 H 是第一名”B 说：“我是第一名”C说：“G 是第一名”D 说：“B 不是第一名”E 说： “A 说的不对”F 说：“我不是第一名”G 说：“C 不是第一名”H 说：“我同意 A 的意见”老师说八个人中有三人猜对了，那么试问第一名是谁？分解与解 由已知条件可知：A 与 H 同真假，E 与 F 同真假，B 与 D 必定一真一假(i)如果 A
13、与 H 猜对了，那么 D 与 G 也都猜对了这样就有四人猜对，不合题意，因此，A 与 H 必定都猜错了(ii)如果 E 与 F 猜对了，即 F 与 H 都不是第一名，这时若 B 猜对了，那么 D 就猜错了，C 也猜错了，G 猜对了，这样，就有 E，F，B ，G 四人猜对，也与题意不符因此 B 猜的不对，D 猜对了，这时已有 E，F，D 三人猜对，所以 G，C 都必定猜错了，所以 C 是第一名练习十七1已知 A=1，2，3，4，5 ，B=1，3，5 ，7，C=2，3，5 ，8 ，写出集合：(1)AB C； (2)A BC；(3)A(BC)；(4)A(BC)3有某种产品 100 个，通过两种检查，第一种检查合格品有 90 个，第二种检查合格品有 78 个，两种检查都合格的有 72 个试问这 100 个产品中，通过两种检查都不合格的产品有多少个？(1)a0a 0；(2)a0 且 b=0a 2b 2=0；(3)(x-a)(x-b)=0x=a 或 x=b；(4)如果 1 ，2，3，那么，5写出下列命题的逆命题，并指出其真假(1)若 a=b，则(a-b) 2 =0；(2)若 a=b，则 a2-b2=0；(3)若 ab，则 a2b 22ab；6已知 3(a2b 2c 2)=(a+b+c)2，求证：a=b=c
