1、第十八讲 生活中的数学储蓄、保险、纳税是最常见的有关理财方面的数学问题，几乎人人都会遇到，因此，我们在这一讲举例介绍有关这方面的知识，以增强理财的自我保护意识和处理简单财务问题的数学能力 一储蓄来源:gkstk.Com银行对存款人付给利息，这叫储蓄存入的钱叫本金一定存期(年、月或日)内的利息对本金的比叫利率本金加上利息叫本利和利息=本金利率存期，本利和= 本金(1+ 利率经 存期)如果用 p，r ，n， i，s 分别表示本金、利率、存期、利息与本利和，那么有i=prn，s=p(1+rn) 例 1 设年利率为 0.0171，某人存入银行 2000 元，3 年后得到利息多少元？本利和为多少元？解
2、i=20000.01713=102.6(元)s=2000(1+0.01713)=2102.6( 元)答 某人得到利息 102.6 元，本利和为 2102.6 元以上计算利息的方法叫单利法，单利法的特点是无论存款多少年，利息都不加入本金相对地，如果存款年限较长，约定在每年的某月把利息加入本金，这就是复利法，即利息再生利息目前我国银行存款多数实行的是单利法不过规定存款的年限越长利率也越高例如，1998 年 3 月我国银行公布的定期储蓄人民币的年利率如表 221 所示用复利法计算本利和，如果设本金是 p 元，年利率是 r,存期是 n 年，那么若第 1 年到第 n 年的本利和分别是 s1，s 2,，s
3、 n，则s 1=p(1+r)，s 2=s1(1+r)=p(1+r)( 1+r)=p(1+r)2，s 3s 2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r)3，s n=p(1+r)n例 2 小李有 20000 元，想存入银行储蓄 5 年，可有几种储蓄方案，哪种方案获利最多？解 按表 221 的利率计算(1)连续存五个 1 年期，则 5 年期满的本利和为20000(1+0.0522)525794(元) (2)先存一个 2 年期，再连续存三个 1 年期，则 5 年后本利和为20000(1+0.05582)(1+0.0522)325898( 元)(3)先连续存二个 2 年期，再存一个 1 年期，则
4、 5 年后本利和为20000(1+0.05582)2(1+0.0552)26003(元) (4)先存一个 3 年期，再转存一个 2 年期，则 5 年后的本利和为20000(10.0621 3)(1+0.05582)26374(元)(5)先存一个 3 年期，然后再连续存二个 1 年期，则 5 年后本利和为20000(1+0.06213)(1+0.0522)226268( 元)(6)存一个 5 年期，则到期后本利和为20000(1+0.06665)26660(元) 显然，第六种方案，获利最多，可见国家所规定的年利率已经充分考虑了你可能选择的存款方案，利率是合理的例 3 小华是独生子女，他的父母为了
5、给他支付将来上大学的学费，从小华5 岁上小学前一年，就开始到银行存了一笔钱，设上大学学费每年为 4000 元，四年大学共需 16000 元，设银行在此期间存款利率不变，为了使小华到 18 岁时上大学本利和能有 16000 元，他们开始到银行存入了多少钱？(设 1 年、3年、5 年整存整取，定期储蓄的年利率分别为 5.22，6.21 和 6.66)解 从 5 岁到 18 岁共存 13 年，储蓄 13 年得到利息最多的方案是：连续存两个 5 年期后，再存一个 3 年期设开始时，存入银行 x 元，那么第一个 5 年到期时的本利和为x+x0.06665x(1+0.06665)来源:学优利用上述本利和为
6、本金，再存一个 5 年期，等到第二个 5 年期满时，则本利和为x(1+0.06665)+x(1+0.06665)0.06665=x(1+0.06665)2利用这个本利和，存一个 3 年定期，到期时本利和为 x(1+0.06665)2(1+0.06213)这个数应等于 16000 元，即x(1+0.06665)2(1+0.06213)=16000，所以 1.7771.186x=16000 ，所以 x7594(元) 答 开始时存入 7594 元.二保险保险是现代社会必不可少的一种生活、生命和财产保护的金融事业例如，火灾保险就是由于火灾所引起损失的保险，人寿保险是由于人身意外伤害或养老的保险，等等下
7、面举两个简单的实例例 4 假设一个小城镇过去 10 年中，发生火灾情况如表 222 所示试问：(1)设想平均每年在 1000 家中烧掉几家？(2)如果保户投保 30 万元的火灾保险，最低限度要交多少保险费保险公司才不亏本？解 (1)因为1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11(家)，365+371+385+395+412+418+430+435+440445=4096(家) 114096 0.0026(2)300000 0.0026=780(元)来源:学优 gkstk答(1)每年在 1000 家中，大约烧掉 2.6 家(2)投保 30 万元的保险费，至少需交 780 元的保险费例 5 财产
8、保险是常见的保险假定 A 种财产保险是每投保 1000 元财产，要交 3 元保险费，保险期为 1 年，期满后不退保险费，续保需重新交费 B 种财产保险是按储蓄方式，每 1000 元财产保险交储蓄金 25 元，保险一年期满后不论是否得到赔款均全额退还储蓄金，以利息作为保险费今有兄弟二人，哥哥投保 8 万元 A 种保险一年，弟弟投保 8 万元 B 种保险一年试问兄弟二人谁投的保险更合算些？(假定定期存款 1 年期利率为 5.22)解 哥哥投保 8 万元 A 种财产保险，需交保险费8000010003=803=240(元)弟弟投保 8 万元 B 种财产保险，按每 1000 元交 25 元保险储蓄金算
9、，共交80000100025=2000(元) ，而 2000 元一年的利息为 来源:学优20000.0522=104.4(元) 兄弟二人相比较，弟弟少花了保险费约240-104.4=135.60(元)因此，弟弟投的保险更合算些三纳税纳税是每个公民的义务，对于每个工作人员来说，除了工资部分按国家规定纳税外，个人劳务增收也应纳税现行劳务报酬纳税办法有三种：(1)每次取得劳务报酬不超过 1000 元的(包括 1000 元)，预扣率为 3，全额计税(2)每次取得劳务报酬 1000 元以上、4000 元以下，减除费用 800 元后的余额，依照 20的比例税率，计算应纳税额(3)每次取得劳务报酬 4000
10、 元以上的，减除 20的费用后，依照 20的比例税率，计算应纳税额每次取得劳务报酬超过 20000 元的(暂略 )由(1)，(2)，(3)的规定，我们如果设个人每次劳务报酬为 x 元，y 为相应的纳税金额(元) ，那么，我们可以写出关于劳务报酬纳税的分段函数：例 6 小 王 和 小 张 两 人 一 次 共 取 得 劳 务 报 酬 10000 元 ， 已 知 小 王 的 报 酬 是 小张 的 2 倍 多 ， 两 人 共 缴 纳 个 人 所 得 税 1560 元 ， 问 小 王 和 小 张 各 得 劳 务 报 酬 多 少元 ？解 根据劳务报酬所得税计算方法(见函数) ，从已知条件分析可知小王的收入
11、超过 4000 元，而小张的收入在 1000 4000 之间，如果设小王的收入为x 元，小张的收入为 y 元，则有方程组：由得 y=10000-x，将之代入得x(1-20)20+(10000-x-800)20=1560，化简、整理得0.16x-0.2x+1840=1560，所以0.04x=280，x=7000(元)则 y=10000-7000=3000(元)所以答 小王收入 7000 元，小张收入 3000 元例 7 如果对写文章、出版图书所获稿费的纳税计算方法是其中 y(x)表示稿费为 x 元应缴纳的税额那么若小红的爸爸取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到 6216 元，问这笔稿费是多少元？
12、解 设这笔稿费为 x 元，由于 x4000，所以，根据相应的纳税规定，有方程x(1-20) 20(1-30)=x-6216，化简、整理得0.112x=x-6216，所以 0.888x=6216，所以 x=7000( 元)答 这笔稿费是 7000 元练习二十二1按下列三种方法，将 100 元存入银行， 10 年后的本利和各是多少？(设 1 年期、3 年期、 5 年期的年利率分别为 5.22，6.21，6.66 保持不变)(1)定期 1 年，每存满 1 年，将本利和自动转存下一年，共续存 10 年；(2)先连续存三个 3 年期，9 年后将本利和转存 1 年期，合计共存 10 年；(3)连续存二个
13、5 年期来源:GKSTK.Com2李光购买了 25000 元某公司 5 年期的债券，5 年后得到本利和为40000 元，问这种债券的年利率是多少？3王芳取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到 2580 元，问这笔稿费是多少元？4把本金 5000 元存入银行，年利率为 0.0522，几年后本利和为 6566 元(单利法 )？四、地板砖展铺的图形地板砖展铺的图形，一般都是用几种全等的平面图形展铺开来的，有时用由直线构成的多边形组成的图案，有时用由曲线组成的图案，千变万化但是作为基础还是用平面多边形展铺平面有时虽然有曲线，却常常是由多边形和圆作适当变化而得到的例如，一个由正方形展铺的平面图案(图 17
14、7(a)，如果对正方形用圆弧做一些变化(图 177(b)，那么把以上两个图形结合起来设计，就可由比较单调的正方形图案，变化曲线形成花纹图案了(图 177(c)由于多边形是构成地板砖展铺复杂图形的基础，因此，下面我们对利用多边形展铺平面图形做些简要分析例 1 怎样以三角形为基础展铺平面图案分析与解 三角形是多边形中最简单的图形，如果用三角形为基本图形来展铺平面图案， 那么就要考虑三角形的特点由于三角形的三个内角和为180，所以要把三角形的三个角集中到一起，就组成了一个平角如果要在平面上一个点的周围集中三角形的角，那么必须使这些角的和为两个平角因此，若把图 178 中的三角形的三个内角集中在一起，
15、并进行轴对称变换或中心对称变换，就可以得到集中于一点的六个角，它们的和为 360，刚好覆盖上这一点周围的平面变换的方法见图 179在中心对称的情况下，三角形不翻折，在轴对称的情况下，三角形要翻折如果把三角形正、反两面涂上颜色，那么通过对称变换，正、反两面就会明显地反映出来了由上面的分析可知，用三角形为基本图形展铺平面图案，共有以下四种情况，如图 180例 2 怎样以四边形为基础展铺平面图案？分析与解 由于四边形内角和为 360，所以，任何四边形都可以作为基本图形来展铺平面图案图 181 中的(a)， (b)，(C)，(d)分别是以矩形、菱形、梯形、一般四边形为基本图形的平面展铺图案例 3 怎样
16、以正多边形为基本图形展铺平面图案？分析与解 用正多边形为基本图形展铺平面图案，集中于一点的周围的正多边形的各个角的和应是 360例如，正五边形一个内角为正十边形一个内角为 如果把两个正五边形的内角与一个正十边形的内角加起来，则其和为2108+144=360但是它们并不能用来展铺平面如果用同种的正 n 边形来展铺平面图案，在一个顶点周围集中了 m 个正n 边形的角由于这些角的和应为 360，所以以下等式成立因为 m，n 都是正整数，并且 m2，n2 所以 m-2，n-2 也都必定是正整数所以当 n-2=1，m-2=4 时，则 n=3，m=6 ；当 n-2=2，m-2=2 时，则n=4，m=4；当
17、 n-2=4，m-2=1 时，则 n=6，m=3这就证明了只用一种正多边形展铺平面图案，只存在三种情况：(1)由 6 个 正 三 角 形 拼 展 ， 我 们 用 符 号 (3， 3， 3， 3， 3， 3)来 表 示 (见 图1 82)(2)由 4 个正方形拼展，我们用符号(4，4，4 ，4) 来表示(见图 183)(3)由 3 个正六边形来拼展，我们用符号(6，6，6)来表示(见图 184)如果用两种正多边形来拼展平面图案，那么就有以下五种情况：(3，3，3， 4，4)，(3，3 ，3，3，6)，(3，3，6，6)，(3，12，12)以及(4，8，8)这五种情况中，(3，3，3，4 ，4)又可有两种不同的拼展方法，参看下面六种拼展图形(图 185) 用三种正多边形展拼平面图形就比较难设计了下面举出两例供同学们思考(图 186)有兴趣的同学请自己构想出一两个例子练习二十三1试用三角形和梯形这两种多边形拼展平面图案2试用形如图 187 的图形拼展平面图案3 试 用 边 长 为 1 的 正 三 角 形 、 边 长 为 1 的 正 方 形 和 两 腰 为 1、 夹 角 为 120的等腰三角形拼展平面图案4试用圆弧和多边形(多边形可以用圆弧割补)设计一种平面图案5试用一个正方形，仿照图 176(a)，(b)，(c)的变化方式，设计一种平面图案
