1、数学建模,洛阳理工学院数理部 运士伟,全国大学生数学建模竞赛简介,全国大学生数学建模比赛是由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办，面向全国高等院校的规模最大、参与院校最多、涉及面最广的一项科技竞赛活动。自1992年举办第一届以来，参赛队平均每年以20%递增。 我校自2003年参赛以来，通过师生的共同努力，取得了丰硕的成果。,全国大学生数学建模于每年9月的第三个星期五开始。数学建模竞赛以通讯形式进行，三名大学生组成一队，可以自由地收集资料、调查研究，使用计算机和任何软件，甚至上网查询，但不得与队外任何人讨论。在三天时间内，完成一篇包括模型的假设、建立和求解，计算方法的设计和计算机实现，结
2、果的分析和检验，模型的改进等方面的论文。竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。,全国大学生数学建模竞赛简介,课程介绍,本课程的目的 本课程主要是面对初次学习数学建模的学生，主要介绍一些基本的应用数学知识和建模范例来展示数学建模的基本思想和方法，使学生从中领悟到什么是数学建模，怎样进行数学建模，如何利用计算机进行建模，以及如何通过数学模型去分析、解决实际问题，从而达到发展思维和发展想象力的作用。 同时也为有的同学参加数学建模竞赛提供一定的理论知识。,课程介绍,什么是数学建模？ 数学建模是一种具有创新性的科学方法，它将现实问题简化、抽象为一个数学问题或数
3、学模型，然后采用恰当的数学方法求解，进而对现实问题进行定量分析和研究，最终达到解决实际问题的目的。 本课程的主要内容 本课程主要介绍数学模型的基本概念、初等模型、优化模型、微分方程与差分方程模型、模糊数学方法、图与网络模型、插值与拟合模型、对策与决策模型等,学习本课程的参考书,1.数学模型（第三版） 姜启源 谢金星 叶俊 编 高等教育出版社 2.数学建模方法及其应用韩中庚 编著高等教育出版社 3.数学实验 萧树铁 主编 高等教育出版社,作业与考试,平时作业要求以论文形式完成，以Word形式编辑，程序附在文档后。如果是参考别人论文、或者是从网上下载部分内容、或者从其它参考书中摘录部分内容，请在文
4、章后附上参考文献。 严禁相互之间copy，严禁不加修改从网上下载；如果发现，将对所有相同的论文不计成绩。 最后考试以一篇论文结束，平时作业将占总成绩的60%，考试占40%。 作业上交到邮箱中,数学建模概述,1、原型与模型 “原型”（Prototype）和“模型”是一对对偶体。 原型：是指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。在科技领域中通常使用系统、过程等词汇来描述相应的对象。 模型：指为了某个特定的目的将原型的一部分信息简缩、提炼而构成的原型替代物。 尤其要说明的是：模型不是原型原封不动的复制品。原型有各个方面和各个层次的特征，而模型只要求与某种目的有关的那些方面和层次。因此
5、原型既简单于原型，又高于原型。,数学建模概述,2、一些常见的模型分类 形象模型：根据某种物体的实际大小，按一定比例制作的模型称为形象模型。例如汽车模型、建筑模型都是形象模型。形象模型又称为直观模型。 物理模型：物理模型主要指科研工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以可以显示原型的外形或相似特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究模型的某些规律。 思维模型：思维模型是指人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验形式直接存储于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。 符号模型：用一些比较生动、鲜明的符号来刻画某种事物的特征，这种模型称为符号模型。例如地图、电路图、化学结构表等。
6、,数学建模概述,3、数学模型与数学建模 数学模型：对于现实中的原型，为了某个特定目的，作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。也可以说，数学建模是利用数学语言（符号、式子与图象）模拟现实的模型。把现实模型抽象、简化为某种数学结构是数学模型的基本特征。它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测到对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。 把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。,例 甲乙两地相距740km，某船从甲地到乙地顺水需 要30小时，
7、从乙地到甲地逆水需要50小时，问船速、水 速各为多少？,分析：在该问题中，两地之间的距离是已知的，并且 假定在考察问题的时间段中水的流速不变，在这样的假 设之下，我们可以得出问题的解。,求解 设水的流速为 ，船的行驶速度为 ，则当顺 水航行时有关系,数学建模概述,4、身边的数学模型,当船只逆水航行时，有,即有方程组,上式即为原问题的数学表达式，又称为数学模型。,容易求出该问题的解： 。即船速为 20km/h，水速为5km/h。,在上面的例中我们看到数学模型的一般意义：,对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目 的，根据特有的内在规律，作出一些必要的假设，运用 适当的数学工具，得到一个数学结
8、构。,注意：本课程的重点并不是单单介绍现实世界的数学 模型，而主要的是介绍建立数学模型的全部过程和求解 过程。,数学建模的意义,在一般的工程领域中，数学建模仍然大有用武之地。 在高新技术领域中，数学建模几乎是必不可少的工具。 数学迅速进入一些新兴领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。 数学建模在国民经济和社会活动中的具体表现：预测与决策；分析与设计；控制与优化；规划与管理,随着科学技术的发展，在近几个世纪来，世界人口也 得到了快速的的增长。下面的数据表反映了近几个世纪 的人口增长情况。,数学建模实例之一 人口增长的预报问题,从表中看出，人口每增加十亿的时间，由一百多年缩 短至十二、三年。常此以
9、往，人口问题将严重困扰世界 经济的发展。,下表是我国在20世纪中人口发展的状况：,认识人口数量变化的规律，建立合适的人口模型，作 出准确的预报，是有效控制人口增长的前提。,下面介绍两个基本的人口模型，并利用表1给出的近 两个世纪的美国人口统计数据（单位：百万）对模型作 出检验，最后用它预报2010年美国的人口。,表1 美国人口数据统计,指数增长模型,一个简单的人口模型是指数模型：记今年人口为 ， 年增长率为 ，则以后第 年的人口为,在上面的问题中，假定人口的增长率 是一个不变的常 数。,200多年前，马尔萨斯基于增长率不变的基础，建立 了著名的人口指数模型。,建模 记时刻 时的人口为 ，并视其
10、为连续变量， 初始时 的人口为 ，从 到 时间内人口的 增量为 ，则有,令 则得到 应满足的微分方程：,由这个方程容易解得：,当 时，式表明人口将按指数规律无限增长。故 称为指数增长模型。,参数估计：式中的 和 可以用表1中的数据进行 估计。为了利用简单的最小二乘法，将式取对数后得,其中： 。,以1790年到1900年的数据拟合式，可得,以1790年到2000年的全部数据拟合式，可得,17901900实际人口与计算人口的比较,17902000实际人口与计算人口比较,表2 指数增长模型拟合美国人口数据的结果,表2 指数增长模型拟合美国人口数据的结果（续）,结果分析 用上面得到的参数 代入式，将计
11、 算结果与实际数据作比较得下表，表中计算人口 是用 1790年的数据拟合的结果；计算人口 是用全部数据拟 合的结果，用这个模型基本上能够描述19世纪以前美国 人口的增长情况，但是进入20世纪后，美国人口增长明 显放慢，此时模型不再适合了。,从历史上看，指数增长模型与十九世纪以前欧洲一些 地区人口统计数据可以很好地吻合，此外，以此模型作 短时间里的人口预测可以得到较好地结果。原因是此时 人口的增长率几乎是一个不变的常数。,但是，从长期看，任何地区、任何国家的人口不可 能无限增长，这是因为人口的增长率实际上是在不断 地变化。一般情况下，当人口较小时，增长较快；当 人口达到一定数量时，增长率明显下降
12、。因而用平均 增长率 来代替变化增长率 ，会与实际结果有较,大的差距。,阻滞增长模型（Logistic模型）,分析 当人口增长到一定数量后，自然资源、环境条 件等因素对人口的增长会起到一个阻滞作用，并且随着 人口的不断增加，阻滞作用会越来越大。阻滞增长模型 就是基于这个事实，对指数增长模型的基本假设进行修 改后得到的。,建模 设增长率 随人口数量 的增长而下降，则关 系式可改写成,其中 是 的减函数。进一步假定，设 是 的线 性函数，即,这里 称为固有增长率。引入 ，称为人口容量，即,当 时，人口不再增长，即 代入式 得 于是式为,把代入方程，得,方程右端的因子 体现人口自身的增长趋势，因子,
13、则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用。,注意到： 越大，前一因子越大，而后一因子越小，人 口的增长是两个因子共同作用的结果。,以 为横轴， 为纵轴作 出方程的图形。从该图形 中可以大致描绘出 的 图形。,Logistic模型 xt 曲线,参数估计,为了利用简单的线性最小二乘法估计这个模型的参数和 ，将方程表为,用数值微分和曲线拟合，利用从1860到1990年的数 据计算得到 /10年，,结果分析：用上面的数据代入方程的解：,将计算结果与实际数据加以对比：有下面的图表,表3 阻滞增长模型拟合美国人口数据的结果,阻滞增长型拟合图形（17901990）,从数据中可以看出，在阻滞增长模型中虽然有一段
14、时 间，数据拟合的情况不是很好，但在最后一段时间，吻 合得相当不错。,以该数据来预测2000年的人口情况，我们有,与实际数据有约 的误差，可以认为该模型是能够 令人满意的。,将2000年的数据加入，可以预测到在2010年美国人 口将达到 百万。,问题 一个有四个脚的方凳能否在地上放稳，如能 的话，给出具体的方法。,假设1 椅子的四个脚是等长的并且四个脚正好位于一 个四方形的顶点上；,假设2 地面是一张连续变化的曲面；,假设3 在任一时刻。椅子至少有三只脚落地。,数学建模实例之二 椅子放稳问题,建模 设椅子的四只脚位于点 其连线构 成一正方形，对角线的交点为坐标原点，对角线为坐标轴（坐标系统如图
15、所示）。,设 为 两点椅子的脚离开地面的距离只和；为 两点的椅子的脚离开 地面的距离之和，则由条件得,注意到： 并且,椅子的四脚落地意味着 故不妨假设,则问题归结为是否存在 使得,解模 由条件对任意 ，有 且,令,则 因,由闭区间连续函数的零点定理知，存在,使得,注意到条件：椅子的四个脚中在同一时刻至少有三脚落 地，即,所以由 ，即有,此说明在问题所设的条件下，椅子可以放稳，并给出 了放稳的具体方法。,注 若在原问题中，若将一个四方形的椅子改为长方 形的桌子，则该如何求解？,数学建模的一般步骤,1、模型准备 2、模型假设 3、模型建立 4、模型构成 5、模型求解 6、模型分析 7、模型检验 8
16、、模型应用,通过对前面实例的分析可知，建模的一般步骤为：,模型准备：了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必要的信息（现象.数据），尽量弄清对象的主要特征。 模型假设：据对象的特征和建模的目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，做出必要的、合理简化的假设。 模型构成：据假设，用数学语言、符号描述对象的内在规律，建立包含常量、变量、已知量、未知量等各量之间的数学关系。 模型求解：主要用到数学软件和计算机技术。（解方程，画图形，优化方法，数值计算，统计分析，微分方程，差分方程等）,模型分析：求解结果进行数学上的分析，如误差分析.统计分析.模型对数据的灵敏性分析.对假设的强健性分析等。 模型检验：把求解
17、和分析的结果翻译回到实际问题，与实际的现象.数据比较，检验模型的合理性和实用性。 模型应用：对通过检验的模型再应用到实际中去。,现实对象的信息,数学模型,数学模型求解,现实对象的解答,化简,表述,归纳,数学求解,演绎,解释,验证,建模过程示意图,模型分类（1）,1、按模型的应用领域分类：生物数学模型 医学数学模型 地质数学模型 数量经济学模型数学社会学模型 2、按是否考虑随机因素分类：确定性模型 随机性模型 3、按是否考虑模型的变化分类：静态模型 动态模型,模型分类（2）,4、按应用离散方法或连续方法分类：离散模型 连续模型 5、按建立模型的数学方法分类：几何模型 微分方程模型 图论模型规划论
18、模型 马氏链模型,模型分类（3）,6、按人们对是物发展过程的了解程度分类： （1）白箱模型：指那些内部规律比较清楚的模型。如力学、 热学、电学以及相关的工程技术问题。 （2）灰箱模型：指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改 善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题。如气象学、生态学经济学等领域的模型。 （3）黑箱模型：指一些其内部规律还很少为人们所知的现象。 如生命科学、社会科学等方面的问题。但由于因素众多、 关系复杂，也可简化为灰箱模型来研究。,具备的数学知识,1、数学分析 2、高等代数 3、概率与数理统计 4、最优化理论 5、图论 6、组合数学 7、微分方程稳定性分析 8、排队论,数学建模常用数学软件,Matlab Lingo、Lindo,
