1、第一章 数学建模概论,数学模型（Mathematical Model）是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。 数学建模（Mathematical Modeling）应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。,1.1 数学模型与数学建模,例（万有引力定律的发现 ）,十五世纪中期 ，哥白尼 提出了震惊世界的 日心说。 丹麦著名的实验天文学 家第谷花了二十多年时间 观察纪录下了当 时已发现的五大 行星的运动情况 。 第谷的学生和助手 开普勒对这些
2、资料进行了九年时间的分 析计算后 得出著名的Kepler三定律。 牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即 万有引力定律。,如图，有椭圆方程 :,矢径所扫过的面 积A的微分为:,由开普勒第二定 律:,常数,立即得出:,即:,椭圆面积,由此得出,常数,简单推导如下：,我们还需算出行星的加速度，为此需要建立 两种 不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点，沿长轴方向的单位向量记 为i,沿短轴方向的单位向量记 为j，于是：,进而有 加速度,以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向量分别是,因此得出,也就是说行星的加速度为,那么就导出著名的 万有引力定律：,
3、1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 即建立数学模型。 4.模型求解。 5.模型的分析与检验。,1.2 数学建模的一般步骤,1.3 数学模型的分 类,数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在调查研究阶段，需 要用到观察能力、分析能力和数据处理能力等。在提出假设 时，又需要用到 想象力和归纳 简化能力。 在真正开始自己的研究之前，还应当尽可
4、能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工 作成为别人研究工作 的继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间 内查到并学会我想应用的知识的本领。 还需要你多少要有点 创新的能力。这种能力不是生来就有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。,1.4 数学建模与能力的培养,例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然 然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早 了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他 比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时 间？,1.5 一些简
5、单实例,请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设 ？,分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当然 ，这里的情况要简单得多。,设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离 L。这就是说，在离街口距离为 L处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。,根据上述简化假设，利用热量守衡定律，餐馆老板的问题就很容易回答了，当然，你还应当调查一下一池水的质量是多少，查一下瓷盘的吸热系数和质量等。,可见 ，假
6、设条件 的提出不 仅和你 研的问题 有关，还和 你准备利用哪些知 识 、准备建立什么样的模型以及你准 备研究的深入程度有关，即在你提出假设时，你建模的框架已经基本搭好了。,盘子有大小吗 ?是什么样的盘子？盘子是怎样洗的 ? 不妨假设我们了解到：盘子大小相同，均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠盘子浸泡在热水中，然后 一清洗。,不难看出，是水 的温度在决 定洗盘子的数量 。盘子是先用冷水洗过的，其后可能还会再用清水冲洗，更换热水并非因为水太脏了，而是因为 水不够热了。,设砖块是均质的，长度与重量均 为1，其 重心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。,由第 n块砖受到的两个力的力矩相等，有：1/2-Zn= (n1) Zn 故Zn =1/(2n)，从而上面 n块砖向右推出的总距离为 ，,故砖块向右可叠至 任意远 ，这一结果多少 有点出人意料。,AB发出车次显然是一样多的， 否则一处的车辆将会越积越多。,
