1、第十一讲 线段与角线段与角是初中平面几何中两个非常基本的概念，这两个概念在日常生活中有着广泛的应用 小明做作业需要买一些文具在他家的左边 200 米处有一家文具店，他从家出发向文具店走去，走到一半发现忘了带钱，又回家取钱买了文具后回到家中问小明共走了多长的路程？在高层建筑中，一般都设有电梯，人们上楼一般都乘坐电梯，你想过吗，设计电梯与线段的什么性质有关？钟表是大家熟悉的计时工具，你可曾观察过在 2 点到 3 点之间什么时候时针与分针重合？什么时候时针与分针成 90角？我们还可以在日常生活中提出许多与线段和角有关的问题，不少问题很有趣，也颇费脑筋，对于留心观察、勤于思考的人来说是锻炼脑筋的好机会
2、例 1 已知：ABBCCD=2 34，E，F 分别是 AB 和 CD 的中点，且 EF=12 厘米(cm)，求 AD 的长 (如图 16) 分析 线段 EF 是线段 AD 的一部分，题设给出了 EF 的长度，只要知道线段 EF 占全线段 AD 的份额，就可求出 AD 的长了解 因为 ABBCCD=23 4，E 是 AB 中点，F 是 CD 中点，将线段 AD 9 等分(9=2+3+4)且设每一份为一个单位，则 AB=2，BC=3，CD=4，EB=1，CF=2从而EF=EB+BC+CF=1+3+2=6，例 2 在直线 l 上取 A，B 两点，使 AB=10 厘米，再在 l 上取一点 C，使 AC
3、=2厘米，M，N 分别是 AB，AC 中点求 MN 的长度(如图 17)分析 因为是在直线上取 C 点，因此有两种情形：C 点在 A 点的右侧或 C 点在A 点的左侧解 若 C 点在 A 点的右侧(即在线段 AB 上) 因为 AC=2 厘米， N 为 AC 中点，所以 AN=1 厘米；又 AB=10 厘米，M 为 AB 中点，所以 AM=5 厘米则MN=AM-AN=5-1=4(厘米)(如图 17(a)若 C 点在 A 点的左侧(即在线段 BA 延长线上) ，此时MN=NA+AM=1+5=6(厘米)(如图 17(b) 线段的最基本性质是“两点之间线段最短”，这在生活中有广泛应用前面所提到的高层建
4、筑所设电梯的路线，就是连接两层楼之间的线段，而楼梯的路线则是折线，电梯的路线最短例 3 如图 18 所示在一条河流的北侧，有 A，B 两处牧场每天清晨，羊群从 A 出发，到河边饮水后， 折到 B 处放牧吃草请问， 饮水处应设在河流的什么位置，从 A 到 B 羊群行走的路程最短？分析 将河流看作直线 l(如图 19 所示)设羊群在河边的饮水点为 C，则羊群行走路程为 AC+C B设 A 关于直线 l 的对称点为 A，由对称性知CA=CA因此，羊群行走的路程为AC +CB线段 AC与 CB 是连结点 A与点 B 之间的折线由线段的基本性质知，连结点 A与点 B 之间的线中，线段 AB 最短设线段
5、AB 与直线 l 交于C那么，C 点就是所选的最好的饮水地点，下面我们来说明这一点解 作 A 关于直线 l 的对称点 A连结 B，A，并设线段 BA与 l 交于C设 C是 l 上不同于 C 的另外一点，只要证明AC+C BAC+CB 即可利用线段基本性质及点关于直线的对称性知AC=CA 及 CA=CA，所以AC+CB=CA+CB，AC+CB=CA+CB=AB而 CA与 CB 是连结 A，B 的折线，而 AB 则是连结这两点之间的线段，所以CA+CBAB=AC+CB=AC+CB，从而成立，即选择 C 点作为羊群的饮水点，羊群的行程最短例 4 将长为 10 厘米的一条线段用任意方式分成 5 小段，
6、以这 5 小段为边可以围成一个五边形问其中最长的一段的取值范围分析 设 AB 是所围成的五边形 ABCDE 的某一边(图 110) ，而线段BC，CD，DE，EA 则可看成是点 A，B 之间的一条折线，因此，ABBC+CD+DE+EA 如果 AB 是最长的一段，上面的不等式关系仍然成立，从而可以求出它的取值范围解 设最长的一段 AB 的长度为 x 厘米，则其余 4 段的和为(10-x)厘米由线段基本性质知 x10-x，所以 x5 ，即最长的一段 AB 的长度必须小于 5 厘米例 5 若一个角的余角与这个角的补角之比是 27 ，求这个角的邻补角分析 这个问题涉及到一个角的余角、补角及两个角的比的
7、概念，概念清楚了，问题不难解决解 设这个角为 ，则这个角的余角为 90-，这个角的补角为 180-依照题意，这两个角的比为(90-)(180- )=2 7 所以360-2=630-7，5=270 ，所以 =54 从而，这个角的邻补角为180-54=126例 6 若时钟由 2 点 30 分走到 2 点 50 分，问时针、分针各转过多大的角度？分析 解这个问题的难处在于时针转过多大的角度，这就要弄清楚时针与分针转动速度的关系每一小时，分针转动 360，而时针转动解 在 2 点 30 分时，时钟的分针指向数字 6；在 2 点 50 分时，时钟的分针指向数字 10，因此，分针共转过“四格”，每转“一格
8、”为 30，故分针共转过了430=120在钟表中，有很多有关分针、时针的转角问题解决这类问题的关倍)例 7 时钟里，时针从 5 点整的位置起，顺时针方向转多少度时，分钟与时针第一次重合(图 111)？分析 在开始时，从顺时针方向看，时针在分针的“前方”，它们相差 530=150由于分针转动速度远远大于时针转动速度 (是它的 12 倍) ，因此，总有一刻，分针“追上”时针(即两者重合) 具体追上的时刻决定于开始时，分针与时针的角度差及它们的速度比解 如分析，在开始时，分针“落后”于时针 150设分针与时针第一次重合时，时针转动了 角，那么，分针转动了(150+)因为分钟转速是时针的12 倍，所以
9、150+=12 ，说明 钟表里的分钟与时针的转动问题本质上与行程问题中的两人追击问题非常相似行程问题中的距离相当于这里的角度；行程问题中的速度相当于这里时(分)针的转动速度下面再看一例例 8 在 4 点与 5 点之间，时针与分针在何时(1)成 120(图 112) ；(2)成 90(图 112)分析与解 (1)在 4 点整时，时针与分针恰成 120由于所问的时间是介于 4点到 5 点之间，因此，这个时间不能计入从 4 点开始，分针与时针之间的角度先逐步减少，直至两针重合(夹角为 0)之后，分针“超过 ”时针，两针之间的夹角又逐渐增大(此时，分针在时针的前面 )直到两针夹角又一次成为 120，这
10、个时间正是我们所要求的设时针顺时针转过 a 角后，时针与分针( 分针在时钟前)成 120，则12a=120+a+120，由于时针每转过 30(如从指向数字 4 转到指向数字 5)相当于 1经过了(2)如图 1 13(a)，(b)所示由于在整 4 点时，时针与分针夹角为 120，因此，在 4 点与 5 点之间，时针与分针成 90有两种情况 ：(i)时针在分针之前 (如图 113(a)设时针转了 a 角，分针转了 12a 角，有120+=90+12 ，所以 11=30，用时(ii)时针在分针之后(如图 113(b)，此时，有关系12- =120+90 ，11=210，用时间时，时针与分针成 90
11、说明 由于时针与分针所成角依时针与分针的“前”“后”次序有两种情况，因此，按两针夹角情况会出现一解或两解练习十一1如图 114 所示B，C 是线段 AD 上两点，M 是 AB 的中点，N 是 CD 的中点若 MN=a，BC=b，求 AD2如图 115 所示A 2，A 3 是线段 A1A4 上两点，且A1A2=a1，A 1A3=a2，A 1A4=a3求线段 A1A4 上所有线段之和3如图 116 所示两个相邻墙面上有 A，B 两点，现要从 A 点沿墙面拉一线到 B 点问应怎样拉线用线最省？4互补的两角之差是 28，求其中一个角的余角5如图 117 所示OB 平分AOC，且234=2 5 3求2，3，4 6在晚 6 点到 7 点之间，时针与分针何时成 90角？7在 4 点到 6 点之间，时针与分针何时成 120角？
