1、第十讲 整式的乘法与除法中学代数中的整式是从数的概念基础上发展起来的，因而保留着许多数的特征，研究的内容与方法也很类似例如，整式的四则运算就可以在许多方面与数的四则运算相类比；也像数的运算在算术中占有重要的地位一样，整式的运算也是代数中最基础的部分，它在化简、求值、恒等变形、解方程等问题中有着广泛的应用通过整式的运算，同学们还可以在准确地理解整式的有关概念和法则的基础上，进一步提高自己的运算能力为此，本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法 整式是多项式和单项式的总称整式的乘除主要是多项式的乘除下面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析正整数指数幂的运算法则：(1)aM an=aM+n； (
2、2)(ab) n=anbn； (3)(a M)n=aMn；(4)aMan=aM-n(a0 ，m n)； （5） )0(an常用的乘法公式：(1)(a+b)(a+b)=a 2-b2；(2)(ab) 2=a22ab+b2；(3) ；3)(bab(4)(ab) 3=a33a2b+3ab2b3； (5)(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca例 1 求x 3-(x-1)2(x-1)展开后，x 2 项的系数 说明 应用乘法公式的关键，是要理解公式中字母的广泛含义，对公式中的项数、次数、符号、系数，不要混淆，要达到正确、熟练、灵活运用的程度，这样会给解题带来极大便利例 2 先化简，再求
3、当 时， (x-2)(x 2-2x+4)-x(x+3)(x-3)+(2x-1)2的值139x例 3 化简(1+x)1-x+x 2-x3+(-x)n-1，其中 n 为大于 1 的整数来源:学优 gkstk说明 本例可推广为一个一般的形式：(a-b)(a n-1+an-2b+abn-2+bn-1)=an-bn例 4 计算(1)(a-b+c-d)(c-a-d-b)； (2)(x+2y)(x-2y)(x 4-8x2y2+16y4)例 5 设 x，y，z 为实数，且 (y-z) 2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(x+z-2y)2+(x+y-2z)2，求 的值。)1()1(22来源:学
4、优说明 本例中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，请仔细琢磨，灵活运用公式，会给解题带来益处我们把形如anxn+an-1xn-1+a1x+a0(n 为非负整数)的代数式称为关于 x 的一元多项式，常用 f(x)，g(x) ，表示一元多项式多项式的除法比较复杂，为简单起见，我们只研究一元多项式的除法像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整除、商式、余式的概念一般地，一个一元多项式 f(x)除以另一个一元多项式 g(x)时，总存在一个商式 q(x)与一个余式 r(x)，使得 f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立，其中 r(x)的次数小于 g(x)的次数特别地，当 r(x)=0 时，称
5、f(x)能被 g(x)整除例 6 设 g(x)=3x2-2x+1，f(x)=x 3-3x2-x-1，求用 g(x)去除 f(x)所得的商 q(x)及余式 r(x)来源:学优 gkstk例 7 试确定 a 和 b，使 x4+ax2-bx+2 能被 x2+3x+2 整除来源:学优练习十1计算：(1)(a- 2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c)2； (2)(x+y) 4(x-y)4； (3)(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-ac-bc)2化简：(1)(2x-y+z-2c+m)( m+y-2x-2c-z)； (2)(a+3b)(a2-3ab+9b2)-(a-3b)(a2+3ab+9b2)(3)(x+y)2(y+z-x)(z+x-y)+(x-y)2(x+y+z)(x+y-z)3已知 z2=x2+y2，化简 (x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z)来源:gkstk.Com4设 f(x)=2x3+3x2-x+2，求 f(x)除以 x2-2x+3 所得的商式和余式
