1、第五讲 抽屉原则（二）,一用数组构造抽屉 例1在1、4、7、10、100中任取20个不同的数组成一组，证明这样的任意一组数中必有不同的两对数，其和都是104.,证明：把所给的数分成如下18个不相交的数组：4、100、7、97、10、94、49、55、1、52。,把每一组数看作是一个“抽屉”，当任意取出20 个整数时，若取到1和52，则剩下的18个数，一定取自前16个“抽屉”。这样至少有4个数取自某两个“抽屉”中，若1和52没有全被取出，则有多于18个数取自前16个“抽屉”中，同样至少有4个数取自某两个“抽屉”中。而前16个“抽屉”中的任一“抽屉”的两个数之和为104。,说明：题目中没有现成的东
2、西可看作“抽屉”。我们把和为104的两个数组成的数组看作“抽屉”。这种根据问题的要求构造“抽屉”的方法少经常要用到的。还应注意，本题中“抽屉”的容量是有限的，解题时要根据所给的条件进行具体的分析。,例2夏令营组织2017名营员去游览故宫、景山公园和北海公园，规定每人必须去一处，最多去两处游览，那么至少有多少人游览的地方完全相同？,解：首先要弄清楚一共有多少种不同的游览情况，并把它们表示出来。为此，设某人游览某处记作“1”，没有去某处记作“0”。并用有序数组a，b，c表示某人游览的情况。,a=1表示去了故宫，a=0表示没有去故宫；b=1表示去了景山，b=0表示没有去景山；c=1表示去了北海，c=
3、0表示没有去北海。例如1，1，0表示某人去了故宫个景山，而没有去北海。由于每人必须去一处，且最多去两处，所以又来的不同的情况共有6种可能：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1，0，0，0，1，0，0，0，1。这样我们就可以把这六种情况看作是六个“抽屉”，由于20172016=6336+1，根据抽屉原则二，至少有337人游览的地方相同。,例3把1、2、3、10这10个自然数按任意顺序排成一圈，求证：在这一圈数中一定有相邻的三个数之和大于17.,证明：无论依怎样的顺序，把1、2、3、10这10个自然数摆成一圈，总能先找到1的位置，然后按逆时针方向，把其他的数依次表示为a2，a3，a4, , a1
4、0。,对任意一种摆法，都把以上九个数分成三组(a2，a3，a4)；(a5，a6，a7)；(a8，a9，a10)。把这三组数看作是三个“抽屉”，又根据加法的交换律、结合律，可以得到下面的等式：(a2+a3+a4)+(a5+a6+a7)+(a8+a9+a10)=2+3+4+10=54.而5451=173。根据抽屉原则二，一定有一个抽屉中的三个数之和大于17，它们恰好是位置相邻的三个数。,二用剖分图形构造“抽屉” 例4已知在边长为1的等边三角形内（包括边界），任意点了五个点，求证：至少有两个点之间的距离不大于二分之一。,证明：如图，等边三角形ABC的三边中点为E、F、G，这样EF、FG、GE把边长为
5、1的等边三角形ABC分成了4个边长为二分之一的等边三角形。,如果规定EF、FG、GE上的点属于EFG， 那么ABC内的点被划分为四个不相交的区域。把每个区域看作是一个“抽屉”，在ABC内任意画五个点，根据抽屉原则，必有两个点放入同一抽屉中。也就是一定有一个边长为二分之一的三角形，其中包含两个点。显然这两个点的距离不超过二分之一。,例5如果在一个边长为1的正方形中，任意放入九个点，则至少存在三个点，其所构成的三角形的面积不超过八分之一。,解：如图一，将边长为1的正方形分成四个面积都是四分之一的长方形G1、G2、G3、G4，,图一,在正方形内任意放入九个点，由于924，根据抽屉原则，至
6、少有一个长方形内包含三个或三个以上的点。只要证明以这三个点为顶点的三角形的面积不大于小长方形面积的一半就行了。,设一个小长方形DEFG内有三个点A、B、C（如图二），如果这三个点在一条直线上，结论显然是对的。,图二,设过A点的平行线交BC于点A，A到DE的距离为h（0h ），A点到FG的距离是 h。,如果这三个点不在一条直线上，过这三个点分别做长方形较长边的平行线。,于是ABC的面积,说明：本题构造抽屉的方法不是唯一的，例如还可以构造成四个相等的小正方形。但要注意，如果用两条对角线把正方形分成四个全等的小三角形是不行的。所以恰当的构造“抽屉”是解题的关键。,三用着色的方
7、法构造“抽屉”,例6证明在任何六个人的聚会上，总有三个人互相认识，或者总有三个人互相不认识。,解：为了表示六个人之间相互认识或不认识的关系，我们用空间的六个点代表六个人。如果两个人相互认识，那么连接表示这两个人的点的线段染成红色，如果两个人不认识，那么相应的线段就染成蓝色。这样六个人聚会的问题，就可以换一个说法：,空间有六个点A、B、C、D、E、F，其中没有三点共线，如果把每两个点间的线段染上红色或蓝色，不管如何染法，总有一个三边是同一颜色的三角形。,考察从某一点（如点A）出发的五条线段开始，由于它们不是红色就是蓝色。把每种颜色看作是一个“抽屉”，根据抽屉原则，其中至少 &nbs
8、p; 有三条线段染了相同的颜色， 不妨设为红色。,假定点A与B、C、D三点的连线AB、AC、AD为红色，再用虚线连接BC、CD、CB，在这三条线段中用红、蓝两种颜色染色，如果它们都是蓝色，问题已经解决；,如果其中至少有一条是红色，不妨设BC为红色，则三角形ABC的三边都是红色。所以问题得到解决。,四用剩余数构造“抽屉”,例7一些孩子在沙滩上玩耍，他们把石头堆成许多堆，其中有一个孩子发现，从石头堆中任意选出五堆，其中至
9、少有两堆石子数之差是4的倍数，你说他的结论对吗？为什么？,提示：一个自然数被4除，所得的余数只有0、1、2、3四种。利用它们来做“抽屉”。,解：我们把五堆石子数看作是五个自然数，它们被4除，其余数不外乎是0、1、2、3四种可能。如果把每一种余数看作是一个“抽屉”，把五个数放入抽屉，根据抽屉原则，其中有一个抽屉中至少有两个数，这两个数被4除的余数相同。也就是说这两堆石子数之差是4的倍数。,例8任意给定一个正整数n，一定可以将它乘以适当的整数，使得乘积为完全由0和7组成的数。,分析：先试几个具体的正整数。当n=2时，235=70；当n=3时，3259=777；当n=4时，41925=7700；当n
10、=5时，514=70。这种试验使得我们对此结论更确信了。,把它们分别记作a1，a2，an，an+1，如果将这(n+1)个数中的每一个数ai除以n， 则余数只可能是0、1、2、(n1)中的某一个。由此可以作出n个“抽屉”：,第一个抽屉是余数为0的；第二个抽屉是余数为1的；第n个抽屉是余数为(n1)的；,把a1，a2，an，an+1这(n+1)个数按照被n除后余数不同的情况分到各个“抽屉”中，根据抽屉原则，必有一个抽屉中含有两个余数相同的数。,不妨设为ap= ，aq= (设pq)，,于是ap
11、aq能被n整除，且具有 的形式。,这就是说n乘以适当的数之后得到形式为 的数，即由7和0组成的数。,反过来我们试验一下n=6的情况：首先把7、77、777、7777、77777、777777、7777777这七个数除以6。76=11； 776=125； 7776=1293；77776=12961。我们已经找到了两个被6除余数为1的数是 7和7777.77777=7770，而77706=1295，即61295=7770.,练 习 题,1某商店有126箱苹果，每箱至少120个，至多有144个，现将苹果个数相同的箱子放作一组，如果其中箱子
12、数最多的一组有n个箱子，那么n的最小值是 。,解：从120到144，共有144120+1=25个数，以这25个数作为“抽屉”，125=525+1，所以必定有一个“抽屉”中至少有6个箱子。n的最小值为6.,6,2在边长为1的等边三角形中取10个点，其中必有两个点它们之间的距离不超过三分之一。,解：如图把三角形的每边找到它们的三等分点，连接成9个小等边三角形，每个小三角形的边长都是三分之一。用这九个小三角形作成9个“抽屉”，把10个点放入抽屉中，一定有一个抽屉中至少 &nbs
13、p; 有两个点，这两个点之间 的距离不超过三分之一。,3任给5个自然数，证明一定能从中选出3个数，使得这3个数的和能被3整除。,解：自然数被3除的余数是0、1或2，用这三个余数作“抽屉”，把五个数放入三个抽屉中。若每个抽屉中都有数字，则从三个抽屉中各取一个数，这三个数的和能被3整除；,如果有一个抽屉中没有数字，即将这5个数放入到另外两个抽屉中，根据抽屉原则，一定有一个抽屉中至少有3个数，这3个数的和能被3整除。综上所述，在这5个数
14、中一定可以找到3个数，使得3个数的和能被3整除。,4全班有30个同学，每人都有图书，全班现在共有450本图书，证明至少有两个人有相同数量的图书。,解：全班30个同学中，如果每人所有的图书本数都不相同，则最少有1+2+3+30=465(本)书。现在只有450本书，说明至少有两个人，他们有的图书本数相同。,5在半径为1的圆内，任意画13个点，则一定有3个点，由他们所构成的三角形的面积小于 。为什么？,解：如图把圆分成6等份，,用这六小块作成六个“抽屉”，13=26+1，所以根据抽屉原则，一定有一个“抽屉”中至少有三个点，由这三个点组成的三角形的面积小于圆的面积的六分之一，,即 &nb
15、sp; .,6黑色、白色、黄色、红色的筷子分别有1根、3根、5根和7根，混杂在一起，黑暗中要从这些筷子中取出不同颜色的两双筷子（每双筷子的颜色相同）。至少要取出多少根才能保证达到要求。,解：按极端情况考虑，如果黑色、白色、黄色、红色的筷子各取出1根，然后又连续取出的都是红色的筷子，把红色筷子取完，这时已经取出10根筷子，,可是只有红色的筷子可以成双。如果再取出1根筷子，不论是什么颜色的筷子，都可以保证有不同颜色的两双筷子。所以至少要取出11根筷子。,7如图是一个3行7列的21个小方格的长方形，每个小方格用红、黄两种颜色涂色。证明：不论怎样涂色一定能找到一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小
16、方格具有相同的颜色。,解：用红、黄两种颜色作“抽屉”，先给第一行染色，即第一行共有7个小方块，7=32+1，根据抽屉原则，一定有一种颜色的小方格至少有四个。不妨设第一行中有4个小方格是红色的。,对这四个小方格的下方对应的第二行的四个小方格染色，如果其中有两个方格染成红色，那么问题已经解决。,如果最多只有一个小方格染成红色，也就是说至少有三个小方格染成黄色，,对于这三个黄色方格下方在第三行中对应的小方格，用两种颜色染色，根据抽屉原则，一定有一种颜色的小方格至少有2个，如果是2个黄色的小方格，则问题解决。,如果有2个红色的小方格，则与第一行对应，也能构成一个长方形，使得四个角都是红色的方格。,综上所述，不论怎样涂色一定能找到一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格具有相同的颜色。,8从整数1、2、3、200中，任取101个数。证明在这101个数中，一定有两个数，其中一个能被另一个数整除。,解：把200个数分成下列100个数组：1、2、4、127；3、6、9、326；5、10、15、525；99、992；,101；103；199。,把每个数组看成一个“抽屉”，把101个数放入这100个抽屉中，根据抽屉原则，一定有一个抽屉中至少有2个数，这两个数一定是大数能被小数整除。,下 课 了 ！,
