1、2013 中考数学压轴题函数面积问题精选解析(一)例 1 如图 1，直线 l 经过点 A(1，0)，且与双曲线 myx(x0)交于点 B(2，1)过点(,)Pp(p1)作 x 轴的平行线分别交曲线 (x 0)和 (x0)于 M、 N 两点（1）求 m 的值及直线 l 的解析式；（2）若点 P 在直线 y2 上，求证： PMB PNA；（3）是否存在实数 p，使得 S AMN4 S AMP？若存在，请求出所有满足条件的 p 的值；若不存在，请说明理由图 1解析（1）因为点 B(2，1)在双曲线 myx上，所以 m2设直线 l 的解析式为 ykxb，代入点 A(1，0)和点 B(2，1)，得 0,
2、21.kb 解得 1,.kb 所以直线 l 的解析式为yx（2）由点 (,1)Pp(p1)的坐标可知，点 P 在直线 yx上 x 轴的上方如图2，当 y2 时，点 P 的坐标为(3，2)此时点 M 的坐标为(1，2)，点 N 的坐标为(1，2)由 P(3，2)、 M(1，2)、 B(2，1)三点的位置关系，可知 PMB 为等腰直角三角形由 P(3，2)、 N(1，2)、 A(1，0)三点的位置关系，可知 PNA 为等腰直角三角形所以 PMB PNA图 2 图 3 图 4（3） AMN 和 AMP 是两个同高的三角形，底边 MN 和 MP 在同一条直线上当 S AMN4 S AMP时， MN4
3、MP如图 3，当 M 在 NP 上时， xM xN4( xP xM)因此 22()4(1)x解得 12x或 1x（此时点 P 在 x 轴下方，舍去） 此时 3p如图 4，当 M 在 NP 的延长线上时， xM xN4( xM xP)因此()()xx解得 52或 1（此时点 P 在 x 轴下方，舍去）此时 152p考点伸展在本题情景下， AMN 能否成为直角三角形？情形一，如图 5， AMN90，此时点 M 的坐标为（1，2），点 P 的坐标为（3，2）情形二，如图 6， MAN90，此时斜边 MN 上的中线等于斜边的一半不存在 ANM90的情况图 5 图 6例 2 如图 1，在平面直角坐标系
4、xOy 中，直角梯形 OABC 的顶点 O 为坐标原点，顶点 A、 C分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， CB OA， OC4， BC3， OA5，点 D 在边 OC 上， CD3，过点 D 作 DB 的垂线 DE，交 x 轴于点 E （1）求点 E 的坐标；（2）二次函数 y x2 bx c 的图像经过点 B 和点 E求二次函数的解析式和它的对称轴；如果点 M 在它的对称轴上且位于 x 轴上方，满足 S CEM2 S ABM，求点 M 的坐标图 1解析（1）因为 BC OA，所以 BC CD因为 CD CB3，所以 BCD 是等腰直角三角形因此 BCD45又因为 BC CD，所以 ODE4
5、5所以 ODE 是等腰直角三角形，OE OD1所以点 E 的坐标是（1，0）（2）因为抛物线 y x2 bx c 经过点 B（3，4）和点 E（ 1，0），所以934,10.bc解得 6,5.b所以二次函数的解析式为 y x26 x5，抛物线的对称轴为直线 x3如图 2，如图 3，设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 F，点 M 的坐标为（3， t）CEMMEFCOOFCSS梯 形11(4)42ttt（）如图 2，当点 M 位于线段 BF 上时， ttSABM42)(1解方程)(2tt，得 58此时点 M 的坐标为（3， 58）（）如图 3，当点 M 位于线段 FB 延长线上时， )(2ttABM解方程 )4(tt，得 8t此时点 M 的坐标为（3，8 ）图 2 图 3考点伸展对于图 2，还有几个典型结论：此时， C、 M、 A 三点在同一条直线上； CEM 的周长最小可以求得直线 AC 的解析式为 45yx，当 x3 时， 85y因此点 M（3， 58）在直线 AC 上因为点 A、 E 关于抛物线的对称轴对称，所以 ME MC MA MC当 A、 M、 C 三点共线时， ME MC 最小， CEM 的周长最小
