1、中考数学专题复习七 动态几何变化问题动态几何题已成为中考试题的一大热点题型。在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力。解决动态几何题的策略是：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置；在“动”中求“静” ，在“静”中探求“动”的一般规律。通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质。下面就动点型、动线型、动面型等几何题作一简要分析。一. 动点型1. 单动点型例 1. 如图 1，在矩形 ABCD 中，AD=12，AB=5， P
2、是 AD 边上任意一点，PE BD，PFAC ，E，F 分别是垂足，求 PE+PF 的长。分析与略解：P 是 AD 边上任意一点，不妨考虑特殊点的情况，即在 “动”中求“静” 。当 P 点在 D（或 A）处时，过 D 作 DGAC，垂足为 G，则 PE=0，PF=DG， 故 PE+PF=DG，在 Rt ADC 中， 由面积公式有：1352C2，1360ACDG再有“静”寻求“动”的一般规律，得到 PE+PF=DG= 。1360图 12. 双动点型例 2. （2003 年吉林省）如图 2，在矩形 ABCD 中，AB=10cm，BC=8cm，点 P 从 A出发，沿 AB CD 路线运动，到 D 点
3、停止；点 Q 从 D 点出发，沿 DCBA 路线运动，到 A 停止。若点 P、 Q 同时出发，点 P 的速度为每秒 1cm，点 Q 的速度为每秒 2cm， a 秒时点 P、点 Q 同时改变速度，点 P 的速度变为每秒 bcm，点 Q 的速度为每秒 dcm。图 3 是点 P 出发 x 秒后APD 的面积 与 x（秒）的函数关系图象，)cm(S21图 4 是点 Q 出发 x 秒后AQD 的面积 与 x（秒）的函数关系图象。)(2图 2 图 3 图 4（1 ）参照图 3，求 a、b 及图 3 中 c 的值。（2 ）求 d 的值。（3 ）设点 P 离开点 A 的路程为 ，点 Q 到点 A 还需走的路程
4、为 ，)cm(y1 )cm(y2请分别写出动点 P、Q 改变速度后， 、 与出发后的运动时间 x（秒）的函数关系2式。并求出 P、 Q 相遇时 x 的值。（4 ）当点 Q 出发_秒时，点 P、点 Q 在运动路线上相距的路程为 25cm。分析与略解：解决此类问题的关键是应注意图形位置变化及动点运动的时间和速度，用分类讨论的思想来求解。（1 ）观察图 3， 248a12ADP1SAD所以 （秒） ，6a（厘米/秒） ，280b（秒） 。17)(c（2 ）依题意， 28d62解得 （厘米/秒）1d（3 ） 6x2)(6y依题意， 所以 （秒）1282 x26328（4 ） 1 和 19。二. 动线型
5、1. 线平移型例 3. （2004 年河南省）如图 5，边长为 2 的正方形 ABCD 中，顶点 A 的坐标是（0 ， 2） ，一次函数 y=x+t 的图象 L 随 t 的不同取值变化时，位于 L 的右下方由 L 和正方形的边围成的图形面积为 S（阴影部分） 。（1 ）当 t 取何值时， S=3？（2 ）在平面直角坐标系下，画出 S 与 t 的函数图象。图 5分析与略解：本题应抓住直线在平移过程中保持的位置关系和数量关系。（1 ）设 L 与正方形的边 AD、CD 相交于 M、N，易证 Rt DMN 是等腰三角形。只有当 时，DMN 的面积是 1，求得 。2MD 24t所以 时，S=3。4t（2
6、 ）当 时， ；2t02t1S当 时， ；4t 4)t(2当 时，S=4。图象略。2. 线旋转型例 4. （2004 年海口市）在ABC 中，ACB=90，AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 ADMN 于 D，BEMN 于 E。（1 ）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 6 的位置时，求证：ADCCEB；DE=AD+BE 。图 6（2 ）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 7 的位置时，求证：DE= 。BEAD图 7（3 ）直线 MN 绕点 C 旋转到图 8 的位置时，试问 DE、AD、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。图 8简析：本题在直线 MN 的旋转过程中，保持了
7、ADCCEB 这一性质。三. 动面型1. 面平移型例 5（2001 年吉林省）如图 9，有一边长为 5cm 的正方形 ABCD 和等腰PQR，PQ=PR=5cm ，QR=8cm ，点 B、C、Q、R 在同一条直线 L 上，当 C、Q 两点重合时，等腰PQR 以 1cm/s 的速度沿直线 L 按箭头所示方向开始匀速运动，t s 后正方形ABCD 与等腰 PQR 重合部分的面积为 。解答下列问题：2Scm（1 ）当 t=3s 时，求 S 的值；（2 ）当 t=5s 时，求 S 的值；（3 ）当 时，求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值。s8t5简析：此题是一个图形的运动问题，解答的方
8、法是将各个时刻的图形分别画出来，则图形由“动”变“静” ，再设法分别求解。这种分类画图的方法在解动态几何题中非常有效，它可帮助我们理清思路，各个击破。图 92. 旋转型例 6. 如图 10，正ABC 的中心 O 恰好是扇形 ODE 的圆心，且点 B 在扇形内，要使扇形 ODE 绕点 O 无论怎样转动，ABC 与扇形重叠部分的面积总等于ABC 的面积的 ，扇形的圆心角应为多少度？说明理由。31分析：本题属于动面型问题，先找到一种特殊情况，即重叠部分为OBC 时，且此时BOC=120，因此本题实际是扇形 ODE 由扇形 BOC 旋转ABCOS得到的，FOG= BOC=120，可证BOF COG，所以，故扇形的圆心角为 120。OGFG四 边 形图 10四. 翻折型折叠类问题实际上是对称问题，解此类题目，应抓住翻折后的对称性及一些隐含的位置关系和数量关系。例 7. 如图 11，一张长方形纸片 ABCD，其长 AD 为 a，宽 AB 为 b（ab） ，在 BC边上选取一点 M，将ABM 沿 AM 翻折后 B 至 的位置，若 为长方形纸片 ABCDB的对称中心，则 的值是_ 。ba析解：连结 BD。因为点 为长方形纸片 ABCD 的对称中心，B所以点 一定在 BD 上， 图 11 BA由翻折图形的性质可知 M 所以 A所以 是等边三角形B所以 360tantab
