1、选修 22 全册质量评估检测时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数 2( )(3 i1 i)A34i B34iC34i D34i解析： 2 34i.(3 i1 i) 8 6i2i答案：A2函数 y(sinx 2)3 的导数是( )Ay3xsinx 2sin2x2By 3(sin x2)2Cy 3(sin x2)2cosx2Dy6sin x2cosx2解析：y(sinx 2)33(sinx 2)2(sinx2)3(sinx 2)2cosx22x3 2sinx2cosx2xsinx
2、23xsinx 2sin2x2，故选 A.答案：A3设函数 f(x)的导函数为 f(x)，且 f(x)x 22xf(1)则 f(0)等于( )A0 B4C2 D2解析：因为 f(x)x 22x f(1)，所以 f( x)2x2f (1)，f(0)2f(1)因为 f(1)22f(1)，所以 f(1) 2，故 f(0)4.答案：B4下面几种推理中是演绎推理的为( )A由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B猜想数列 ， ， ，的通项公式为 an (nN )112 123 134 1nn 1C半径为 r 的圆的面积 S r2，则单位圆的面积 SD由平面直角坐标系中圆的方程为 (xa) 2(yb)
3、 2r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为( x a)2(y b) 2(zc )2r 2答案：C5观察下列等式，1 32 33 2,132 33 36 2,132 33 34 310 2，根据上述规律，132 33 34 35 36 3( )A19 2 B20 2C21 2 D22 2解析：归纳得 132 33 34 35 36 3 221 2.(1 2 6)答案：C6已知函数 f(x)asin2x sin3x(a 为常数) 在 x 处取得极值，则 a 等于( )13 3A0 B1C. D12 12解析：因为 f(x )2acos2xcos3 x，所以 f 2acos cosa10，得 a1.
4、(3) 23答案：B7若 f(x) ，0abe，则有( )lnxxAf(a)f(b) Bf(a)f(b)Cf(a)f( b) Df(a)f( b)1解析：f(x) ，在(0，e)上，f(x)0，1 lnxx2f(x)在(0，e)上为增函数f(a)f(b) 答案：C8函数 f(x)ax 3bx 2cxd 的图象如图，则函数 yax 2 bx 的单调递增区间是( )32 c3A(，2 B.12， )C2,3 D.98， )解析：由题图可知 d0.不妨取 a1，f(x)x 3bx 2cx，f(x )3x 22bx c .由图可知 f(2)0，f(3)0，124bc0,276bc 0，b1.5，c18
5、.yx 2 x 6，y2x .94 94当 x 时，y0，98yx 2 x 6 的单调递增区间为 .故选 D.94 98， )答案：D9已知函数 f(x)x 3px 2 qx 的图象与 x 轴相切于点(1,0)，则 f(x)的( )A极大值为 ，极小值为 0427B极大值为 0，极小值为427C极小值为 ，极大值为 0527D极小值为 0，极大值为527解析：由题设条件知Error!所以Error!所以Error!所以 f(x)x 32x 2x ，进而可求得 f(1)是极小值，f 是极大值(13)答案：A10设函数 f(x) x3 x2tan ，其中 ，则导数 f(1)的取值范围是( )sin
6、3 3cos2 0，512A2,2 B ， 2 3C ，2 D ，23 2解析：f(x)sinx 2 cosx，f (1)sin cos2sin ，3 3 ( 3) ， .0，512 3 3，34sin .( 3) 22，12sin ，2 ( 3) 2答案：D11设 m exdx，n dx，则 m 与 n 的大小关系为( )10e11xAmn B mnCmn Dmn解析：m exdxe x e1n dxlnx 1.10 |10e11x |e1答案：C12已知函数 yf(x)x 3px 2qx 的图象与 x 轴切于非原点的一点，且 y 极小 4，那么 p，q 的值分别为( )Ap3，q8 Bp6
7、，q8Cp6，q9 Dp4，q9解析：令切点为(a,0)，则 f(x)x(x 2pxq)0 有一个实根 0 和两个相等实根 a，且a0，所以 x2 pxq(x a) 2，所以 f(x)x(xa) 2.f(x) (xa)(3xa)令 f(x) 0，得 xa 或 x .a3因为 xa 时，f(a) 04，所以 f y 极小 4，即 a34，a3.(a3) 427所以 x2pxq(x3) 2，所以 p6，q9.答案：C第卷( 非选择题，共 70 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13设 f(z) ，且 z115i ，z 232i，则 f( )的值是_z z1 z2解析：
8、z z (15i)(32i)43i，1 43i.z1 z2f(z) ，f(43i) 43i .z 4 3i答案：43i14设函数 yax 2bxk(k0) 在 x0 处取得极值，且曲线 yf(x) 在点(1 ，f(1) 处的切线垂直于直线 x2y10，则 ab 的值为_解析：函数 yax 2bxk(k0) 在 x0 处取得极值，得 x0 是导函数 2axb0 的解，则 b0，曲线 yf(x)在点(1，f(1) 处的切线垂直于直线 x2y10，得 2ab2，所以a1，ab1.答案：115由曲线 y(x2) 21，横坐标轴及直线 x3，x5 围成的图形的面积等于_解析：S (x2) 21dx53
9、(x2 4x5)dx53 .(x33 2x2 5x)|53 323答案：32316若函数 f(x)x 3x 2mx1 是 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是_解析：f(x) 3x 22x m 要使 f(x)是 R 上的单调函数，须使 412 m0，m .13答案：m13三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分 10 分)设函数 f(x) x3x 2( m21) x(xR)，其中 m0.13(1)当 m1 时，求曲线 yf(x) 在点(1，f (1)处的切线的斜率；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值解析：(1)当 m1 时，
10、f(x ) x3x 2，13f(x)x 22x ，故 f(1) 1.所以曲线 yf(x )在点(1 ，f(1)处的切线的斜率为 1.(2)f(x) x 22xm 21.令 f(x )0，解得 x1m 或 x1m.因为 m0，所以 1m1m.当 x 变化时，f( x)，f( x)的变化情况如下表：x ( ，1m) 1m (1m, 1m ) 1m (1m，)f(x ) 0 0 f(x) 极小值 极大值 所以 f(x)在(，1m)，(1m，) 内是减函数，在(1 m,1m)内是增函数函数 f(x)在 x1m 处取得极小值 f(1m)，且 f(1m) m3m 2 .23 13函数 f(x)在 x1m
11、处取得极大值 f(1m)，且f(1m) m3 m2 .23 1318(本小题满分 12 分)在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是一个平行四边形，(2 ，1，4)， (4,2,0)， (1,2，1) AB AD AP (1)求证：PA底面 ABCD；(2)求四棱锥 PABCD 的体积；(3)对于向量 a(x 1，y 1，z 1)，b(x 2，y 2，z 2)，c(x 3，y 3，z 3)，定义一种运算：(ab)cx 1y2z3x 2y3z1x 3y1z2x 1y3z2x 2y1z3x 3y2z1.试计算( ) 的绝对值的值；说明其与四棱锥 PABCD 体积的关系，并由此猜AB AD AP
12、 想向量这一运算( ) 的绝对值的几何意义AB AD AP 解析：(1) 2240，APAB.AP AB 又 4400，AP AD APAD .AB、AD 是底面 ABCD 上的两条相交直线，AP底面 ABCD.(2)设 与 的夹角为 ，则AB AD cos .AB AD |AB |AD | 8 24 1 16 16 4 3105V | | |sin| |13AB AD AP 16.23105 1 9105 1 4 1(3)|( ) | 43248|48，它是四棱锥 PABCD 体积的 3 倍AB AD AP 猜测：|( ) |在几何上可表示以 AB、AD、AP 为棱的平行六面体的体积(或以A
13、B AD AP AB、 AD、AP 为棱的直四棱柱的体积)19. (本小题满分 12 分) 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米 /时)的函数解析式可以表示为 y x3 x8(0x120) 已知甲、1128 000 380乙两地相距 100 千米(1)当汽车以 40 千米/ 时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解析：(1)当 x40 时，汽车从甲地到乙地行驶了 2.5 小时，要耗油10040( 1128 000403 38040 8)2.517.5(升)即当汽车以 4
14、0 千米/ 时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油 17.5升(2)当速度为 x 千米/时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，设耗油量为 h(x)升，依题意100x得：h(x) x2 (0x120)，(1128 000x3 380x 8)100x 11 280 800x 154h(x) (0x 120) x640 800x2 x3 803640x2令 h(x) 0，得 x80.当 x(0,80)时，h(x)0，h(x)是减函数；当 x(80,120)时，h(x)0，h(x)是增函数当 x80 时，h( x)取到极小值 h(80)11.25.h(x)在(0,120上只有一个极值，它是最小值即当汽车以
15、80 千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升20(本小题满分 12 分)已知 abc，求证： .1a b 1b c 4a c证明：已知 abc，因为 2 22 4，a ca b a cb c a b b ca b a b b cb c b ca b a bb c b ca ba bb c所以 4，即 .a ca b a cb c 1a b 1b c 4a c21(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)ln(x 21)，g(x) a.1x2 1(1)若 f(x)的一个极值点到直线 l：2 xya50 的距离为 1，求 a 的值；2(2)求方程 f(x) g(x)
16、的根的个数解析：(1)由 f( x) 0，得 x0，2xx2 1故 f(x)仅有一个极小值点 M(0,0)，根据题意得：d 1.|5 a|3a2 或 a8.(2)令 h(x)f(x)g( x)ln(x 2 1) a，1x2 1h(x) 2xx2 1 2xx2 122x .1x2 1 1x2 12当 x(0,1)(1，)时，h(x)0，当 x( ，1)(1,0)时， h( x)0.因此，h(x) 在(，1)，( 1,0)上时，h( x)单调递减，在(0,1)，(1 ， )上时，h(x) 单调递增又 h(x)为偶函数，当 x( 1,1)时，h(x) 的极小值为 h(0) 1a.当 x1 时，h(
17、x)，当 x1 时，h(x) ，当 x时，h( x)，当 x时，h(x) .故 f(x)g(x) 的根的情况为：当 1a0 时，即 a1 时，原方程有 2 个根；当 1a0 时，即 a1 时，原方程有 3 个根当 1a1 时，原方程有 4 个根22(本小题满分 12 分)已知数列a n的前 n 项和 Sn满足：S n 1，且an2 1anan0，nN .(1)求 a1，a 2，a 3；(2)猜想a n的通项公式，并用数学归纳法证明解析：(1)a 1S 1 1，a12 1a1所以 a11 .3又因为 an0，所以 a1 1.3S2a 1a 2 1，所以 a2 .a22 1a2 5 3S3a 1a 2a 3 1，a32 1a3所以 a3 .7 5(2)由(1)猜想 an ，nN .2n 1 2n 1下面用数学归纳法加以证明：当 n1 时，由(1)知 a1 1 成立3假设 nk(kN )时，a k 成立2k 1 2k 1当 nk1 时，a k1 S k1 S k (ak 12 1ak 1 1) (ak2 1ak 1) ，ak 12 1ak 1 2k 1所以 a 2 ak1 20，2k 1 2k 1所以 ak 1 ，2k 1 1 2k 1 1即当 nk1 时猜想也综上可知，猜想对一切 nN 都成立
