1、3.3.2 简单的线性规划问题 (一)自主学习知识梳理线性规划中的基本概念名称 意义约束条件 由变量 x，y 组成的_线性约束条件 由 x，y 的_ 不等式(或方程)组成的不等式组目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量 x，y 的函数解析式线性目标函数 关于 x，y 的_解析式可行解 满足_ 的解(x，y)可行域 所有_组成的集合最优解 使目标函数取得_的可行解线性规划问题 在_条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题自主探究在线性目标函数 zAx By (B0)中，目标函数 z 的最值与截距之间有怎样的对应关系？请完成下面的填空1线性目标函数 zAx By (B0) 对应的斜截式直线方程是
2、_，在y 轴上的截距是_，当 z 变化时，方程表示一组_的直线2当 B0 时，截距最大时，z 取得_值，截距最小时， z 取得_值；当 B0，a1)的图象过区域 M 的 a 的取值范围是( )A(1,3 B2 ， 10C2,9 D ，910总结 准确作出可行域，熟知指数函数 ya x 的图象特征是解决本题的关键变式训练 3 若不等式组Error!表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是_1用图解法求线性目标函数的最值时，要搞清楚 z 的含义，z 总是与直线在 y 轴上的截距有关2作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函
3、数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解3在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题. 课时作业一、选择题1已知点 P(x，y)的坐标满足条件 Error!则 x2y 2 的最大值为( )A. B8 C16 D10102若变量 x，y 满足Error!则 z3x2y 的最大值是( )A90 B80 C70 D403在坐标平面上有两个区域 M 和 N，其中区域 MError!，区域 N(x ，y)|tx t 1,0 t1，区域 M 和 N 公共部分的面积用函数 f(t)表示，则 f(t)的表达式为( )At 2t B2t 22t12C
4、1 t2 D. (t2) 212 124若实数 x，y 满足Error!则 的取值范围是( )yx 1A(1,1)B(，1)(1，)C(，1)D1，)题 号 1 2 3 4答 案二、填空题5设变量 x，y 满足约束条件Error!则 zx3y 的最小值为_6已知Error!且 ux 2y 24x4y8，则 u 的最小值为_三、解答题7已知 1xy5，1xy3，求 2x3y 的取值范围8求不等式组Error!表示的平面区域的面积33.2 简单的线性规划问题 (一)知识梳理不等式或方程 一次 一次 线性约束条件 可行解 最大值或最小值 线性约束自主探究1y x 互相平行AB zB zB2最大 最小
5、 最小 最大对点讲练例 1 解 如图作出线性约束条件Error!下的可行域，包含边界：其中三条直线中 x3y12 与 3xy12 交于点 A(3,3)，xy10 与 x3y12 交于点 B(9,1)，xy10 与 3xy12 交于点 C(1,9)，作一组与直线 2xy0 平行的直线 l：2xyz即 y2xz，然后平行移动直线 l，直线 l 在 y 轴上的截距为 z，当 l 经过点 B 时，z 取最小值，此时 z 最大，即 zmax29117；当 l 经过点 C 时，z 取最大值，此时 z 最小，即 zmin219 7.z max17，z min7.变式训练 1 B 作出可行域如图所示：由图可知
6、，z2x3y 经过点 A(2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为 7.例 2 解 由题意知，作出线性约束条件下的可行域如图所示，且可求得 A(2,3)，B(0,2)， C(1,0)由于 z ，所以 z 的几何意义是点(x ，y)与点 M(1，1)y 1x 1 y 1x 1连线的斜率，因此 的最值就是点(x，y) 与点 M(1，1)连线的斜率的最值，y 1x 1结合图可知，直线 MB 的斜率最大，直线 MC 的斜率最小，即 zmaxk MB3，此时x0，y2；zmink MC ，此时 x1，y 0.12变式训练 2 5,25解析 作出不等式组Error!的可行域如图所示，由Error! ，得
7、A(1,3)，由Error! ，得 B(3,4)，由Error! ，得 C(2,1)，设 zx 2y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点 B的距离最大，注意到 OCAC ，原点到点 C 的距离最小故 zmax| |225，z min| |25.OB OC 例 3 C 作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得 A(1,9)，C(3,8)当 ya x 过 A(1,9)时，a 取最大值，此时 a9；当 ya x 过 C(3,8)时，a 取最小值，此时 a2，2a9.变式训练 3 0 时，表示区域是AOB；43当 xya 过 B(1,0)时表示的区域是DOB，此时 a
8、1；当 01 或 1.yx 1 yx 158解析 作出可行域如图所示可知当 x3yz 经过点 A(2，2)时，z 有最小值，此时 z 的最小值为2328.6.92解析 点(x，y)在图中阴影部分，由已知得(x2) 2(y 2) 2( )2，u则 ，u min .umin|2 2 1|1 1 32 927解 作出一元二次方程组Error!所表示的平面区域( 如图) 即可行域考虑 z2x3y，把它变形为 y x z，得到斜率为 ，且随 z 变化的一组平行直线，23 13 23 z 是直线在 y 轴上的截距，当直线截距最大且满足约束条件时目标函数 z2x3y 取得13最小值；当直线截距最小且满足约束条件时目标函数 z2x3y 取得最大值由图可知，当直线 z2x3y 经过可行域上的点 A 时，截距最大，即 z 最小解方程组Error!，得 A 的坐标为 (2,3)所以 zmin2x3y22335.当直线 z2x3y 经过可行域上的点 B 时，截距最小，即 z 最大解方程组Error!，得 B 的坐标为(2 ，1)，所以 zmax2x3y223 (1)7.2x3y 的取值范围是5,78解 不等式组Error!所表示的可行域如图所示，其可行域为两个等腰直角三角形，其底边长分别为 1 与 11，高分别为 与 ，12 112所以，可行域的面积为 1 11 .12 12 12 112 612
