1、2.5.1 平面几何中的向量方法自主学习知识梳理1向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行( 共线)的等价条件：a b(b0)_.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a b_.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式 cos _.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|_.2直线的方向向量和法向量(1)直线 ykxb 的方向向量为_，法向量为_(2)直线 AxByC0 的方向向量为_，法向量为 _自主探究在平行四边形中有下列的结论：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的 2 倍
2、请用向量法给出证明对点讲练知识点一 利用向量证明平行问题例 1 如图所示，若 ABCD 为平行四边形，EFAB，AE 与 BF 相交于点 N，DE 与 CF相交于点 M.求证：MNAD.回顾归纳 (1)本题利用平行向量基本定理证明两直线平行，解题时要注意灵活运用已知条件(2)向量法证明直线平行，恰是向量平行问题的一种存在形式它们的基线无公共点与前面例 1 比较，最大的区别在于，此处共线的两个向量没有公共端点变式训练 1 ABC 中，M、N 分别为 AB、AC 的中点求证：MNBC.知识点二 利用向量证明垂直问题例 2 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，BC2BA，ABC60，作 AEBD
3、交BC 于 E，求 的值BEEC回顾归纳 利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明变式训练 2 已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，PFCE 为矩形求证：PA EF 且 PAEF .知识点三 直线方向向量的应用例 3 在ABC 中，A(4,1) ，B (7,5)，C (4,7)，求A 的平分线的方程回顾归纳 直线 AxBy C0 的方向向量为 v( B， A)，法向量 n( A，B)这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系求两条直
4、线的夹角时非常有用变式训练 3 在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,1)和点 B(3,4)，若点 C 在AOB 的平分线上且| |2，则 _.OC OC 1利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明2在直线 l：AxBy C0(A 2B 20)上任取两点 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)，则 就P1P2 是直线 l 的一个方向向量， (R 且 0) 也是直线 l 的方向向量所
5、以，一条直线的P1P2 方向向量有无数多个，它们都共线同理，与直线 l：AxByC0 (A2B 20) 垂直的向量都叫直线 l 的法向量一条直线的法向量也有无数多个熟知以下结论，在解题时可以直接应用ykxb 的方向向量 v(1，k) ，法向量为 n(k，1)Ax ByC 0(A 2B 20) 的方向向量 v(B，A)，法向量 n( A，B). 课时作业一、选择题1在ABC 中，已知 A(4,1)、B (7,5)、C (4,7)，则 BC 边的中线 AD 的长是( )A2 B. C3 D.5525 5 7252点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足 ，则点 O 是OA OB OB OC
6、 OC OA ABC 的( )A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点3如图，非零向量 a， b 且 BCOA ，C 为垂足，若 a，则 等于( )OA OB OC A. B.ab|a|2 ab|a|b|C. D.ab|b|2 |a|b|ab4若 O 是ABC 所在平面内一点，且满足| | 2 |，则ABC 的OB OC OB OC OA 形状是( )A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形5已知点 A( ，1)，B (0,0)， C( ，0)，设BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E，那么3 3有 ，其中 等于( )BC CE
7、A2 B. C3 D12 13二、填空题6过点(1,2)且与直线 3xy10 垂直的直线的方程是_.7已知平面上三点 A、B、C 满足| |3，| |4，| |5.则 AB BC CA AB BC BC CA CA _.AB 8设平面上有四个互异的点 A、B、C 、D，已知( 2 )( )0，则DB DC DA AB AC ABC 的形状一定是_三、解答题9. 如图所示，已知四边形 ABCD 是菱形，AC 和 BD 是它的两条对角线求证：ACBD.10三角形 ABC 是等腰直角三角形，B90，D 是 BC 边的中点，BEAD，延长BE 交 AC 于 F，连结 DF.求证： ADB FDC.2.
8、5 平面向量应用举例25.1 平面几何中的向量方法答案知识梳理1(1)ab x 1y2x 2y10(2)ab0 x 1x2y 1y20(3) ab|a|b| x1x2 y1y2x21 y21 x2 y2(4) x2 y22(1)(1 ，k) ( k，1) (2)(B，A) ( A，B)自主探究证明 在平行四边形 ABCD 中， ， AC AB AD BD AD AB 2( )2 2 22 ；AC AB AD AB AD AB AD 2( )2 2 22 .BD AD AB AD AB AB AD 2 22 22 2.AC BD AB AD 即| |2 | |22(| |2| |2)AC BD
9、AB AD 平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的 2 倍对点讲练例 1 证明 EFAB ，NEFNAB，设 (1)，则 ， ( 1) ，AB EF ANEN AE EN 同理，由 ，可得 (1) ，EF CD DE EM (1) ，AD ED EA AE DE MN 1，令 1， ，AD MN.AD MN 变式训练 1 证明 设 a， b，则 ba，又 M、N 分别为AB AC BC AC AB AB、 AC 的中点 a， b.AM 12 AN 12AMN 中， b a (ba) ，MN 12 12 12 ，即 与 共线，MNBC.MN 12BC MN BC 例 2 解 方法一 (
10、基向量法 )设 a， b，|a|1，| b|2.BA BC ab|a|b |cos 601， ab.BD 设 b，则 ba.BE BC AE BE BA 由 AEBD ，得 0.AE BD 即(ba)( ab) 0.解得 ， .25 BEEC2535 23方法二 以 B 为坐标原点，直线 BC 为 x 轴建立平面直角坐标系，根据条件，设 B(0,0)，C (2,0)，A ，D .(12，32) (52，32)又设 E(m,0)，则 ，BD (52，32) .AE (m 12， 32)由 AEBD ，得 0.AE BD 即 0，52(m 12) 32 32得 m ， .45 BEEC4565 2
11、3变式训练 2 证明 以 D 为坐标原点，DC 所在直线为 x 轴，DA 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系Oxy(如图所示)，设正方形边长为 1，| |，则 A(0,1)，OP P ，E ，F ，(22，22) (1，22) ( 22，0)于是 ，PA ( 22，1 22) .EF ( 22 1， 22)| |PA ( 22)2 (1 22)2 ，2 2 1同理| | ，EF 2 2 1| | | |， PA EF.PA EF PA EF ( 22)( 22 1)0，(1 22)( 22) .PAEF .PA EF 例 3 解 (3,4)， (8,6)，AB AC A 的平分线的一个方向
12、向量为： AB |AB |AC |AC | (35，45) ( 45，35) .( 15，75)A 的平分线过点 A.所求直线方程为 (x4) (y1)0.75 15整理得：7xy290.变式训练 3 ( 105，3105 )解析 已知 A(0,1)，B(3,4)，设 E(0,5)，D( 3,9)，四边形 OBDE 为菱形AOB 的角平分线是菱形 OBDE 的对角线 OD.设 C(x1，y 1)，| |3 ，OD 10 .OC 2310OD (x 1， y1) (3,9) ，2310 ( 105，3105 )即 .OC ( 105，3105 )课时作业1B BC 中点为 D ， ，(32，6)
13、 AD ( 52，5)| | .AD 5252D .OA OB OB OC ( ) 0.OA OC OB 0.OB CA OBAC.同理 OABC，OCAB，O 为垂心3A a b.BC OC OB BCOA， ( ab) a0，BC OA 即 a2ab0. .ab|a|24B | | | | |，OB OC CB AB AC | 2 | |，OB OC OA AB AC | | |，AB AC AB AC A，B，C 是同一矩形的三个顶点，且BAC 90.ABC 是直角三角形5C如图所示，由题知ABC30 ，AEC 60，CE ， 3，33 |BC|CE| 3 .BC CE 6x3y70解析
14、 设 P(x，y) 是所求直线上任一点，直线 3xy10 的方向向量为(1，3)，由(x1 ，y2)(1，3)0 得 x3y 70.725解析 ABC 中，B90，cos A ，cos C ，35 45 0， 45 16；AB BC BC CA ( 45) 53 9.CA AB ( 35) 25.AB BC BC CA CA AB 8等腰三角形解析 ( 2 )( )DB DC DA AB AC ( )( )( )DB DA DC DA AB AC ( )( ) 2 2AB AC AB AC AB AC | |2 | |20，AB AC | | | |，AB AC ABC 是等腰三角形9证明 四
15、边形 ABCD 是菱形，| | |，AB AD 又 ， ，AC AB AD BD AD AB ( )( )AC BD AB AD AD AB | |2| |20.AD AB ，即 ACBD.AC BD 10证明 如图所示，建立直角坐标系，设 A(2,0)，C(0,2)，则 D(0,1)，于是 ( 2,1)，AD (2,2) ，AC 设 F(x，y)，由 ，BF AD 得 0，BF AD 即(x，y)(2,1)0，2xy0又 F 点在 AC 上，则 ，FC AC 而 (x,2 y)，FC 因此 2(x) (2)(2 y) 0，即 xy2.由、式解得 x ，y ，23 43F ， ， (0,1)(23，43) DF (23，13) DC ，DF DC 13又 | | |cos cos ，DF DC DF DC 53cos ，即 cosFDC ，55 55又 cosADB ，|BD |AD | 15 55cosADBcosFDC，故ADBFDC.
