1、第 16 讲 直角三角形考纲要求 命题趋势1了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定2掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题.直角三角形是中考考查的热点之一，题型多样，多以简单题和中档难度题出现，主要考查直角三角形的判定和性质的应用，以及运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力.知识梳理一、直角三角形的性质1直角三角形的两锐角_2直角三角形中，30角所对的边等于斜边的_3直角三角形斜边上的中线等于斜边的_4勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方二、直角三角形的判定1有一个角等于_的三角形是直角三角形2有两角_的三角形是直角三角形3如果三角形一边上的中线等于这边的_，则该三角
2、形是直角三角形4勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的_，那么这个三角形是直角三角形自主测试1在ABC 中，若三边 BC，CA ，AB 满足 BC:CA:AB5:12:13，则 cos B( )A B C D512 125 513 12132如图，在ABC 中，DE 是中位线，ABC 的平分线交 DE 于 F，则ABF 一定是( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等边三角形3下列各组数据分别为三角形的三边长：2,3,4；5,12,13； ， ， ；m 2n 2，m 2n 2，2mn.其中是直角三角形的有( )2 3 4A B C D考点一、直角三角形的判定【例 1】
3、如图，在ABC 中，ABAC ，BAC90，点 D 为边 BC 上的任一点，DFAB 于 F，DEAC 于 E，M 为 BC 的中点，试判断 MEF 的形状，并证明你的结论分析：连接 AM，可得 AMBM ，然后证明BFMAEM，得到FMME，EMF90.解：MEF 是等腰直角三角形连接 AM，BAC 90 ，AM 是斜边 BC 的中线，MAMBMC，MA BC.ABAC，BBAMMAE45.DFAB，DEAC，AFDAEDFAE90 ，四边形 DFAE 是矩形，FDEA.又FBFD ，FBEA，BFM AEM(SAS)，FMEM，BMFAME.AMF BMF90，EMF AMFAME90，M
4、EF 是等腰直角三角形方法总结 证明一个三角形是直角三角形的方法比较多，最简捷的方法就是求出一个角等于 90，也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定理的逆定理证得触类旁通 1 具备下列条件的ABC 中，不能成为直角三角形的是( )AAB C BA 90C12CABC DA C90考点二、直角三角形的性质【例 2】两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置，图 2 是由它抽象出的几何图形，B，C，E 在同一条直线上，连接 DC.(1)请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明( 说明：结论中不得含有未标识的字母)；(2)证明：DC BE.(1)解：图 2 中ABE A
5、CD .证明如下：ABC 与AED 均为等腰直角三角形，ABAC，AEAD，BACEAD90.BACCAEE ADCAE，即BAE CAD.又ABAC， AEAD，ABE ACD.(2)证明：由(1)ABEACD 知ACDABE45.又ACB45，BCDACBACD90，DCBE .方法总结 直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质外，还具有外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半，它的外心是斜边的中点，垂心是直角顶点等性质考点三、勾股定理及其逆定理【例 3】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC6 cm，BC8
6、 cm，现将直角边AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，求 CD 的长解：设 CD 长 为 x cm，由折叠得ACDAED.AEAC6 cm，AEDC 90，DE CDx cm.在 Rt ABC 中，AC6 cm， BC8 cm，AB 10(cm)AC2 BC2 62 82EBABAE1064 (cm)，BDBCCD(8x) cm，在 Rt DEB 中，由勾股定理得 DE2BE 2DB 2.x 24 2(8 x) 2，解得 x3.CD 的长为 3 cm.方法总结 1勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，当我们只知道直角三角形的一边时，如果可以找到另外两
7、边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边2勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边，判断三角形是否为直角三角形触类旁通 2 如图，在四边形 ABCD 中，A90 ，AB 3，AD 4 ，CD 13，CB12，求四边形 ABCD 的面积考点四、勾股定理及其逆定理的实际应用【例 4】如图所示，铁路上 A，B 两站(视为直线上两点) 相距 14 km，C ，D 为两村庄(可视为两个点)，DA AB 于 A，CBAB 于 B，已知 DA8 km，CB6 km，现要在铁路上建一个土特产品收购站 E，使 C，D 两村到 E 站的距离相等，则 E 站应建在距 A 站多少千米处？分析：因为 DAAB 于
8、A，CBAB 于 B，在 AB 上找一点可构成两个直角三角形，我们可想到通过勾股定理列方程进行求解解：设 E 站应建在距 A 站 x km 处，根据勾股定理有 82x 26 2(14x) 2，解得 x6.所以 E 站应建在距 A 站 6 km 处方法总结 勾股定理及其逆定理的实际应用，是把实际问题转化为数学问题，建立勾股定理或逆定理的数学模型通过解决数学问题，使实际问题得以解决触类旁通 3 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边的长分别为 6 m，8 m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以 8 m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长1(2012 广东广州)在 RtABC
9、 中，C 90，AC 9，BC 12，则点 C 到 AB 的距离是( )A B C D365 1225 94 3342(2012 浙江湖州)如图，在 RtABC 中，ACB90，AB10，CD 是 AB 边上的中线， 则 CD 的长是( )A20 B10C5 D523(2012 浙江宁波)勾股定理是几 何中的一个重要定理在我国古算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载如图 1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理图 2 是由图 1 放入矩形内得到的，BAC90，AB 3，AC4 ，点 D，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形 KLMJ 的边上，则矩形
10、KLMJ 的面积为( )A90 B100 C110 D1214(2012 山东烟台)一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点 D 恰好放在等腰直角三角板的斜边 AB 上，BC 与 DE 交于点 M.如果ADF 100，那么BMD 为_.5(2012 四川巴中)已知 a，b，c 是ABC 的三边长，且满足关系式 |ab|0，则ABC 的形状为_ c2 a2 b26(2012 重庆)如图，在 Rt ABC 中，BAC90，点 D 在 BC 边上，且ABD 是等边三角形若 AB2，求ABC 的周长( 结果保留根号)1如图所示，将一个有 45 度角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3 cm 的纸带边沿
11、上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30 度角，则三角板的最大边的长为( )A3 cm B6 cm C3 cm D6 cm2 22在ABC 中，三边长分别为 a，b，c，且 ac2b，ca b，则ABC 是( )12A直角三角形 B等边三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形3一个直角三角形两边的长分别为 15,20，则第三边的长是( )A5 B25 C5 或 25 D无法确定7 74如图，在 RtABC 中，以三边 AB，BC ，CA 为直径向外作半圆，设直线 AB 左边阴影部分的面积为 S1，右边阴影部分的面积和为 S2，则( )AS 1S 2 BS 1
12、S 2CS 1S 2 D无法确定5直角三角形纸片的两直角边长分别为 6,8，现将ABC 如图那样折叠，使点 A 与点B 重 合，折痕为 DE，则 的值是 ( )CEBCA B C D247 73 724 136如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D 是斜边 AB 的中点，DEAC，垂足为E，若 DE2， CD2 ，则 BE 的长为_57如图，已知等腰 RtABC 的直角边长为 1，以 RtABC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 RtACD，再以 RtACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰 RtADE，依此类推直到第五个等腰 RtAFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面
13、积为_8如图，已知点 D 为等腰 RtABC 内一点，CAD CBD15，E 为 AD 延长线上的一点，且 CECA.(1)求证：DE 平分 BDC；(2)若点 M 在 DE 上，且 DCDM，求证：MEBD .参考答案导学必备知识自主测试1C BC 2CA 2AB 2， C90，cos B .BCAB 5132B 3D探究考点方法触类旁通 1D触类旁通 2解：在 RtABD 中，BD 5，AD2 AB2 42 32在BCD 中，CD13，CB 12，BD5，CB 2BD 2CD 2.DBC90.S 四边形 ABCDS ABD S DBC ABAD BCBD 34 12563036.12 12
14、 12 12触类旁通 3解：在 RtA BC 中，AC 8，BC6，由勾股定理得，AB 1 0，扩充部分为 RtACD，扩成等腰三角形 ABD，应分以下三种情况：AC2 BC2(1)如图 1，当 ABAD10 时，可求得 CDCB 6，故 ABD 的周长为 32 m.(2)如图 2，当 ABBD10 时，可求得 CD4，由勾股定理得AD 4 ，故 ABD 的周长为(20 4 ) m.AC2 CD2 5 5(3)如图 3，当 AB 为底时，设 ADBD x，则 CDx 6，由 勾股定理得(x6)28 2x 2，则 x ，故ABD 的周长为 m.253 803品鉴经典考题1A 根据题意画出相应的图
15、形，如图所示：在 Rt ABC 中，AC9，BC12，根据勾股定理得：AB 15.AC2 BC2过点 C 作 CD AB，交 AB 于点 D，又 SABC ACBC ABCD，12 12CD ，ACBCAB 91215 365则点 C 到 AB 的距离是 .3652C 在 Rt ABC 中，ACB90，AB10，CD 是 AB 边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，则 CD 的长是 5.3C 如图，延长 AB 交 KF 于点 O，延长 AC 交 GM 于点 P，所以，四边形 AOLP 是正方形，边长 AOABAC347，所以，KL 3710，LM4711，因此，矩形 KLMJ 的面
16、积为 1011110.故选 C.485 ADF100， EDF30，MDB180ADFEDF180100 30 50， BMD180BMDB180455085.5等腰直角三角形 由题意得：c 2a 2b 20，ab0，c 2a 2b 2，ab，则ABC 的形状为等腰直角三角形6解：ABD 是等边三角形，B60.BAC90，C180906030 ，BC2AB4.在 Rt ABC 中，由勾股定理得：AC 2 ，ABC 的周长BC2 AB2 42 22 3为 ACBCAB 2 42 62 .3 3研习预测试题1D2A 由 ac2b，ca b，12可得 c b，a b，于是得 a2b 2c 2，所以A
17、BC 是直角三角形54 343C 4A5C 由折叠性质可知，AEBE，设 CE 为 x，则 BE8x.在 Rt BCE 中，6 2x 2 (8x )2，所以 x .故 .74 CEBC 746 72464 点 D 是 AB 的中点，ACB90，DEAC ，2CD AB，DE BC，AB4 ，BC4.12 12 5在 Rt ACB 中，AC 8，CE AC4.AB2 BC212CEBC4，ACB90，BE4 .27 根据题意易知 CDAC ，AD DE( )312 2 222，EFAE2 ，AFFG2 4，AG4 ，所以所求图形的面积 SS 2 2 2 2ABCS 梯形 ACDES 梯形 AEFG 11 ( 2 ) (2 4 )12 12 2 2 2 12 2 22 312 .212 3128证明：(1)在等腰 RtABC 中，CADCBD15，BADABD451530.BDAD .BDCADC.DCADCB45.由BDMABDBAD30 3060，EDCDACDCA1545 60，BDMEDC.DE 平分 BDC.(2)如图，连接 MC.DCDM，且MDC60，MDC 是等边三角形，即 CMCD .又EMC180DMC18060 120，ADC180MDC180 60120，EMCADC.又CECA，DACCEM15.ADCEMC.ME ADDB.
