1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。单元质量评估(四)(第四章)(120分钟 150 分)一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如果圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0与 x轴相切于原点,则 ( )A.E0,D=F=0 B.D0,E0,F=0C.D0,E=F=0 D.F0,D=E=0【解析】选 A.圆与 x 轴相切于原点,则圆心在 y 轴上,D=0,圆心的纵坐标的绝对值等于半径,F=0,E0,故选 A.2.(2015广州高一检
2、测)直线 l:y=k 与圆 C:x2+y2=1的位置关系是 ( )A.相交或相切 B.相交或相离C.相切 D.相交【解析】选 D.圆 C 的圆心(0,0)到直线 y=k 的距离 d= ,因为 d2=4,所以点 P(a,b)在圆 x2+y2=4 的外部.【延伸探究】若本题条件换为“直线 ax+by=4与圆 x2+y2=4相切”则结论又如何呢?【解析】选 B.由题意知 =2,即 a2+b2=4.则点 P 在圆上.5.在平面直角坐标系 xOy中,直线 3x+4y-5=0与圆 x2+y2=4相交于 A,B两点,则弦 AB的长等于( )A.3 B.2 C. D.1【解析】选 B.圆 x2+y2=4 的圆
3、心(0,0)到直线 3x+4y-5=0 的距离 d=1,圆的半径为 2,所以弦长|AB|=2 =2 .6.(2015深圳高一检测)将直线 2x-y+=0 沿 x轴向左平移 1个单位,所得直线与圆 x2+y2+2x-4y=0相切,则实数 的值为 ( )A.-3或 7 B.-2或 8 C.0或 10 D.1或 11【解析】选 A.直线 2x-y+=0 沿 x 轴向左平移 1 个单位得 2x-y+2=0,圆x2+y2+2x-4y=0 的圆心为 C(-1,2),r= ,d= = ,=-3,或 =7.7.以点(3,-1)为圆心且与直线 3x+4y=0相切的圆的方程是 ( )A.(x+3)2+(y-1)2
4、=1 B.(x+3)2+(y-1)2=2C.(x-3)2+(y+1)2=1 D.(x-3)2+(y+1)2=2【解析】选 C.由已知,r=d= =1,故选 C.8.(2015重庆高考)已知直线 l:x+ay-1=0(aR)是圆 C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点 A(-4,a)作圆 C的一条切线,切点为 B,则 = ( )A.2 B.4 C.6 D.2【解析】选 C.圆的标准方程为(x-2) 2+(y-1)2=4,圆心为 C(2,1),半径为 r=2,因为直线 l 为圆的对称轴,所以直线经过圆心 C(2,1),即 2+a-1=0,所以 a=-1,A(-4,-1),所以 = =2
5、.又 AB 为圆的切线,所以 = = =6.9.以正方体 ABCD -A1B1C1D1的棱 AB,AD,AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系,且正方体的棱长为一个单位长度,则棱 CC1中点坐标为 ( )A. B.C. D.【解析】选 C.如图所示:设 C1C 的中点为 M,则 M 在 xOy 平面上的射影为 C,坐标为(1,1,0),在 z 轴上的射影为 ,所以 M 点坐标为 ,故选 C.10.(2014江西高考)在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x轴和 y轴上的动点,若以 AB为直径的圆 C与直线 2x+y-4=0相切,则圆 C面积的最小值为 ( )A. B. C.(6-2 ) D.
6、 【解题指南】数形结合,找到圆的半径最小时的情况即可.【解析】选 A.由题意得,当原点到已知直线的距离恰为圆的直径时,圆的面积最小,此时圆的半径为 = ,圆的面积为 S= = .11.已知直线 l 过点(-2,0),当直线 l 与圆 x2+y2=2x有两个交点时,其斜率 k的取值范围是 ( )A.(-2 ,2 ) B.(- , )C. D.【解析】选 C.易知圆心坐标是(1,0),圆的半径是 1,直线 l 的方程是 y=k(x+2),即 kx-y+2k=0,根据点到直线的距离公式得 0,若 AB 中有且仅有一个元素,则 r的值是 .【解题指南】根据 AB 中有且仅有一个元素,说明两圆相切,注意
7、分外切和内切分别求 r 的值.【解析】因为 AB 中有且仅有一个元素,所以两圆相切.当两圆外切时,2+r=5,即 r=3;当两圆内切时,r-2=5,即 r=7.所以 r 的值是 3 或 7.答案:3 或 716.方程 x2+y2+2ax-2ay=0表示的圆,关于直线 y=x对称;关于直线 x+y=0对称;其圆心在 x轴上,且过原点;其圆心在 y轴上,且过原点,其中叙述正确的是 .来源:学优高考网 gkstk【解析】将已知方程配方,得(x+a) 2+(y-a)2=2a2(a0),圆心坐标为(-a,a),它在直线 x+y=0 上,所以已知圆关于直线 x+y=0 对称.故正确.答案:三、解答题(本大
8、题共 6个小题,共 70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2015郑州高一检测)求下列各圆的标准方程:(1)圆心在 y=-x上且过两点(2,0),(0,-4).(2)圆心在直线 5x-3y=8上,且与坐标轴相切.【解析】(1)设所求圆的方程为(x-a) 2+(y-b)2=r2.因两点在此圆上,且圆心在 x+y=0 上,所以得方程组 解得故所求圆的方程为:(x-3) 2+(y+3)2=10.(2)与坐标轴相切,所以圆心到两个坐标轴距离相等,所以 x=y 或 x=-y 又圆心在5x-3y-8=0 上,若 x=y,则 x=y=4;若 x=-y,则 x=1,y=-1.
9、来源:学优高考网所以圆心是(4,4)或(1,-1).因为半径就是圆心到切线距离,即到坐标轴距离,所以圆心是(4,4),则 r=4;圆心是(1,-1),则 r=1,所以所求圆的标准方程为(x-4) 2+(y-4)2=16 和(x-1) 2+(y+1)2=1.18.(12分)(2015佛山高一检测)如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|AD|=3,|AA1|=2,点 M在 A1C1上,|MC 1|=2|A1M|,N在 D1C上且为 D1C的中点,求 M,N两点间的距离.【解析】如图,分别以 AB,AD,AA1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.由题意可知
10、C(3,3,0),D(0,3,0),因为|DD 1|=|CC1|=2,所以 C1(3,3,2),D1(0,3,2).因为 N 为 CD1的中点,所以 N .因为|MC 1|=2|A1M|,故 M 是 A1C1的三等分点且靠近点 A1,所以 M(1,1,2).由两点间距离公式,得|MN|= = .19.(12分)(2015大连高一检测)已知圆 C:(x-1)2+y2=9内有一点 P(2,2),过点P作直线 l 交圆 C于 A,B两点.(1)当 l 经过圆心 C时,求直线 l 的方程.(2)当弦 AB被点 P平分时,写出直线 l 的方程.【解析】(1)已知圆 C:(x-1)2+y2=9 的圆心为
11、C(1,0),因直线 l 过点 P,C,所以直线 l 的斜率为 2,直线 l 的方程为 y=2(x-1),即 2x-y-2=0.(2)当弦 AB 被点 P 平分时,lPC,直线 l 的方程为 y-2=- (x-2),即 x+2y-6=0.20.(12分)已知圆 O:x2+y2=1与直线 l:y=kx+2.(1)当 k=2时,求直线 l 被圆 O截得的弦长.(2)当直线 l 与圆 O相切时,求 k的值.【解析】(1)当 k=2 时,直线 l 的方程为 2x-y+2=0.来源:gkstk.Com设直线 l 与圆 O 的两个交点分别为 A,B,过圆心 O(0,0)作 ODAB 于点 D,则|OD|=
12、 = ,所以|AB|=2|AD|=2 = .来源:学优高考网 gkstk(2)当直线 l 与圆 O 相切时,即圆心到直线的距离等于圆的半径.所以 =1,即 =2,解得 k= .【一题多解】(1)当 k=2 时,联立方程组消去 y,得 5x2+8x+3=0,解得 x=-1 或 x=- ,代入 y=2x+2,得 y=0 或 y= ,设直线 l 与圆 O 的两个交点分别为 A,B,则 A(-1,0)和 B ,所以|AB|= = .(2)联立方程组消去 y,得(1+k 2)x2+4kx+3=0,当直线 l 与圆 O 相切时,即上面关于 x 的方程只有一个实数根.则 =(4k) 2-43(1+k2)=0
13、,即 4k2-12=0,k2=3,所以 k= .21.(12分)(2015长春高一检测)已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0.(1)写出圆 C的标准方程,并指出圆心坐标和半径大小;(2)是否存在斜率为 1的直线 m,使 m被圆 C截得的弦为 AB,且 OAOB(O 为坐标原点).若存在,求出直线 m的方程;若不存在,说明理由.【解题指南】(1)由圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)得其圆心,半径为 ,从而可得圆 C 的标准方程,此题也可以通过配方法直接得到圆 C 的标准方程,然后再写出其圆心坐标和半径.(2)首先根据题意设出 m 的方程,然后与圆的方程联立消
14、 y 得关于 x 的一元二次方程,运用根与系数的关系得到两根的和及积的关系,然后再根据 OAOB 不难得出关于两根和及积的方程,从而可求直线 m 的方程.【解析】(1)根据圆的一般方程结合已知得:D=-2,E=4,F=-4,则- =- =1,- =- =-2,= =3,即圆心 C 的坐标为(1,-2),半径为 3,所以圆 C 的标准方程为:(x-1) 2+(y+2)2=9.(2)根据题意可设直线 m:y=x+b,代入圆的方程得:2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0,因为直线与圆相交,所以 b2+6b-90,x1+x2=-b-1,x1x2= ,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y
15、1=x1+b,y2=x2+b,由 OAOB 得: =-1 =-1(x1+b)(x2+b)+x1x2=0,2x1x2+b(x1+x2)+b2=0b2+3b-4=0,得 b=-4 或 b=1,均满足 b2+6b-90,故所求直线 m 存在,且方程为 y=x-4 或 y=x+1.22.(12分)如图所示,l 1,l2是通过某城市开发区中心 O的南北和东西走向的街道,连接 M,N两地之间的铁路线是圆心在 l2上的一段圆弧,点 M在点 O正北方向,且|MO|=3km,点 N到 l1,l2的距离分别为 4km和 5km.(1)建立适当的坐标系,求铁路线所在圆弧的方程.(2)若该城市的某中学拟在点 O正东方向选址建分校,考虑到环境问题,要求校址到点 O的距离大于 4km,并且铁路线上任意一点到校址的距离不能小于 km.求校址距离点 O的最近距离.(注:校址视为一个点)来源:gkstk.Com【解析】(1)以城市开发区中心 O 为原点,分别以 l2,l1为 x 轴、y 轴,向东,向北为正方向,建立平面直角坐标系.根据题意,得 M(0,3),N(4,5),故 kMN= = ,MN 的中点为(2,4),所以线段 MN 的垂直平分线方程为
