1、第一节 线段的比第四章 相似图形课时安排14 课时第一课时课 题4.1.1 线段的比（一）教学目标（一）教学知识点1.知道线段比的概念.2.会计算两条线段的比.（二）能力训练要求会求两条线段的比.（三）情感与价值观要求通过有关比例尺的计算，让学生懂得数学在现实生活中的作用，从而增强学生学习数学的信心.教学重点会求两条线段的比.教学难点会求两条线段的比，注意线段长度的单位要统一.教学方法自主探索法教具准备投影片一张：例题（记作4.1.1 A ）教学过程.创设问题情境，引入新课师同学们，大家见到过形状相同的图形吗？请举出例子来说明.生课本 P38 中两张图片；同一底片洗印出来的大小不同的照片；两个
2、大小不同的正方形，等等.师对，大家举出的这些例子都是形状相同、大小不同的图形，即为相似图形.本章我们就要研究相似图形以及与之有关的问题.从两个大小不同的正方形来看，它们之所以大小不同，是因为它们的边长的长度不同，因此相似图形与对应线段的长度有关，所以我们首先从线段的比开始学习.新课讲解1.两条线段的比的概念师大家先回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？生两个数相除又叫两个数的比，如 ab 记作 ；度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小.师由比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？生两条线段的比就是两条线段长度的
3、比.师对.比如：线段 a 的长度为 3 厘米，线段 b 的长度为 6 米，所以两线段 a,b 的比为 36=1 2,对吗？生对.师大家同意他的观点吗？生不同意，因为 a、b 的长度单位不一致，所以不对.师那么，应怎样定义两条线段的比，以及求比时应注意什么问题呢？生如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB、CD 的长度分别是 m、n，那么就说这两条线段的比（ratio）ABCD=mn，或写成 = ，其中，线段 AB、CD 分别CDABn叫做这两个线段比的前项和后项.如果把 表示成比值 k，则 =k 或 AB=kCD.CDAB注意：在量线段时要选用同一个长度单位.2.做一做量出数学书的长和宽（精确
4、到 0.1 cm）,并求出长和宽的比.生长为 21.1 cm,宽为 14.8 cm,长和宽的比为 21.114.8=211148师如把单位改成 mm 和 m,比值还相同吗？生改为 mm 作单位，则长为 211 mm，宽为 148 mm，比值为 211148改用 m 作单位，则长为 0.211 m，宽为 0.148 m,长与宽的比为0.2110.148=211 148师从刚才的单位变换到计算比值，大家能得到什么吗？生只要是选用同一单位测量线段，不管采用什么单位，它们的比值不变.3.求两条线段的比时要注意的问题师大家能说出几点？试一试.生 （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不
5、同，应先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.4.例题投影片（4.1.1 A）在某市城区地图（比例尺 19000）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是 16 cm、 10 cm.（1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？解：（1）根据题意，得 901新 安 大 街 的 实 际 长 谎新 安 大 街 的 图 上 长 度光 华 大 街 的 实 际 长 度光 华 大 街 的 图 上 长 度因此，新安大街的实际长
6、度是169000=144000（cm）,144000 cm=1440 m;光华大街的实际长度是109000=90000（cm）90000 cm=900 m.（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是 1610=85新安大街的实际长度与光华大街的实际长度之比是 14400090000=85由例 2 的结果可以发现：光 华 大 街 的 图 上 长 度新 安 大 街 的 图 上 长 度光 华 大 街 的 实 际 长 度新 安 大 街 的 实 际 长 度.随堂练习1.在比例尺为 18000 的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是 1 cm2 cm，矩形运动场的实际尺寸是多少？解：根据题意，得矩形运动场的
7、图上长度矩形运动场的实际长度=18000因此，矩形运动场的长是28000=16000（cm）=160（m ）矩形运动场的宽是18000=8000（cm）=80（m ）所以，矩形运动场的实际尺寸是长为 160 m,宽为 80 m.课时小节1.相似图形两条线段的比.2.两条线段的比定义：两条线段的长度之比表示法：线段 a、b 的长度分别为 m、n,则 ab= mn.求法：先用同一长度单位量出线段的长度，再求出它们的比.注意点：（1）两线段的比值总是正数.（2）讨论线段的比时，不指明长度单位.（3）对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示.比例尺：图上长度与实际长度的比.课后作业习题 4.11.解：
8、一条线段的长度是另一条线段长度的 5 倍，这两条线段的比是 51.2.解：早上 8 点旗杆的高与其影长的比为 3040=34中午 12 点旗杆的高与其影长的比为 3010=313.解：等腰直角三角形 ABC 与等腰三角形 DEF腰的比为 1012=56底边的比为10 8=5 42.活动与探究为了参加北京市申办 2008 年奥运会的活动，如果有两边长分别为 1，a（其中a1）的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料没有剩余） ，使每条彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，画出两种不同裁剪方法的示意图，并写出相应的a 的值.解：方案（1）：长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同， （*） 1
9、3a解得：a=图 41方案（2）：由（*）得 ax1x= ,a=12方案（3）：由（*）得y=21aa且 z=由 =a 得 a=21621图 42方案（4）：由（*）得 anba11b=ma1n=1 m=a21m+ n=1 1 +a21=1a= （负值舍去）25板书设计4.1.1 线段的比一、1.两条线段的比的概念2.做一做3.求两条线段的比时要注意的问题4.例题（有关比例尺问题）二、随堂练习三、课时小结四、课后作业第二课时课 题4.1.2 线段的比（二）教学目标（一）教学知识点1.知道比例线段的概念.2.熟记比例的基本性质，并能进行证明和运用.（二）能力训练要求1.通过变化的鱼来推导成比例线
10、段，发展学生的逻辑推理能力.2.通过例题的学习，培养学生的灵活运用能力.（三）情感与价值观要求认识变化的鱼，建立初步的空间观念，发展形象思维；并通过有趣的图形，培养学生学习数学的兴趣.教学重点成比例线段的定义.比例的基本性质及运用.教学难点比例的基本性质及运用.教学方法自学法教具准备投影片两张：第一张（记作4.1.2 A）第二张（记作4.1.2 B）教学过程.创设问题情境，引入新课师小学里已学过了比例的有关知识，那么，什么是比例？怎样表示比例？说出比例中各部分的名称，比例的基本性质是什么？生表示两个比相等的式子叫比例.如果 a 与 b 的比值和 c 与 d 的比值相等，那么或 ab =cd,这
11、时组成比例的四个数 a,b,c,d 叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即 a、d 为外项，c、b 为内项.比例的基本性质为：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积.用式子表示就是：如果 （b,d 都不为 0） ，那么 ad=bc.ca师上节课学习了两条线段的比，本节课就来研究比例线段.新课讲解1.成比例线段的定义投影片（4.1.2 A）你还记得八年级上册中“变化的鱼”吗？如果将点的横坐标和纵坐标都乘以（或除以）同一个非零数，那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何变化？下图（1）中的鱼是将坐标为（0，0） ， （5，4） ， （3，0） ， （5，1） ， （5，1） ，
12、（3，0） ， （4，2） ， （0，0）的点 O， A，B，C，D ，B， E，O 用线段依次连接而成的；（2）中的鱼是将（1）中鱼上每个点的横坐标，纵坐标都乘以 2 得到的.图 44（1）线段 CD 与 HL，OA 与 OF，BE 与 GM 的长度分别是多少？（2）线段 CD 与 HL 的比，OA 与 OF 的比，BE 与 GM 的比分别是多少？它们相等吗？（3）在图（2）中，你还能找到比相等的其他线段吗？生 （1）CD=2 ，HL=4，OA= ,4152OF= 80BE= ,521GM= 4（2） ,214,21OFAHLCD.215GMBE所以， .GBEOFAHLCD（3）其他比相等
13、的线段还有.21E师由上面的计算结果，对照比例的概念，请说出怎样的四条线段叫做成比例线段？生四条线段 a,b,c,d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 ,那么这四条dcba线段 a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments）.2.比例的基本性质两条线段的比实际上就是两个数的比.如果 a,b,c,d 四个数满足 ,那么 ad=bc 吗？dcba反过来，如果 ad=bc,那么 吗？与同伴交流.dcba生若 ,则有 ad=bc.c因为根据等式的基本性质，两边同时乘以 bd,得 ad=bc,同理可知若 ad=bc（a,b,c ,d 都不等
14、于 0） ，那么 .dcba3.线段的比和比例线段的区别和联系师线段的比是指两条线段之间的比的关系，比例线段是指四条线段间的关系.若两条线段的比等于另两条线段的比，则这四条线段叫做成比例线段.线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性.如 是线段 a、b、c 、d 成比例，dcba而不是线段 a、c 、b、d 成比例.4.例题图 45（1）如图，已知 =3,求 和 ;dcbabdc（2）如果 =k（k 为常数） ，那么 成立吗？为什么？dcbadcba解：（1）由 =3,得a=3b,c=3d.因此， =4b3=4d（2） 成立.cba因为有 =k,得da=bk,c=dk.所以 =k+1,b=k
15、+1.d因此： .cba5.想一想（1）如果 ,那么 成立吗？为什么？ddcba（2）如果 ,那么 成立吗？为什么？fecbbafe（3）如果 ,那么 成立吗？为什么.dadcb（4）如果 = （b+d+n0）,那么 成立吗？为什么.cbmbandbmca解：（1）如果 ,那么 .ac dcb 1a .dcb（2）如果 ,那么feabafdec设 =kfedcbaa=bk,c=dk,e=fk bakfdbkfbf )(（3）如果 ,那么dca cba +1d1 cba由（1）得 d .cba（4）如果 = （b+d+n0）m那么 andbca设 = =ka=bk,c=dk, ,m=nk .ba
16、kndbmkndbndb )(.课堂练习投影片（4.1.2 B）1.已知 =3,求 和 , = 成立吗？dcbabdcbadc2.已知 = =2,求 （b+d+f0）fee解：1.由 =3,得dcbaa=3b,c=3d.所以 = =2, =23d3因此 .db2.由 = =2,得dcbafea=2b,c=2d,e=2f所以 =2. fdbfdb)(22.课时小结1.熟记成比例线段的定义.2.掌握比例的基本性质，并能灵活运用.课后作业习题 4.21.解：因为 a、b、c、d 是成比例线段，所以有 即 =23d6解得：d=4所以线段 d 的长为 4 cm2.解：因为 =2ba所以 a=2b因此 =
17、323.解：因为 BC=BD= 512CD=2GH=GL= 42HL=4所以BCD 的周长为 BC+BD+CD=2 +25GHL 的周长为 GH+GL+HL=2（2 +2）因此BCD 的周长与GHL 的周长比为 12.活动与探究1.已知： = =2（b+d+f0）cbafe求：（1） ;（2） ;feca（3） ;（4） .fdbeca32fbea5解： = =2a=2b,c=2d,e=2f（1） =2fdbfdb)(22（2） =2fdb（3） =2fdbfdbeca32)(32643（4） = =2ffb510)(2.已知 abc=432,且 a+3b3c=14.（1）求 a,b,c （2
18、）求 4a3b+c 的值.解：（1）设 a=4k,b=3k,c=2ka+3b3c=144k+9k6k=147k=14k=2a=8,b=6,c=4（2）4a3b+c=3218+4=18板书设计4.1.2 线段的比一、1.成比例线段的定义2.比例的基本性质3.线段的比和比例线段的区别和联系4.例题5.想一想二、课堂练习三、课时小结1.熟记成比例线段的定义.2.掌握比例的基本性质，并能灵活运用.四、课后作业数学思想方法2000 年江苏省中学生英语能力竞赛初三年级初赛试卷中有这样一道习题：“How can we move just one mach to make a square?”_.图 43A.
19、Move AB.Move BC.Move CD.Move D一个英语老师引用这个习题作为训练题让学生去做时，学生没找到正确答案，连老师也不知咋办，甚至怀疑是否翻译不对或命题有误.把这道题翻译成汉语的意思是：“如图，怎样移动一根火柴而得到一个正方形？” “_.”A.移动 A B.移动 BC.移动 C D.移动 D英语老师只得拿着题去找数学老师帮忙，数学老师看题后，同样把这道题拿到课堂上让学生做，这次倒有不少学生找到了问题的正确答案.造成这样完全不同的结果，经老师分析，其原因是：1.同样一道题，出现在英语课堂上时，学生更注意的是其语言的表述或句子的结构，淡化了“如何移动”的要求，当问题找不到答案时
20、，便怀疑是对问题的语言理解有误，而在数学课堂上出现时，学生便更注意对“方法和图形”的认识和理解上，也就是说用数字的思维去寻找问题的结果，这样就可把问题解决了.2.用数学思维解题时，当问题不能直接找到答案时，学生应知道怎样对待问题进行正确分析，认真观察图形，变换思路寻找答案.我们再看上面这道题的答案.对“移动”意思的理解常被认为是：“从一个地方换到另一个地方” ，学生在几次尝试后容易知道，把其中一根火柴从一处拿到另一处再拼成正方形是不可能的，按数学的求异思维，学生便会回头重新审视图形，用非常规思维去探寻答案.事实上，本题的突破口就在读图和打破传统思维定势上，只要把 A 火柴轻轻上移一些，中间便出
21、现了一个正方形.从上面的分析可以看出，用数学的意识去解题十分重要，也就是说，学好数学必须掌握解数学题的常见思想和常见方法.所谓数学思想、方法是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学问题的进一步抽象和概括，属于对数学规律性的认识范畴.数学思想方法是数学的灵魂，数学思想指导着数学问题的解决，并具体地体现在解决问题的不同方法中.第四章 相似图形4.1 线段的比班级：_ 姓名：_一、 请你填一填（1）如果 ,那么 =_.53baba（2）若 a= ,b=3,c=3 ,则 a、b、c 的第四比例项 d 为_.2（3）若 ,则 =_.75zyxzyx（4）在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是 3 c
22、m,而两地的实际距离为 1500 m，那么这张地图的比例尺为_.二、认真选一选（1）已知 ,则下列式子中正确的是（ ）dcbA.ab=c 2d 2 B.ad=cbC.ab=（a+c）（b+d）D.ab=（ad ）（bd）（2）如图 411，已知直角三角形的两条直角边长的比为 ab=12,其斜边长为 4 cm，那么这个三角形的面积是（ ）cm 2.（ ）5图 411A.32 B.16 C.8 D.4（3）若 ,且 3a2b+c=3,则 2a+4b3c 的值是（ ）875cbaA.14 B.42C.7 D. 314（4）如图 412，等腰梯形 ABCD 的周长是 104 cm，AD BC ，且AD
23、ABBC=235，则这个梯形的中位线的长是（ ）cm.（ ）图 412A.72.8 B.51C.36.4 D.28三、已知四条线段 a、b、c、d 的长度，试判断它们是否成比例？（1）a=16 cm b=8 cm c=5 cm d=10 cm（2）a=8 cm b=5 cm c=6 cm d=10 cm四、 画一画，算一算（1）若点 P 在线段 AB 上，点 Q 在线段 AB 的延长线上，AB =10， ，求23BQPA线段 PQ 的长.（2）若 ,且 2ab+3c=21.65432cba试求 abc.参考答案4.1 线段的比一、 （1） （2） （3）5 （4）1500005869二、 （1
24、）C （2）B （3）D （4）D三、 （1） =2 =2 则 所以 a、b、d、c 成比例bacdcdba（2）由已知得：abcd,ac bd,adbc所以 a、b、c、d 四条线段不成比例四、 （1）设 AP=3x,BP=2xAB=10AB=AP+BP=3x+2x =5x,即 5x=10,x=2 AP=6,BP=4 ,可设 BQ=y,则 AQ=AB+BQ=10+y23BQA ,解得：y=20,10PQ= PB+BQ=4+20=24（2）令 =m,则 a+2=3m,b=4m,c+5=6m65432cbaa=3m2,b=4m,c=6 m52ab+3c=212（3m2）4m+3（6m 5）=21,即 20m=40解得 m=2a=3m2=4,b=4m=8,c =6m5=7abc=487
