1、第 1 页 共 4 页安 徽 六 校 教 育 研 究 会 2019 届 高 三 第 一 次 素 质 测 试数 学 试 题 （ 理 ） 参 考 答 案1-5.C B A D C 6-10.C D D C B 11-12.C B13.4 14. 8 15. 313 16. ln3 1 17.解 :(1) 2( ) 2 3sin cos 2sin 2f x x x x 1 cos23sin2 2 22 xx 3sin2 cos2 1x x 2sin(2 ) 16x 5分 10分18. 解 ： （ 1） 21 23 3 3n na a a n ， 当 2n 时 ， 2 11 2 13 3 3 1n n
2、a a a n ， - ， 得 13 1, 23n n n na a n ， 在 中 ， 令 1n ， 得 1 13a 也 满 足 上第 2 页 共 4 页式 ， 13n na . 6分(2) 3nn n na b n b n ，2 33 2 3 3 3 . 3nnS n ， 2 3 4 13 3 2 3 3 3 . 3nnS n ， - ， 得 1 2 32 3 3 3 3 . 3n nnS n ，即 11 3 1 3 2 1 3 32 3 ,1 3 4 4n nnn n nS n S . 12分19. 解 ： （ 1） 由 题 可 得 ： 0.18 0.2 0.32 1 1a ， 0.3a
3、 ， 众 数 为2.5 4分（ 2） 由 频 率 分 布 直 方 图 可 得 ， 红 包 金 额 在 1,2 的 概 率 为 15 ， 则X 13, 5B X 的 取 值 为 0,1,2,3， 303 4 640 5 125P X C ， 213 4 1 481 5 5 125P X C ， 1 223 4 1 122 5 5 125P X C ， 333 1 13 5 125P X C ， X 的 分 布 列 为X 0 1 2 3P 64125 48125 12125 1125 64 48 12 1 30 1 2 3125 125 125 125 5E X （ 或 1 33 5 5E X ）
4、 12分第 3 页 共 4 页20.证 明 ： (1)连 接 1BC 交 1BC于 O,连 接 AO,侧 面 1 1BBCC 为 菱 形 , 1 1BC BC ,1AB AC ,O为 1BC 的 中 点 , 1AO BC又 1BC AO O , 1BC 平 面 1ABC1BC 平 面 1 1BBCC 平 面 1ABC 平 面 1 1BBCC 5分(2)由 1AB BC , 1BO BC , AB BO B , 1BC 平 面 ABO, AO 平 面ABO, AO 1BC从 而 OA , OB ,1OB 两 两 互 相 垂 直 ,以 O 为 坐 标 原点 ,OB 的 方 向 为 x轴 正 方 向
5、 ,建 立 如 图 所 示 空 间 直角 坐 标 系 O xyz ,直 线 AB与 平 面 1 1BBCC 所 成 的 角 为 030 ,设 1AO ,则 3BO ,又 01 60CBB , 1CBB 是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形 (0,0,1)A , ( 3,0,0)B , 1(0,1,0)B , (0, 1,0)C ,(0,1, 1)AB , 1 (0, 2,0)BC , 1 1 ( 3,0, 1)AB AB 设 ( , , )n x y z 是 平 面1 1ABC的 法 向 量 ， 则 1 11 3 02 0n AB x zn BC y 令 (1,0, 3)n ，设 直 线
6、 1AB 与 平 面 1 1ABC所 成 的 角 为 则 1 6sin | cos , | 4AB n 直 线 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 为 64 . 12分第 4 页 共 4 页21. 解 :(1)依 题 意 ： 2c ， 且 2 22 2( 2) 1 1a b ， 又 2 2 2a b c 2, 2a b 从 而 椭 圆 方 程 为 2 2 14 2x y 4分（ 2） 设 (4, )P t (不 妨 设 0t )则 直 线 PA方 程 ： 1 ( 2)6y x ， 直 线 PB方 程 ：1 ( 2)2y x .设 1 1( , )C x y ， 2 2( , )D x y由
7、2 21 ( 2)6 14 2y xx y 得 2 2 2 2(18 ) 4 4 72 0t x t x t ， 则 21 24 722 18xx t ，21 236 218 tx t 于 是 1 1 21 12( 2)6 18 ty x t 由 2 21 ( 2)2 14 2y xx y 得 2 2 2 2(2 ) 4 4 8 0t x t x t ， 则 22 24 82 2xx t ，22 22 42tx t 于 是 2 2 21 4( 2)2 2ty x t 1 2 2 21 1 1 12 4| | | | | | | | 4 ( )2 2 2 18 2ABCD ACB ADB t t
8、S S S AB y AB y t t 34 2 2 22 6 6632 32 3236 620 36 20 ( ) 8t tt t t tt t t tt t 设 6u t t ， 则 2 6, )u ， 328ABCDS u u ，令 32( ) 8g u u u ， 则 ( )g u 在 2 6, ) 上 单 调 递 减 ，所 以 ABCD max( ) (2 6) 2 6S g 所 以 四 边 形 ABCD 的 面 积 的 最 大 值 为 2 6 12分第 5 页 共 4 页22.解 ：（ ） 2ln 3ln 3x xf x x ， 2ln ln 1x xf x x ， 10 1f x
9、 xe ，知 f x 在 10, e 和 1, 上 递 减 ， 在 1 ,1e 上 递 增 ，当 1 1te 时 ， max 1 3f x f ， 当 1t 时 ， 2max ln 3ln 3t tf x f t t ，故 max 2 13, 1ln 3ln 3 , 1tef x t t tt ； 5分（ ） 由 （ ） 知 f x 在 10, e 和 1, 上 递 减 ， 在 1 ,1e 上 递 增 ， 当 0,1x 时 ， 1f x f ee ， 而 3 13( )x x xxe e ， 故 3xxe 在 0,1 上 递增 ，3 3xx ee e ， 3xxf x e 即 2 2ln 3ln 3 3 0xe x x x ； 当 1,x 时 ， 2ln 3ln 3 0 0 3 3x x ， 令 23 xxg x e ， 则 23 2xx xg x e 故 g x 在 1,2 上 递 增 ， 2, 上 递 减 ， 2122 3g x g e ，22 3ln 3ln 3 xxx x e 即 2 2ln 3ln 3 3 0xe x x x ；综 上 ， 对 任 意 0x ， 均 有 2 2ln 3ln 3 3 0xe x x x . 12分
