1、3.1.1 实数指数幂及其运算1整数指数(1)一个数 a 的 n 次幂等于 n 个 a 的连乘积，即 叫做 a 的 n 次幂，anna个叫做幂的底数，n 叫做幂的 指数并规定 a1a.(2)正整指数幂在 an中，n 是正整数时，a n叫做正整指数幂正整指数幂具有以下运算法则：a mana mn ；( am)na mn； a m n (a0，mn)；( ab)ma mbm.其中amanm，nN .(3)整数指数幂在上述法则中，限制了 m n，如果取消这种限制，那么正整指数幂就推广到了整数指数幂 规定： a 01(a 0)；a n (a0，nN )这样，上面的四条法则可以归1an纳为三条：a ma
2、na mn ； ( ab)na nbn；( am)na mn.其中 m，nZ.同时，将指数的范围由正整数扩大为整数0 的零次幂没有意义，0 的负整数次幂也没有意义，因此对于整数指数幂，要求“底数不等于 0”【例 1】化简：(a 2b3)2 (a5b2 )0(a4b3)2.解：原式648(1=(a 4 a8 )(b6 b6 )a 12 b12 .2根式如果存在实数 x，使得 xna(aR，n1，nN )，则 x 叫做 a 的 n 次方根求 a 的n 次方根，叫做把 a 开 n 次方，称作开方运算当 有意义时，式子 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数正数 a 的正 n 次na na方根叫做
3、 a 的 n 次算术根n 次方根具有以下性质：(1)在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数； (2)在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数， 负数的偶次方根不存在；(3) 零的任何次方根都是零根式有两个重要性质：(1)( )na(n1，nN )，当 n 为奇数时，aR，当 n 为偶数na时，a0( a0 时无意义)；(2) Error!nan析规律 关于根式的知识总结正数开方要分清，根指奇偶大不同，根指为奇根一个，根指为偶双胞生来源:负数只有奇次根，算术方根零或正，正数若求偶次根，符号相反值相同负数开方要慎重，根指为奇才可行，根指为负无意义，零取方根仍为零【例 21】已知
4、a1，则实数 a 的取值范围是_4()解析： |a1| ，4(1)|a 1|a 1( a1)a10，即 a1.答案：(，1【例 22】化简下列各式：(1) ；34334)(2)()(2) .解：(1)原式(2)| 2|( 2)2(2 )( 2) 2.(2)原式 221)(1 )( 1) .辨误区 根式运算应注意的问 题利用 的性质求值运算时，要注意 n 的奇偶性特别地，当 n 为偶数时，要注意 a 的nan正负3分数指数幂(1)分数指数幂的意义正分数指数幂可定义为：来源: (a0)； ( )m .1nna nna nam(a 0，n，m N ，且 mn为 既 约 分 数 )负分数指数幂的意义与
5、负整数指数幂的意义相同，可定义为： 1=na.(a 0，n，m N ，且 mn为 既 约 分 数 )提示：所谓既约分数，就是约分后化成最简形式的分数感悟：1.规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理指数；2 与 表示相同的意义，所以分数指数幂与根式可以相互转化；mnanam3通常规定分数指数幂的底数 a0，但要注意在像 中的 a，则需要14()a4 aa0.(2)有理指数幂的运算法则：a aa ；(a )a ； (3)(ab)a b(其中 a0，b0， ，Q)析规律 有理指数幂的运算1有理指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：(1)同底数幂
6、相乘，底数不变，指数相加；(2)幂的幂，底数不变，指数相乘；(3)积的幂等于幂的积2乘法公式仍适用于有理指数幂的运算，例如：ab(a0，b0) ；112()()ab(a0，b0) 122【例 31】求值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .4383413223715解：(1) .43=()=6(2) .34348127(3) .28(4) .22332375=1559点技巧 有理指数幂运算时把根式转化为幂进行有理指数幂的运算要首先考虑利用幂的运算性质， 而不要将幂转化为根式的运算，像 ，这样反而不易求解23864【例 32】求下列各式的值：(1) ；(2) .123xx23a解：(1)原式
7、 .1114=xx(2)原式 .2526313=aa4无理指数幂(1)一般地，无理指数幂 a(a0， 是无理数)是一个确定的实数；(2)有理指数幂的运算性质同样适用于无理指数幂，即：a a a (a0， ， 是无理数)；来源:(a )a (a0， 是无理数)；(ab) a b(a0，b0， 是无理数)【例 4】求值：(1) ；(2) .221338213(5)解：(1)原式 ()() .232 2323=(2)原式 5 22 127.155指数幂(根式)的化简与计算化简、计算指数幂(根式)时，应注意以下几点：(1)运算顺序：先进行幂的运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算，有括号的先算括号内的
8、(2)如果指数是小数，那么通常化为分数指数，这样可以随时检验运算的正确性，是常用的化简技巧比如，(3) 2 .1 ，由于 (3) 21 是一个负数，所以( 3) 2.1210(3)10( 3)21无意义(3)将其中的根式化为分数指数幂，利用指数幂的运算性质进行计算比如，化简a ，如果不将根式 化为指数幂，就很难 完成化简： .a a1322=aa(4)计算或化简的结果尽量最简，如 果没有特殊要求，用正分数指数幂或根式来表示均可析规律 多重根号化为有理指数幂此类问题应熟练应用 .当各式中含有多重nam n(a 0，m，nN ，且 mn为 既 约 分 数 )根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指
9、数幂写出，然后再利用指数运算法则化简【例 51】求下列各式的值：(1) ；1220370.27(5)9(2) ；1122340.54(3) .63.分析：结合指数幂的运算性质，应首先将小数化为分数，根式转化为指数幂的形式，负指数幂转化为正指数幂，再根据指数幂的运算性质求解解：(1)原式 .1 123 227505()=491=0793(2)原式 .112346=91(3)原式 236.来源:1 11 113 3266362 2()2=【例 52】化简下列各式：(1) ；(2) ；(3) .1374a1324()xy23654xy解：(1) .1137374242=a(2) .9()xyyx(3
10、) .12515232 31233366442565464()=yxy辨误 区 化简时注意运算顺序化简时要弄清开方、乘方等的运算顺序，同时注意运算性质及乘法公式的应用6知值求值问题已知代数式的值求其他代数式的值，通常又简称为“知值求值” ，解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式的特点，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值要注意正确地变形，像平方、立方等以及一些公式的应用问题，还要注意开方时的取值符号问题例如，已知 ，求下列各式的 值：12=3a(1)aa 1 ；(2)a 2a 2 ；(3) .321a显然，从已知条件中解出 a 的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的
11、，而应设法从整体寻求结果与条件 的联系，进而整体代入求值12=3将 两边平方，得 aa 1 29，即 aa 1 7.12=3a再将上式平方，有 a2a 2 249，即 a2a 2 47.由于 ，所以有132()aa 1 18.3 122211)aa【例 61】已知 2x2 x 5 ，求下列各式的值：(1)4x4 x ；(2)8 x8 x .来源:解：(1)4 x4 x (2 2)x(2 2)x(2 x)2 (2x )2(2 x)222 x2x (2 x )22(2 x2 x )225 2223.(2)8x8 x (2 3)x(2 3)x (2 x)3(2 x )3(2 x2 x )(2x)22 x2x (2 x )2(2 x2 x )(4x 4x 1)5 (231)110.析规律 平方在知值求值中的应用遇到式子中含有指数互为相反数的数，通常用平方进行解决，平方后观察条件和结论的关系，变形求解即可本题中用到了两个公式(ab) 2 a22abb 2，a 3b 3(ab)(a2ab b 2)【例 62】已知 a，b 是方程 x26x40 的两根，且 ab0，求 的值分析：观察所求式子，将所求式子平方后出现了 ab 和 ab 的形式又 a，b 为方程的两根，所以可利用根与系数的关系求解解：由根与系数的关系可得 =,4.baab0， .又 .2621=05b .15a
