考研数学历年真题(1987-2012)年数学一_可直接打印(纯试题).pdf

1、1987 年全国 硕士研 究生入学 统一考 试 数学( 一) 试卷 一、填空题( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分. 把答案填在题中横线上) (1) 当 x =_ 时,函数 2 x yx = 取 得极 小值. (2) 由曲线 ln yx = 与两 直线 e1 yx =+ 及 0 y = 所围 成的平 面图 形的 面积 是_. 1 x = (3) 与两直 线 1 yt = + 及 121 111 xy z + = = 都平 行且 过原 点的 平面 方程为_. 2 zt = + (4)设 L 为 取正 向的 圆周 22 9, xy += 则曲 线积分 2 (2 2 ) ( 4

2、) L xy y dx x x dy + = _. (5) 已知三维向量空间的基底为 123 (1,1, 0), (1, 0,1), (0,1,1), = = = 则向量 (2,0,0) = 在此基底下的坐标 是_. 二、( 本题满分 8 分) 求正的 常数 a 与 , b 使等式 2 2 0 0 1 lim 1 sin x x t dt bx x at = + 成立. 三、( 本题满分 7 分) (1) 设 f 、 g 为连续 可微 函数, ( , ), ( ), u f x xy v g x xy = = + 求 ,. uv xx (2) 设矩阵 A 和 B 满足关 系式 2, + AB

3、= A B 其中 301 1 1 0, 014 = A 求 矩阵 . B 四、( 本题满分 8 分) 求微分 方程 2 6 (9 ) 1 y y ay + + = 的 通解, 其 中常数 0. a 五、 选择题( 本题共 4 小题, 每小题 3 分, 满分 12 分. 每小题给出的四个选项 中, 只有一个符合题目要求, 把所 选项 前的字母填在题后的 括号 内) (1)设 2 () () lim 1, () xa fx fa xa = 则在 xa = 处 (A) () fx 的导数存 在, 且 () 0 fa (B) () fx 取 得极 大值 (C) () fx 取 得极 小值 (D) ()

4、 fx 的导数不 存在 (2) 设 () fx 为 已知 连续 函数 0 , () , s t I t f tx dx = 其中 0, 0, ts 则 I 的值 (A)依赖 于 s 和t (B)依 赖于 s 、 t 和 x (C)依 赖于t 、 x ,不依 赖于 s (D)依赖 于 s ,不依 赖于t (3)设常数 0, k 则 级数 2 1 ( 1) n n kn n = + (A)发散 (B)绝对 收敛 (C)条件 收敛 (D)散 敛性与 k 的 取值 有关 (4) 设 A 为 n 阶方阵 ，且 A 的 行列式| | 0, a = A 而 * A 是 A 的 伴随 矩阵 ，则 * | A

5、等于 (A) a (B) 1 a(C) 1 n a (D) n a 六、 （本题满分 10 分） 求幂级 数 1 1 1 2 n n n x n = 的收敛 域， 并求 其和函 数. 七、 （本题满分 10 分） 求曲面 积分 2 (8 1) 2(1 ) 4 , I x y dydz y dzdx yzdxdy =+ 其中 是由曲线 11 3 () 0zy y fx x = = = 绕 y 轴旋转一 周而成 的曲面,其法 向量与 y 轴正向 的夹角 恒大 于 . 2 八、 （本题满分 10 分） 设函数 () fx 在闭区间0,1 上可微, 对于0,1 上的每 一个 , x 函数 () fx

6、的值都在开区间 (0,1) 内, 且 () fx 1, 证明在 (0,1) 内 有且 仅有 一个 , x 使得 () . fx x =九、 （本题满分 8 分） 问 , ab 为何 值时,现线 性方 程组 1234 234 2 34 1 23 4 0 221 ( 3) 2 32 1 xxxx xxx x a x xb x x x ax += += + = + += 有唯一 解, 无解, 有 无穷 多解? 并求出 有无 穷多 解时 的通解. 十、填空题( 本题共 3 小题, 每小题 2 分, 满分 6 分. 把答案填在题中横线上) (1) 设在一次实验中, 事件 A 发生的概率为 , p 现进行

7、 n 次独立试验, 则 A 至少发生一次的概 率为_; 而事件 A 至多 发生 一次 的概 率为_. (2)有两个 箱子,第 1 个 箱子有 3 个白 球,2 个 红球, 第 2 个箱子 有 4 个 白球,4 个红球.现从 第 1 个箱 子中 随机 地取 1 个球 放到 第 2 个箱 子里, 再 从第 2 个 箱子 中取出 1 个球, 此 球是 白球 的概 率为_. 已 知上 述从第 2 个 箱子 中取出 的球 是白 球, 则 从第一 个 箱子 中取 出的 球 是白 球的概 率为_. (3) 已知 连续随 机变量 X 的 概率 密度函数 为 2 21 1 () e , xx fx + = 则

8、X 的 数学期望 为_, X 的 方差 为_. 十一、 （本题满分 6 分） 设随机 变量 , XY 相互 独立,其概率 密 度函 数分 别为 () X fx = 1 001 x 其它 , () Y fy = e 0 y 0 0 y y , 求 2 Z XY = + 的 概率 密度 函数. 1988 年全国 硕士研 究生入学 统一考 试 数学( 一) 试卷 一、( 本题共 3 小题, 每 小题 5 分, 满分 15 分) (1) 求幂级 数 1 ( 3) 3 n n n x n = 的收敛 域. (2) 设 2 () e , () 1 x fx f x x = = 且 () 0 x ,求 ()

9、 x 及其定 义域. (3)设 为 曲面 2 22 1 xyz += 的外侧,计 算曲 面积分 3 33 . I x dydz y dzdx z dxdy =+ 二、填空题( 本题共 4 小题, 每小题 3 分, 满分 12 分. 把答案填在题中横线上) (1) 若 2 1 ( ) lim (1 ) , tx x ft t x = + 则 () ft = _. (2) 设 () fx 连 续且 3 1 0 () , x f t dt x = 则 (7) f =_. (3)设周期为 2 的周期函数,它在区间 ( 1,1 上定义为 () fx= 2 2 x10 01 x x = 则函 数 () f

10、x 在点 0 x 处 (A)取得 极 大值 (B)取 得极 小值 (C)某邻 域内 单调 增加 (D)某 邻域内 单调 减少 (3) 设空间 区域 2 22 2 2 22 2 12 : , 0, : , 0, 0, 0, x y z Rz x y z Rx y z + + 则 (A) 12 4 xdv dv = (B) 12 4 ydv ydv = (C) 12 4 zdv zdv = (D) 12 4 xyzdv xyzdv = (4) 设幂级 数 1 ( 1) n n n ax = 在 1 x = 处 收敛, 则此 级数在 2 x = 处 (A)条 件收敛 (B)绝对 收敛 (C)发散 (

11、D)收敛 性 不能 确定 (5) n 维向量 组 12 , , , (3 ) s sn 线性无 关的 充 要条件 是 (A)存 在一组 不全 为零 的数 12 , s kk k 使 11 2 2 0 ss kk k + + (B) 12 , s 中任 意两 个向 量均 线性 无关 (C) 12 , s 中存 在一 个向 量不 能用 其余向 量线 性表 示 (D) 12 , s 中存在一 个向 量都 不能 用其余 向量 线性 表示 四、( 本题满分 6 分) 设 () () , xy u yf xg yx = + 其中 函数 f 、 g 具有二 阶连 续导数,求 22 2 . uu xy x x

12、y + 五、( 本题满分 8 分) 设函数 () y yx = 满足微分方程 3 2 2e , x yyy += 其图形在点 (0,1) 处的切线与曲线 2 1 yx x = 在该点 处 的切线 重合,求函 数 ( ). y yx =六、 （本题满分 9 分） 设位 于点 (0,1) 的质点 A 对 质点 M 的引力 大小为 2 (0 k k r 为常 数, r 为 A 质点与 M 之 间的距离), 质点 M 沿 直线 2 2 y xx = 自 (2,0) B 运 动到 (0,0), O 求在此 运动 过程中 质点 A 对 质点 M 的引力 所作的 功. 七、 （本题满分 6 分） 已知 ,

13、= AP BP 其中 1 00 100 0 0 0 , 2 1 0, 00 1 2 1 1 = = BP 求 5 ,. AA八、 （本题满分 8 分） 已知矩 阵 200 001 01x = A 与 20 0 00 00 1 y = B 相似. (1) 求 x 与 . y (2) 求一个 满足 1 = P AP B 的可 逆阵 . P 九、 （本题满分 9 分） 设函数 () fx 在 区间, ab 上连续,且在 (,) ab 内有 ( ) 0, fx 证明: 在 (,) ab 内存 在唯 一的 , 使曲线 () y fx = 与两直 线 ( ), y f xa = = 所围平 面图 形面 积

14、 1 S 是 曲线 () y fx = 与两直 线 ( ), y f xb = = 所围平 面图形 面积 2 S 的 3 倍. 十、填空题( 本题共 3 小题, 每小题 2 分, 满分 6 分. 把答案填在题中横线上) (1)设在三 次独 立试 验中, 事件 A 出 现的 概率 相等,若已 知 A 至少出 现一 次的 概率 等于 19 , 27 则事件 A 在 一次 试验 中出现 的概 率是_. (2)若在区 间 (0,1) 内任取 两个 数, 则事件”两数 之和 小于 6 5 ” 的概率为_. (3)设随机 变量 X 服 从均 值为 10,均方 差为 0.02 的正 态分布,已知 2 2 1

15、 ( ) e , (2.5) 0.9938, 2 u x x du = = 则 X 落在 区间 (9.95,10.05) 内 的概 率为_. 十一、 （本题满分 6 分） 设随机 变量 X 的概率 密度 函数 为 2 1 () , (1 ) X fx x = 求随机 变量 3 1 YX = 的概 率密 度函数 ( ). Y fy 1989 年全国 硕士研 究生入学 统一考 试 数学( 一) 试卷 一、填空题( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分. 把答案填在题中横线上) (1) 已知 (3) 2, f = 则 0 (3 ) (3) lim 2 h f hf h = _. (2

16、)设 () fx 是 连续 函数, 且 1 0 ( ) 2 () , f x x f t dt = + 则 () fx=_. (3) 设平面 曲线 L 为 下半 圆周 2 1, yx = 则曲线 积分 22 () L x y ds + =_. (4)向量场 div u 在点 (1,1, 0) P 处的 散度 div u =_. (5) 设矩阵 300 100 1 4 0, 0 1 0, 003 001 = = AI 则 矩阵 1 ( 2) AI =_. 二、 选择题( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分. 每小题给出的四个选项 中, 只有一个符合题目要求, 把所 选项 前的字

17、母填在题后的 括号 内) (1) 当 0 x 时, 曲线 1 sin yx x = (A)有且 仅 有水 平渐 近线 (B)有 且仅 有铅 直渐 近线 (C)既 有水 平渐 近线,又有 铅直 渐 近线 (D)既无 水 平渐 近线, 又 无铅直 渐 近线 (2)已知曲 面 22 4 z xy = 上点 P 处的切 平 面平行 于平 面 2 2 1 0, x yz + += 则点的 坐标 是 (A) (1, 1, 2) (B) ( 1,1, 2) (C) (1,1, 2) (D) ( 1, 1, 2) (3)设线性 无关 的函 数都 是 二阶非 齐次 线性 方程 的解 是任意 常数,则该 非齐 次

18、方程 的 通解 是 (A) 11 2 2 3 cy cy y + (B) 1 12 2 12 3 () cy cy c c y + + (C) 11 2 2 1 2 3 (1 ) cy cy c c y + (D) 11 2 2 1 2 3 (1 ) cy cy c c y + + (4) 设函数 2 ( ) , 0 1, fx x x = 而 1 ( ) sin , , n n Sx b n x x = = + 其中 1 0 2 ( ) sin , 1, 2, 3, , n b f x n xdx n = = 则 1 () 2 S 等于 (A) 1 2 (B) 1 4 (C) 1 4(D)

19、1 2(5) 设 A 是 n 阶矩阵,且 A 的行 列式 0, = A 则 A 中 (A)必有 一 列元 素全为 0 (B)必 有两 列元 素对 应成 比例 (C)必有 一列 向量 是其 余列 向量的 线性 组合 (D)任 一列向 量是 其余 列向 量的线 性组 合 三、( 本题共 3 小题, 每 小题 5 分, 满分 15 分) (1)设 (2 ) ( , ), z f x y g x xy =+ 其中 函数 () ft 二阶 可导, (,) guv 具有 连 续二 阶偏 导数, 求 2 . z xy (2)设曲线 积分 2 () c xy dx y x dy + 与 路径 无关, 其中 (

20、) x 具有连 续的 导数,且 (0) 0, = 计算 (1,1) 2 (0,0) () xy dx y x dy + 的值. (3)计算三 重积 分 ( ), x z dv + 其中 是由 曲面 22 z xy = + 与 22 1 z xy = 所围 成的 区域. 四、( 本题满分 6 分) 将函数 1 ( ) arctan 1 x fx x + = 展为 x 的幂 级数. 五、( 本题满分 7 分) 设 0 ( ) sin ( ) ( ) , x f x x x t f t dt = 其中 f 为 连续 函数, 求 ( ). fx 六、 （本题满分 7 分） 证明方 程 0 ln 1 c

21、os 2 e x x xdx = 在区间 (0, ) + 内有 且仅 有两个 不同 实根. 七、 （本题满分 6 分） 问 为何 值时,线性 方程 组 13 xx += 12 3 422 xx x +=+ 12 3 6 4 23 xx x +=+ 有解, 并 求出 解的 一般 形式. 八、 （本题满分 8 分） 假设 为 n 阶 可逆 矩阵 A 的一个 特征值,证明 (1) 1 为 1 A 的特 征值. (2) A 为 A 的 伴随 矩阵 * A 的特征 值. 九、 （本题满分 9 分） 设半径 为 R 的球面 的球 心在 定球面 2 22 2 ( 0) x y z aa += 上, 问当 R

22、 为何 值时, 球面 在定 球面 内部 的那 部分的 面积 最大? 十、填空题( 本题共 3 小题, 每小题 2 分, 满分 6 分. 把答案填在题中横线上) (1) 已知随机事件 A 的概率 ( ) 0.5, PA= 随机事件 B 的概率 ( ) 0.6 PB = 及条件概率 ( | ) 0.8, PB A = 则和事件 AB 的概率 () PA B =_. (2)甲、乙 两人 独立 地对 同 一目标 射击 一次,其命 中率分 别为 0.6 和 0.5,现已 知目标 被 命中, 则 它是 甲射 中的概 率 为_. (3)若随机 变量 在 (1, 6) 上服从 均 匀分布,则方 程 2 10

23、xx + += 有 实根 的概率 是_. 十一、 （本题满分 6 分） 设随机变量 X 与Y 独立,且 X 服从均值为 1、标准差( 均方差) 为 2 的正态分布,而Y 服从标准 正态分布.试求 随机变 量 23 Z XY =+ 的概率 密度 函数. 1990 年全国 硕士研 究生入学 统一考 试 数学( 一) 试卷 一、填空题( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分. 把答案填在题中横线上) 2 xt = + (1) 过点 (1, 2 1) M 且与直 线 34 yt = 垂直的 平面 方程 是_. 1 zt = (2) 设 a 为 非零 常数, 则 lim( ) x x x

24、a xa + =_. (3)设函数 () fx= 1 01 1 x x ,则 ( ) ffx =_. (4)积分 2 22 0 e y x dx dy 的值等 于_. (5) 已知向 量组 12 3 4 (1, 2,3, 4), (2,3, 4,5), (3, 4,5,6), (4,5,6,7), = = = = 则该向 量组 的秩 是_. 二、 选择题( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分. 每小题给出的四个选项 中, 只有一个符合题目要求, 把所 选项 前的字母填在题后的 括号 内) (1) 设 () fx 是 连续 函数, 且 e ( ) () , x x F x f

25、t dt = 则 () Fx 等于 (A) e (e ) ( ) xx f fx (B) e (e ) ( ) xx f fx + (C) e (e ) ( ) xx f fx (D) e (e ) ( ) xx f fx + (2)已知函 数 () fx 具有任 意阶 导数,且 2 () () , f x fx = 则当 n 为 大于 2 的正 整数 时, () fx 的 n 阶 导数 () () n fx 是 (A) 1 ! ( ) n n fx +(B) 1 ( ) n nf x +(C) 2 ( ) n fx (D) 2 ! ( ) n n fx (3)设 a 为 常数, 则 级数 2

26、 1 sin( ) 1 n na n n = (A)绝 对收敛 (B)条件 收敛 (C)发散 (D)收 敛性与 a 的 取值 有关 (4) 已知 () fx 在 0 x = 的 某个 邻域 内连续,且 0 () (0) 0, lim 2, 1 cos x fx f x = = 则 在点 0 x = 处 () fx (A)不可 导 (B)可导, 且 (0) 0 f (C)取 得极 大值 (D)取得 极 小值 (5) 已知 1 、 2 是非齐次 线性 方 程组 = AX b 的两个不 同的解 1 , 、 2 是对应其 次线性 方程组 = AX 0 的基础 解析 1 , k 、 2 k 为 任意 常

27、数, 则 方程组 = AX b 的 通解(一般 解) 必是 (A) 12 11 2 1 2 () 2 kk + + (B) 12 11 2 1 2 () 2 kk + + + (C) 12 11 2 1 2 () 2 kk + + (D) 12 11 2 1 2 () 2 kk + + + 三、( 本题共 3 小题, 每 小题 5 分, 满分 15 分) (1)求 1 2 0 ln(1 ) . (2 ) x dx x + (2)设 (2 , sin ), z f x yy x = 其中 (,) f uv 具有 连续 的二 阶 偏导数,求 2 . z xy (3)求微分 方程 2 4 4e x

28、y yy + += 的 通解(一般解). 四、( 本题满分 6 分) 求幂级 数 0 (2 1) n n nx = + 的收敛 域, 并求 其 和函数. 五、( 本题满分 8 分) 求曲面 积分 2 S I yzdzdx dxdy = + 其中 S 是球面 2 22 4 xyz += 外 侧在 0 z 的部分. 六、 （本题满分 7 分） 设不恒 为常数的函数 () fx 在 闭区间, ab 上 连续,在 开区间 (,) ab 内可导,且 ( ) ( ). fa fb = 证明在 (,) ab 内 至少 存在一 点 , 使得 ( ) 0. f 七、 （本题满分 6 分） 设四阶 矩阵 1 1

29、0 0 2134 0 1 1 0 0213 , 0 0 1 1 0021 0 0 0 1 0002 = = BC 且矩阵 A 满 足关 系式 1 () = AE C B C E 其中 E 为四阶 单位 矩阵 1 , C 表示C 的逆矩 阵, C 表示C 的转置 矩阵. 将上述 关系 式化 简并 求矩 阵 . A八、 （本题满分 8 分） 求一个 正交 变换 化二 次型 222 1 2 3 12 13 23 444 4 8 f x x x xx xx xx =+ 成标准 型. 九、 （本题满分 8 分） 质点 P 沿着以 AB 为 直径 的半 圆周,从点 (1, 2) A 运动到 点 (3, 4

30、) B 的 过 程中受 变力 F 作用(见图). F 的大小 等 于点 P 与原点O 之 间的 距离, 其 方向垂 直于 线段 OP 且与 y 轴正向 的夹 角小 于 . 2 求变力 F 对质点 P 所作 的功. 十、填空题( 本题共 3 小题, 每小题 2 分, 满分 6 分. 把答案填在题中横线上) (1)已知随 机变 量 X 的概率 密 度函数 1 () e , 2 x fx x = + 则 X 的 概率 分布 函数 () Fx=_. (2)设随机 事件 A 、B 及 其 和事件 的 概率 分别是 0.4、 0.3 和 0.6, 若 B 表示 B 的对立 事件, 那么积 事件 AB 的

31、概率 () P AB =_. (3) 已知 离散型随 机变量 X 服从 参数为 2 的 泊松 () Poisson 分布,即 2 2e , 0,1, 2, , ! k PX k k k = = = 则 随机 变量 32 ZX = 的数学 期望 () EZ =_. 十一、 （本题满分 6 分） 设二维随机 变量 (,) XY 在区域 : 0 1, D x yx 内服从均匀分 布, 求关于 X 的边 缘概率密度 函数及随 机变 量 21 ZX = + 的 方差 ( ). DZ 1991 年全国 硕士研 究生入学 统一考 试 数学( 一) 试卷 一、填空题( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满

32、分 15 分. 把答案填在题中横线上) (1) 设 2 1 cos xt yt = + = ,则 2 2 dy dx =_. (2) 由方程 2 22 2 xyz x y z + += 所确定的函数 (, ) z zxy = 在点 (1, 0, 1) 处的全微分 dz =_.(3) 已知两条直线的方程是 12 123 21 : ;: . 1 0 1 2 11 xy z x yz ll + = = = = 则过 1 l 且平行于 2 l 的平面方程是 _. (4) 已知当 0 x 时 1 2 3 , (1 ) 1 ax + 与 cos 1 x 是 等价 无穷小,则常 数 a =_. (5) 设

33、4 阶方 阵 520 0 210 0 , 001 2 001 1 = A 则 A 的逆阵 1 A =_. 二、 选择题( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分. 每小题给出的四个选项 中, 只有一个符合题目要求, 把所 选项 前的字母填在题后的 括号 内) (1) 曲线 2 2 1e 1e x x y + = (A)没有 渐 近线 (B)仅 有水 平渐 近线 (C)仅 有铅 直渐 近线 (D)既 有水平 渐近 线又 有铅 直渐近 线 (2) 若连续 函数 () fx 满 足关 系式 2 0 ( ) ( ) ln 2, 2 t f x f dt = + 则 () fx 等于 (A

34、) e ln 2 x(B) 2 e ln 2 x(C) e ln 2 x + (D) 2 e ln 2 x + (3) 已知级 数 1 21 11 ( 1) 2, 5, n nn nn aa = = = 则级数 1 n n a = 等于 (A)3 (B)7 (C)8 (D)9 (4) 设 D 是 平面 xoy 上以 (1,1) 、 ( 1,1) 和 ( 1, 1) 为顶 点的三 角形 区域 1 , D 是 D 在第一 象限的 部分,则 ( cos sin ) D xy x y dxdy + 等于 (A) 1 2 cos sin D x ydxdy (B) 1 2 D xydxdy (C) 1

35、4 ( cos sin ) D xy x y dxdy + (D)0 (5)设 n 阶 方阵 A 、 B 、C 满 足 关系式 , = ABC E 其中 E 是 n 阶单位 阵, 则 必有 (A) = ACB E (B) = CBA E (C) = BAC E (D) = BCA E 三、( 本题共 3 小题, 每 小题 5 分, 满分 15 分) (1)求 2 0 lim (cos ) . x x + (2)设 n 是 曲面 2 22 23 6 x yz + += 在点 (1,1,1) P 处的指 向 外侧的 法向 量,求函 数 22 68 xy u z + = 在点 P 处沿方 向 n 的

36、 方向 导数. (3) 22 ( ), x y z dv + 其中 是由曲 线 2 2 0 yz x = = 绕 z 轴旋 转一 周而 成的 曲面 与平面 4 z = 所围 城的 立体. 四、( 本题满分 6 分) 过点 (0, 0) O 和 ( ,0) A 的曲 线族 sin ( 0) y a xa = 中, 求 一条曲 线 , L 使沿该 曲线O 从到 A 的 积分 3 (1 ) (2 ) L y dx x y dy + + 的值最 小. 五、( 本题满分 8 分) 将函数 ( ) 2 ( 1 1) fx x x =+ 展 开成以 2 为周 期的 傅 里叶 级数, 并 由此 求级数 2 1

37、 1 n n = 的和. 六、 （本题满分 7 分） 设函数 () fx 在0,1 上连续, (0,1) 内 可导, 且 1 2 3 3 ( ) (0), f x dx f = 证明在 (0,1) 内 存在 一点 , c 使 ( ) 0. fc =七、 （本题满分 8 分） 已知 1 23 4 (1,0, 2,3), (1,1,3,5), (1, 1, 2,1), (1, 2, 4, 8) aa = = =+ = + 及 (1,1, 3, 5). b = + (1) a 、b 为何 值时, 不 能表 示成 1234 , 的线性 组合? (2) a 、b 为何 值时, 有 1234 , 的唯一

38、的 线性表 示式? 写出 该表 示式 . 八、 （本题满分 6 分） 设 A 是 n 阶正定 阵,E 是 n 阶单 位阵, 证明 + AE 的行列 式大 于 1. 九、 （本题满分 8 分） 在上半平面求一条向上凹的曲线, 其上任一点 (, ) Pxy 处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 长度的倒数 (Q 是法线 与 x 轴的交 点),且曲线 在 点 (1,1) 处 的切 线与 x 轴平行. 十、填空题( 本题共 2 小题, 每小题 3 分, 满分 6 分. 把答案填在题中横线上) (1)若随机 变量 X 服 从均 值为 2、方 差为 2 的 正态 分布,且 2 4 0.3, PX 其它求

39、随机 变量 2 ZX Y = + 的 分布 函数. 1992 年全国 硕士研 究生入学 统一考 试 数学( 一) 试卷 一、填空题( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分. 把答案填在题中横线上) (1) 设函数 () y yx = 由 方程 e c o s ()0 xy xy + += 确定, 则 dy dx =_. (2) 函数 2 22 ln( ) u xyz =+ 在点 (1, 2, 2) M 处的梯 度 grad M u =_. (3) 设 () fx= 2 1 1 x +0 0 x x (A)发散 (B)条件 收敛 (C)绝对 收敛 (D)收 敛性与 a 有关 (3

40、) 在曲线 23 , x ty t z t = = 的所 有切 线中,与平 面 24 x yz + += 平行的 切线 (A)只有 1 条 (B)只有 2 条 (C)至 少有 3 条 (D)不存 在 (4) 设 32 () 3 , fx x x x = + 则使 () (0) n f 存 在的 最高 阶数 n 为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (5)要使 12 10 0, 1 21 = = 都是线 性方 程组 = AX 0 的解,只要 系数 矩阵 A 为 (A) 212 (B) 20 1 01 1 (C) 10 2 01 1 (D) 01 1 422 01 1 三、( 本题共 3 小

41、题, 每 小题 5 分, 满分 15 分) (1)求 2 0 e sin 1 lim . 11 x x x x (2)设 22 (e sin , ), x z f yx y = + 其中 f 具 有二 阶连 续偏导 数, 求 2 . z xy (3)设 () fx= 2 1 e x x +0 0 x x ,求 3 1 ( 2) . f x dx 四、( 本题满分 6 分) 求微分 方程 3 23e x y yy + = 的 通解. 五、( 本题满分 8 分) 计算 曲面积分 32 32 32 ( ) ( ) ( ), x az dydz y ax dzdx z ay dxdy + + + 其中

42、 为上半球面 222 z axy = 的 上侧. 六、 （本题满分 7 分） 设 ( ) 0, (0) 0, fx f 有 12 1 2 ( ) ( ) ( ). fx x fx fx + +七、 （本题满分 8 分） 在变力 F yzi zxj xyk =+ 的作用下, 质点由原点沿直线运动到椭球面 2 22 222 1 xyz abc += 上第一卦限的点 ( , , ), M 问当 、 、 取何值 时, 力 F 所做 的功W 最大? 并求出W 的最大 值. 八、 （本题满分 7 分） 设向量 组 123 , 线性相 关, 向 量组 234 , 线性无 关, 问: (1) 1 能否由 23

43、 , 线性 表出? 证 明你 的结论. (2) 4 能否由 123 , 线性 表出? 证 明你 的结论. 九、 （本题满分 7 分） 设 3 阶矩 阵 A 的 特征 值为 12 3 1, 2, 3, = = = 对应的特 征向 量依 次为 12 3 111 1, 2, 3, 149 = = = 又向量 1 2. 3 = (1)将 用 123 , 线性表 出. (2) 求 ( n n A 为自 然数). 十、填空题( 本题共 2 小题, 每小题 3 分, 满分 6 分. 把答案填在题中横线上) (1) 已知 11 ( )( )( ), ( ) 0 , ( )( ), 46 P A P B P C P AB P AC P BC = = = = = = 则事件 A 、 B 、 C 全不发生的概率为 _. (2)设随机 变量 X 服 从参 数为 1 的 指数 分布,则数 学期 望 2 e X EX + =_. 十一、 （本题满分 6 分） 设 随机变 量 X 与Y 独立, X 服从正态 分布 2 ( , ), NY 服从 , 上的 均匀分布,试求 Z XY = + 的概 率分 布密度( 计算 结果 用标 准正 态分布 函数 表示,其中 2 2 1 () e ) 2 t x x dt