1、- 1 -1997 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)（1）已知_. axaxosf 处 连 续 ， 则， 在， ， 02（2）设 _.则,1ln2xy0xy（3） _.d4（4）设 _.028x（5）已知向量组 的秩为 2，则 =_.),540(,0,21, 3,1 ），（） ，（ t t二、选择题1.设 是同阶无穷小，则 为（ ）nxex与时 ， tan,0n（A）1 （B）2 （C）3 （D）4(2)设在区间 ,b上 ()0,(),()0.fffx记1231() (),2baSfxdSaSfba则（
2、）(A) 3 (B) 31S(C) 312 (D) 2 (3)已知函数 对一切 x满足 （ ）fy则若 ,0,02 xfexff x(A) 的 极 大 值是 xf0(B) 的 极 小 值是(C) ） 的 拐 点（是， xfyxf)(0(D) 的 拐 点也 不 是 曲 线的 极 值 ，不 是 xfyf)(,0(4)设 2sin()e,xtFd则 Fx（ ）(A)为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零 (D)不为常数（5）.设 （ ）为则 ,0,0,22xfgxfxxg- 2 -（A） （B）0,2x0,2x（C） （D ）, ,三、（本题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）（1）求极限
3、 .sin14lim2xx（2）设 所确定，求5arct2eyy由 .dxy（3）计算 .)1(tn2dxex（4）求微分方程 的通解。0232yxy（5）已知 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。xxx eeey 2321 ,（6）已知 是三阶单位矩阵，求矩阵EABA其 中， 且 ,102 .B四、（本题满分 8 分）取何值时，方程组 无解，有惟一解或由无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解。15422321x五、（本题满分 8 分）设曲线 的极坐方程为 上的任一点， 上一定点，若极径LLrMr为, LM为， 02所围成的曲边扇形面积值等于 两点间弧长值的一半，求曲线 的方
4、程。OM与 曲 线、0 ,0上 L六、（本题满分 8 分）设函数 在闭区间0,1上连续，在开区间（0,1）内大于零，并满足 又曲线xf ，为 常 数axfxf23所围成的图形 的面积值为 2，求函数 ，并问 为何值时，图形 轴旋转一周所0,1yy与 SfyaS绕得的旋转体的体积最小。七、（本题满分 8 分）已知函数 连续，且 的连续性xfxxdtfxxf 并 讨 论求， 设 ,2lim100- 3 -八、（本题满分 8 分）就 的不同取值情况，确定方程 在开区间 内根的个数，并证明你的结论。k kxsin2），（ 2,01996 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共 5 小
5、题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)（1）设_.0x32y)(则xey（2） _.d21）（3）微分方程的 通解为_.05y（4） _.)1ln(si)31ln(silmxxx（5）由曲线 所围图形的面积 _.2,yy及 S二、选择题1.设 高阶的无穷小，则（ ）22)1(0xbaxex是 比时 ， （A） （B）,1 1,ba（C） （D）2 (2)设函数 在区间 内有定义，若当 时，恒有 必是 的（ ）xf），（ ),(x0,2xf则 xf(A)间断点 (B)连续而不可导的点 (C)可导的点，且 (D)可导的点，且 0)(f 0f(3)设 处处可导，则（ ）)(xf(
6、A) (B)xfxx lim,lim必 有当 xfxfxx lim,lim必 有当(C) (D) f必 有当 必 有当(4)在区间 （ ）0cos214xx） 内 ， 方 程，（(A)无实根 (B)有且仅有一个实根 (C)有且仅有两个实根 (D)有无穷多个实根（5）.设 所围平),()()(,)(, xgymxfgbaxgf ， 由 曲 线为 常 数上 连 续 ， 且在 区 间 bxaf及,面图形绕直线 旋转体体积为（ ）my- 4 -（A） （B）ba dxgfxfm)()(2 ba dxgfxfm)()(2（C） （D）g g三、（本题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）（1）计
7、算 .1202dxen（2）求 .si（3）设 其中 具有二阶导数，且,)(20tfyuxt )(f .,0)(2dxyuf求（4）求函数 点处带拉格朗日型余项 阶泰勒展开式。01x在 n（5）求微分方程 的通解。2y（6）设有一正椭圆柱体，其地面的长、短轴分别为 ，用过此柱体底面的短轴与底面成 的平ba2、 ）角 （ 20面截此柱体，得以锲形体（如图），求此锲形体的体积 .V四、（本题满分 8 分）计算不定积分 .)1(arctn2dx五、（本题满分 8 分）设函数 .2,1,62,)(32xxf（1）写出 的反函数 的表达式；)(f)(g（2） 是否由间断点、不可导点，若有，指出这些点。x
8、g- 5 -六、（本题满分 8 分）设函数 由方程 所确定，试求 的驻点，并判别它是否为极值点。)(xy123xyy )(xy七、（本题满分 8 分）设 在区间 上具有二阶导数，且 试证明：)(xf,ba ,0)(,0)(bfabfa存在 .0)(, ff及） ， 使（） 和（八、（本题满分 8 分）设 为连续函数，)(xf（1）求初值问题 为 正 的 常 数 ；其 中的 解 axyyfax),(0),(（2）若 ).1()0)() axekxyxkxf 时 ， 有， 证 明 ： 当为 常 数- 6 -1995 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分
9、,满分 15 分.把答案填在题中横线上)（1）设_.yxy则1sin)co(2（2）微分方程 _.的 通 解 为（3）曲线 处的切线方程为_.213tyx（4） _.)(lim222 nLnn（5）由曲线 的渐近方程为_.xey二、选择题1.设 为连续函数，且 有间断点，则（ ）)()( xfxf ） 内 有 定 义 ，） 在 （和 )(,0)(xf（A） （B）必 有 间 断 点 必 有 间 断 点2)(（C） （D）必 有 间 断 点)(xf 必 有 间 断 点）（ )(xf(2)曲线 轴所围图形的面积可表示为（ ）xy与)21(A) (B)20(dx 2110 )()( dxxdx(C)
10、 (D) 211 )()dxx2(3)设 在 内可导，且对任意 （ ）)(xf），（ 则时 ， 都 有当 ),(, 212121 xff(A) (B)0)(,f对 任 意 0)(,x对 任 意(C) (D) 单 调 增 加函 数 x 单 调 增 加函 数 f(4)设函数 的大小顺序是（ ）)1()0(1)(,)(1,)( fffxff 或、则上在(A) (B) 00 0f(C) (D)()(ff )()(ff（5）.设 （ ）处 可 导 ， 则 必 有在若 使）（可 导 ， 0)(|),sin|1xFxxFx- 7 -（A） （B） 0)(f 0)(f（C） （D） 三、（本题共 6 小题，每
11、小题 5 分，满分 30 分）（1）求 .)cos1(lim0xx（2）设函数 由方程 确定，其中 具有二阶导数，且yyfe)( f .12dxyf， 求（3）设 .)(),(,2ln)1(2 dxxfxf 求且（4）设 试讨论 在 处的连续性。,0,0arct)(2xf )(f0（5）求摆线 .sino1） 的 弧 长一 拱 （ ttyx（6）设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 已知阻力与速度成正比（比例常数为 1），问 为多少时此,0vt t质点的速度为 ？并求到此时刻该质点所经过的路程。30v四、（本题满分 8 分）求函数 的最大值和最小值。dtexf20)()五、（本题满分 8 分
12、）设 的一个解，求此微分方程满足条件 的特解。xypxeyx )(是 微 分 方 程 021nxy- 8 -六、（本题满分 8 分）如图，设曲线 的方程为 分别为该曲线在点 处的切线和法线，已知线LMPTyxfy,0),(又且 ）（ 0,yx段 的长度为 试推导出点 的坐标表达式。MP)(),(1000023 x其 中）（ ），（ 七、（本题满分 8 分）设 00 .)(,sin)( dxfdtxf计 算八、（本题满分 8 分）设 .)(,)(,1)(lim0 xfxfxf 证 明且- 9 -1994 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 1
13、5 分.把答案填在题中横线上)（1）若_. axaexfax ） 上 连 续 ， 则，在 （0,12sin)(（2）设函数 由参数方程 _.)(y223),(dxytyn所 确 定 ， 则（3） _.xdtfd3cos0（4） _.ex23（5）微分方程 的通解为_.0)4(2dyxyd二、选择题1.设 则（ ）)()1lnim220xbax（A） （B）5, 2,0ba（C） （D）2ba 1(2)设 （ ）处 的在 点则 1)(,13)(2xfxf(A)左、右导数都存在 (B)左导数存在，但右导数不存在(C)左导数不存在，但右导数存在 (D) )左、右导数都不存在(3)设 是满足微分方程
14、（ ）)(xfy 在则的 解 ， 且 )(,0(0sin xfxfeyx(A) (B)的 某 个 领 域 内 单 调 增 加0 的 某 个 领 域 内 单 调 减 少0(C) (D) 出 取 得 极 小 值x 处 取 得 极 大 值x(4)曲线 的渐近线有（ ）)2(1arctn21xeyx(A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条- 10 -（5）.设 则有（ ） 24322434 ,)cosin(,)cos(in,cos1in dxxPdxNxdM（A） （B）PN NM（C） （D）三、（本题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分）（1）设 .1),( 2dxyfyxf
15、 ， 求阶 导 数 不 等 于具 有 二 阶 导 数 ， 且 其 一其 中（2）计算 .10234d（3）计算 )(tanlim（4）计算 .si2ix（5）如图，设曲线方程为 ，梯形 的面积为 ，曲边梯形 的面积为 ，为 的坐标为21yOABCDOABC1DA.3,0,1Da证 明） ，（四、（本题满分 9 分）设 当时，方程 有且仅有一个解，求 的取值范围0x12xkk五、（本题满分 9 分）设 ,423xy（1）求函数的增减区间及极值；- 11 -（2）求函数图像的凹凸区间及拐点；（3）求其渐近线；（4）作出其图形。六、（本题满分 9 分）求微分方程 的通解，其中常数xyasin2 .0
16、a七、（本题满分 9 分）设 010.)()(11,0)( dxfxfxf 时 ，当上 连 续 且 递 减 ， 证 明 ：在八、（本题满分 8 分）求曲线 旋转所得的旋转体体积。3|1|32 yxy 线轴 围 成 的 封 闭 图 形 绕 直与- 12 -1993 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)（1）_.xxlnim0（2）函数 由方程 _.)(y dxyxyex所 确 定 ， 则0)sin(22（3）设 的单调减少区间是_.)(,012FdtxF则 函 数（4） _.xcostan（5）已知曲线 ，且其
17、上任一点 处的切线斜率为 _.），过 点 （ 210)(fy ）（ yx, )(,1(2xfxin则二、选择题1.当 则（ ）是时 ， 变 量 xxsin102（A）无穷小 （B）无穷大（C）有界的，但不是无穷小 （D）有界的，但不是无穷大(2)设 （ ）)(1,1,2|)( xfxxxf 处 函 数则 在 点 (A)不连续 (B)连续，但不可导(C)可导，但导数不连续 (D) )可导，且导数连续(3)已知 （ ） 为（则）（设 xFxdtfxFxf ,20(),21,0)( 12(A) (B),3x 21,03x(C) (D) 21,03x ,3x(4)设常数 内零点个数为（ ），在 （函
18、数 0ln)(, kexfk(A)3 (B)2 (C)1 (D)0（5）.设 则有（ ） 内，在 （则） 内，在 （ 0)(,0)(,)(0),() xffffxf- 13 -（A） （B）0)(,)(xff 0)(,)(xff（C） （D ）三、（本题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分）（1）设 .),(sin 22 dxyfxfy具 有 二 阶 导 数 ， 求其 中（2）求 .10lim2x（3）求 .cos40dx（4）求 .103（5）求微分方程 满足初始条件求0)cos2(2 dxydx）（ .0的 特 解xy四、（本题满分 9 分）设二阶常数系数线性微分方程求 的一个特解
19、为求 试确定常数 并xeya ,)1(2xxey， 求该方程的通解。五、（本题满分 9 分）设平面图形 由求A 体 积 。旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 的绕 直 线所 确 定 ， 求 图 形与 222 xAxyx六、（本题满分 9 分）作半径为求 的球外切正圆锥，问此圆锥的高求 为何值时，其体积求 最小，并求出该最小值。r hV七、（本题满分 6 分）设 .,0xaeax）证 明 （常 数八、（本题满分 8 分）设求 .)(max,2)(,0)(,0)( 00 fMadxffaxf a 其 中证 明 ：上 连 续 ， 且在- 14 -1992 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填
20、空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)（1）设_. 03 0),1( tt dxyffefyx ， 则）（可 导 ， 且其 中（2）函数 上的最大值为_.20cos在x（3）设 _.exslim20（4） _.1)(xd（5）由曲线 与直线 所围成的图形的面积 _.xeyexyS二、选择题1.当 则（ ）的是时 ， 2sin0x（A）低阶无穷小 （B）高阶无穷小（C）等价无穷小 （D）同阶但非等价的无穷小(2)设 （ ）则,0,)(2xxf(A) (B),)(2f）（ 0,)(2xxf） ，（(C) (D) )0,)(2xxf ,(2f，(3)当 （ ）
21、的 极 限时 ， 函 数 11xe(A)等于 2 (B)等于 0 (C)等 (D)不存在但不为 (4)设 内零点个数为（ ）2,)()(xxFdtfFxf ） 等 于（则）（连 续 ，(A) (B) (C) (D)442)(4f)(2xf（5）.若 则有（ ）有 一 个 原 函 数 为则的 导 函 数 是 ,sin)(xxf（A） （B） （C） （D）sin11cos1cos1三、（本题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分）- 15 -（1）求 .)63(lim21xx（2）设函数 .1)( 02的 值所 确 定 ， 求由 方 程 xyydxey（3）求 .123dx（4）求 .si
22、n0（5）求微分方程 .02)3的 通 解（ xdyy四、（本题满分 9 分）设 312.)2(,0,1)( dxfxef求五、（本题满分 9 分）求微分方程 .23的 通 解xey六、（本题满分 9 分）计算曲线 .210)1ln(2的 一 段 孤 的 长 度上 相 应 于 xxy七、（本题满分 6 分）求曲线 最 小 。所 围 成 的 平 面 图 形 面 积及 直 线使 该 曲 线 与 切 线的 一 条 切 线 2,0, xllxy八、（本题满分 8 分）- 16 -已知 .)()(,0)(,)( 212121 成 立恒 有和试 证 ： 对 任 意 的 二 正 数 xffxfxfxf 19
23、91 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)（1）设_.dyyx则31ln（2）曲线 的上凸间是 _.2xe（3）设 _.d12l（4）质点以速度 米每秒作直线运动，则从时刻 秒到 秒内质点所经过的路程等于_米.)sin(2t 21tt（5） _.xxe10lim二、选择题1.若曲线 （ ）是 常 数 ， 则） 处 相 切 ， 其 中，在 点 （和 baxybay ,11232 （A） （B）,0 3,（C） （D）3 1(2)设函数 （ ）xxdtfFxxf 02 ,2,)(,1,)( 则）（记，(A) (B
24、)21,3203xxF）（ 21,26703xxF）（(C) (D) )21,230xx）（ 21,203xx）（(3)设函数 （ ）的 极 大 点 ， 则是 函 数） 内 有 定 义 ，在 （ )(0)( ff (A) (B)的 驻 点必 是0x 的 极 小 点必 是 )(0xfx(C) (D)的 极 小 点必 是 )(f )(0f都 有对 一 切- 17 -(4)曲线 （ ）21xey(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线 (C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线（5）.如图， 轴上有一线密度为常数 ，长度为 的细杆，有一质量为 的质点到杆右端的距离为 ，已知引力系xlma
25、数为 ，则质点和细杆之间引力的大小为（ ）k（A） （B）012)(dxakmldxakm02)(（C） （D ）022)(lx202)(lx三、（本题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分）（1）设 .,sinco2dxyty求（2）计算 .)1(4（3）求 .)(sinlim20xxe（4）求 .id（5）求微分方程 .1)(的 特 解满 足 yxey四、（本题满分 9 分）利用导数证明：当 x1 时，有不等式 .1ln)(成 立x五、（本题满分 9 分）求微分方程 .cos的 通 解xy- 18 -六、（本题满分 9 分）曲线 .)2(1 体 的 体 积轴 旋 转 一 周 所 成
26、的 旋 转此 平 面 图 形 绕轴 围 成 一 平 面 图 形 ， 求和）（ yxxy七、（本题满分 9 分）如图， 分别是曲线 上的点， 均垂直 轴，且DA和 xxey2和 DCAB和 x.12: 的 面 积 最 大的 横 坐 标 ， 使 梯 形和， 求 点，： CBCB八、（本题满分 8 分）设函数 3.)(),0,)(,sin)()( dxfxfxfxxf 计 算且） 内 满 足，在 （- 19 -1990 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)（1）曲线 上对应于点点处的法线方程是_.tyx3sinco
27、6t（2）设 _.yxe则,1i.ta（3） _.dx10（4）下列两个积分的大小关系是： _123dxe.123dxe（5）设函数 _.)(,|,01)(fxf则 函 数二、选择题1.已知 （ ）是 常 数 ， 则其 中 babax,1lim2（A） （B）,1,（C） （D ）baba(2)设函数 （ ）等 于） 上 连 续 ， 则，在 （ dxfxf )()(A) (B) f(C) (D) )Cxf)( x(3)已知函数 具有任意阶导数，且 ，则当 为大于 2 的正整数时， 的 阶导数 （ 2)ff n)(xfn)(xfn）（）(A) (B) (C) (D)1)(!nxf1)(nxfnx
28、f2)(nxf2)(!(4)设 是连续函数，且 （ ） 等 于（， 则）（ FdtFex(A) (B) )(xfefx )(xff(C) (D)( )ex- 20 -（5）.设 （ ）的是则出 可 导 ，在其 中）（ )(0,)(,0)(0)(,0),( xFffxfxfxF （A）连续点 （B）第一类间断点（C）第二类间断点 （D ）连续点或间断点不能由此确定三、（本题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分）（1）已知 .,9)(limaax求 常 数（2）求由方程 .)()ln(2 dyxyyxy 的 微 分所 确 定 的 函 数 （3）求曲线 .)01的 拐 点x（4）计算 .)(
29、ln2d（5）求微分方程 满足条件0)ln(ldxyx .1的 特 解exy四、（本题满分 9 分）在椭圆 的第一象限部分上求一点 ，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小（其中12byaxP） .0,五、（本题满分 9 分）证明：当 .21arctn,0xx有 不 等 式六、（本题满分 9 分）设 ).1(,0,1ln)( xfxdtxf 求其 中七、（本题满分 9 分）过点 作抛物线 的切线，该切线与上述抛物线及 轴围成一平面图形，求此平面图绕 轴旋转）（ 0,1P2xy xx一周所围成旋转体的体积。- 21 -八、（本题满分 8 分）求微分方程 之通解，其中 为实数 . axe
30、y4a1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1) = _.xx2cotlim0(2) =_.snd(3)曲线 处的切线方程是_.xdtty00,21在 点(4) =_.)()()( fnxf 则设 (5) =_.10,2xfdtfx 则是 连 续 函 数 ， 且设(6) 应满足的关系是_.baxxbaf 与处 连 续 ， 则 常 数在设 0,sin2(7) _.dyy则设 ,ta二、计算题（每小题 4 分，满分 20 分.）(1)已知 .,rcsinex求(2) .l2xd求(3) .)cosi(m
31、10x求(4) .,artnl22dyy及求已 知 (5) 0102.,1 dxfxfff 求及已 知三、选择题(每小题 3 分,满分 18 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) （ ）xyx1sin0时 ， 曲 线设(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,也无铅直渐近线(2) （ ）04325352 cbaba， 则 方 程若(A)无实根 (B)有唯一实根 (C)有三个不同实根 (D)有五个不同实根(3)曲线 轴所围成的图形，绕 轴旋转一周所成的旋转体的体积为（ ）xx
32、y与)(cos x- 22 -(A) (B) (C) (D)222(4)设两函数 处取得极大值，则函数 （ ）axgxf都 在及 处在 axgfxF(A)必取极大值 (B)必取极小值 (C)不可能取极值 (D)是否取极值不能确定(5)微分方程 的一个特解应具有形式（式中 为常数）（ ）1xey ba,(A) (B) (C) (D)baexbaxaexe(6)设 的某个领域内有定义，则 处可导的一个冲分条件是（ ）f在)( f在(A) (B)存 在)(1limfhh 存 在hafh)()(lim0(C) (D)存 在af2)(0 存 在f四、(本题满分 6 分)求微分方程 .01012 的 解满
33、 足 yxeyx五、(本题满分 7 分)设 ，其中 为连续函数，求xdtfxf0sinf.xf六、(本题满分 7 分)证明方程 内有且仅有两个不同实根.002cos1l ，在 区 间xex七、（本题满分 11 分）对函数 填 写 下 表 ：,2xy单调减少区间单调增加区间极值点极值凹 区间凸 区间拐点渐近线八、（本题满分 10 分）设抛物线 过原点，当 又已知该抛物线与 轴及直线 所围图形的面积为cbxay2 ,010yx时 ， x1- 23 -，试确定 使此图形绕 选择一周而成的旋转体的体积 最小.31cba,xV1988 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 二)试卷一、(本题共 3 小题,
34、每小题 5 分,满分 15 分)(1)求幂级数 1()nnx的收敛域.(2)设 2()e,()1xffx且 ()0,求 ()x及其定义域.(3)设 为曲面 221xyz的外侧,计算曲面积分 333.IxdyzxzdyA二、填空题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.把答案填在题中横线上)(1)若 21)lim()txxftt则 ()ft= _.(2)设 (连续且30,d则 7=_.(3)设周期为 2 的周期函数,它在区间 (1,上定义为 ()fx 2 10x,则的傅里叶 ()Fourie级数在 1x处收敛于_.(4)设 4 阶矩阵 234234,AB其中 234,均为 4 维列向
35、量,且已知行列式,1B则行列式 = _.三、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 )fx可导且 01(),2fx则 0x时 ,()fx在 0处的微分 dy是（ ）(A)与 等价的无穷小 (B)与 同阶的无穷小(C)比 低阶的无穷小 (D)比 高阶的无穷小(2)设 ()yfx是方程 4y的一个解且 00(),(),fxf则函数 ()fx在点 0处（ ）- 24 -(A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少(3)设空间区域 22221:,0:,0,x
36、yzRxyzRxyz则:（ ）(A) 124dv (B) 124dv(C) 12zz(D) 12xyzxyzdv (4)设幂级数 1()nnax在 处收敛,则此级数在 处（ ）(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定 (5) 维向量组 12,(3)sn 线性无关的充要条件是（ ）(A)存在一组不全为零的数 12,sk 使 120skk(B) 12,s 中任意两个向量均线性无关(C) s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D) 12,s 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 四、(本题满分 6 分)（1）设 (),xyuyfg其中函数 f、 g具有二阶连续导数 ,求2
37、2.uxy（2）计算.2sin2sin4221 dyxdyx（3）求椭球面 上某点 M 处的切平面 的方程，使平面 过已知直线2132zxy.126:zyxl五、(本题满分 8 分)- 25 -设函数 ()yx满足微分方程 32e,xy其图形在点 (0,1)处的切线与曲线 21yx在该点处的切线重合,求函数 .六、（本题满分 9 分）设位于点 (0,1)的质点 A对质点 M的引力大小为 2(0kr为常数 ,r为 A质点与 M之间的距离), 质点 沿直线2yx自 ,B运动到 (0,)O求在此运动过程中质点 对质点 的引力所作的功.七、（本题满分 6 分）已知 ,APB其中1010,2,P求 5.
38、A八、（本题满分 8 分）已知矩阵201xA与201yB相似.(1)求 x与 .y(2)求一个满足 1P的可逆阵 .P九、（本题满分 9 分）设函数 ()fx在区间 ,ab上连续,且在 (,)ab内有 ()0,fx证明: 在 (,)ab内存在唯一的 ,使曲线 ()yfx与两直线 ,y所围平面图形面积 1S是曲线 y与两直线 yfx所围平面图形面积 2S的 3 倍.- 26 -1987 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 二)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)当 x=_时,函数 2xy取得极小值.(2)由曲线 lny与两直线 e1及 0
39、所围成的平面图形的面积是 _.x(3)与两直线 t及 21xyz都平行且过原点的平面方程为_ . 2zt(4)设 L为取正向的圆周 29,则曲线积分 2()(4)LxydxdyA= _.(5)已知三维向量空间的基底为 123(0),1,0,1则向量 (,0)在此基底下的坐标是_.二、(本题满分 14 分)（1）（6 分）计算定积分 .)(|2dxe（2）（8 分）求正的常数 a与 ,b使等式2001lim1sinxxtda成立.三、(本题满分 7 分)设函数 ，其中 有二阶连续偏导数，求yxeufz,f .2yxz四、(本题满分 8 分)求微分方程 26(9)1yay的通解,其中常数 0.a-
40、 27 -五、选择题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 2()lim1,xaf则在 xa处（ ）(A) ()f的导数存在,且 ()0f(B) ()fx取得极大值(C) x取得极小值 (D) 的导数不存在(2)设 ()f为已知连续函数 0,(),stIfxd其中 0,ts则 I的值（ ）(A)依赖于 s和 t (B)依赖于 、 t和 x(C)依赖于 、 x,不依赖于 s(D)依赖于 ,不依赖于(3)设常数 0k则级数 21()nk（ ）(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)散敛性
41、与 k的取值有关 (4)设 A为 n阶方阵，且 的行列式 |0,aA而 *是 的伴随矩阵，则 *|A等于(A)a(B) 1a(C) 1n (D) na 六、（本题满分 10 分）求幂级数 112nnxA的收敛域，并求其和函数. 七、（本题满分 10 分）求曲面积分 2(81)()4,Ixydzydzxy其中 是由曲线 13()0 zyfx绕 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与 轴正向的夹角恒大于 .2 - 28 -八、（本题满分 10 分）设函数 ()fx在闭区间 0,1上可微,对于 0,1上的每一个 ,x函数 ()f的值都在开区间 (0,1)内,且 ()fx1,证明在(0,1)内有且仅有一个 使得 ().fx九、（本题满分 8 分）问 ,ab为何值时,现线性方程组 1234123401()xxab有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、（本题满分 6 分）设 阶方阵 的特征值， ，而 分别为对应的特征向量，试证明： 的特征向量。n为， 21A2121,x Ax不 是21
