1、APQFOxy圆锥曲线1.设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合,分别是椭圆的左、右焦点,且离心率且过椭圆右焦点的直线与椭圆C交于两点.()求椭圆C的方程;()是否存在直线,使得.若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.()若AB是椭圆C经过原点O的弦,MNAB,求证:为定值2.如图所示,已知圆定点A(1,0),M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足,点N的轨迹为曲线E。(1)求曲线E的方程;(2)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间),且满足的取值范围。3.设椭圆C:的左焦点为F,上顶点为A,过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P,交x轴
2、正半轴于点Q,且求椭圆C的离心率;若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l:相切,求椭圆C的方程.4.设椭圆的离心率为e=(1)椭圆的左、右焦点分别为F1、F2、A是椭圆上的一点,且点A到此两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程.(2)求b为何值时,过圆x2+y2=t2上一点M(2,)处的切线交椭圆于Q1、Q2两点,而且OQ1OQ25.已知曲线上任意一点P到两个定点F1(-,0)和F2(,0)的距离之和为4(1)求曲线的方程;(2)设过(0,-2)的直线与曲线交于C、D两点,且为坐标原点),求直线的方程6.已知椭圆的左焦点为F,左、右顶点分别为A、C,上顶点为B过F、B、C作P,其中圆心P的坐标为(m,
3、n)()当mn0时,求椭圆离心率的范围;()直线AB与P能否相切?证明你的结论7.有如下结论:“圆上一点处的切线方程为”,类比也有结论:“椭圆处的切线方程为”,过椭圆C:的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线,切点为A、B.(1)求证:直线AB恒过一定点;(2)当点M在的纵坐标为1时,求ABM的面积8.已知点P(4,4),圆C:与椭圆E:有一个公共点A(3,1),F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF1与圆C相切()求m的值与椭圆E的方程;()设Q为椭圆E上的一个动点,求的取值范围9.椭圆的对称中心在坐标原点,一个顶点为,右焦点与点的距离为。(1)求椭圆的方程;(2)是否存在斜率的直线:
4、,使直线与椭圆相交于不同的两点满足,若存在,求直线的倾斜角;若不存在,说明理由。10.椭圆方程为的一个顶点为,离心率。(1)求椭圆的方程;(2)直线:与椭圆相交于不同的两点满足,求。11.已知椭圆的左焦点为F,左右顶点分别为A,C上顶点为B,过F,B,C三点作,其中圆心P的坐标为(1)若椭圆的离心率,求的方程;(2)若的圆心在直线上,求椭圆的方程12.已知直线与曲线交于不同的两点,为坐标原点()若,求证:曲线是一个圆;()若,当且时,求曲线的离心率的取值范围13.设椭圆的左、右焦点分别为、,A是椭圆C上的一点,且,坐标原点O到直线的距离为(1)求椭圆C的方程;(2)设Q是椭圆C上的一点,过Q的
5、直线l交x轴于点,较y轴于点M,若,求直线l的方程14.椭圆的中心为原点,焦点在轴上,离心率,过的直线与椭圆交于、两点,且,求面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程15.已知动点A、B分别在x轴、y轴上,且满足|AB|=2,点P在线段AB上,且设点P的轨迹方程为c。(1)求点P的轨迹方程C;(2)若t=2,点M、N是C上关于原点对称的两个动点(M、N不在坐标轴上),点Q坐标为求QMN的面积S的最大值。16.设上的两点,已知,若且椭圆的离心率短轴长为2,为坐标原点.()求椭圆的方程;()若直线AB过椭圆的焦点F(0,c),(c为半焦距),求直线AB的斜率k的值;()试问:AOB的面积是否为定值?如
6、果是,请给予证明;如果不是,请说明理由17.如图,F是椭圆(ab0)的一个焦点,A,B是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率为点C在x轴上,BCBF,B,C,F三点确定的圆M恰好与直线l1:相切()求椭圆的方程:()过点A的直线l2与圆M交于PQ两点,且,求直线l2的方程18.如图,椭圆长轴端点为,为椭圆中心,为椭圆的右焦点,且(1)求椭圆的标准方程;(2)记椭圆的上顶点为,直线交椭圆于两点,问:是否存在直线,使点恰为的垂心?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.19.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,且经过点.直线交椭圆于两不同的点.20.设,点在轴上,点在轴上,且(1)当点
7、在轴上运动时,求点的轨迹的方程;(2)设是曲线上的点,且成等差数列,当的垂直平分线与轴交于点时,求点坐标.21.已知点是平面上一动点,且满足(1)求点的轨迹对应的方程;(2)已知点在曲线上,过点作曲线的两条弦和,且,判断:直线是否过定点?试证明你的结论.22.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过、三点(1)求椭圆的方程:(2)若点D为椭圆上不同于、的任意一点,当内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标;(3)若直线与椭圆交于、两点,证明直线与直线的交点在直线上ABMOyx23.椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,离心率e=,椭圆上的点到焦点的最22短距离为1-e,直线l与y轴交于
8、点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且学科网(1)求椭圆方程;(2)若,求m的取值范围学24.设分别是椭圆C:的左右焦点(1)设椭圆C上的点到两点距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段的中点B的轨迹方程(3)设点P是椭圆C上的任意一点,过原点的直线L与椭圆相交于M,N两点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为 试探究的值是否与点P及直线L有关,并证明你的结论。25.已知椭圆的离心率为,直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.(I)求椭圆的方程;(II)设椭圆的左焦点为,右焦点,直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点,线段
9、垂直平分线交于点,求点的轨迹的方程;(III)设与轴交于点,不同的两点在上,且满足求的取值范围.26.如图所示,已知椭圆:,、为其左、右焦点,为右顶点,为左准线,过的直线:与椭圆相交于、两点,且有:(为椭圆的半焦距)(1)求椭圆的离心率的最小值;(2)若,求实数的取值范围;(3)若,,求证:、两点的纵坐标之积为定值;27.已知椭圆的左焦点为,左右顶点分别为,上顶点为,过三点作圆,其中圆心的坐标为(1)当时,椭圆的离心率的取值范围(2)直线能否和圆相切?证明你的结论28.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,APQF1MNyOx1),平行于OM的直线L在y
10、轴上的截距为m(m0),L交椭圆于A、B两个不同点。(1)求椭圆的方程;(2)求m的取值范围;(3)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。29.已知椭圆C:上动点到定点,其中的距离的最小值为1.(1)请确定M点的坐标(2)试问是否存在经过M点的直线,使与椭圆C的两个交点A、B满足条件(O为原点),若存在,求出的方程,若不存在请说是理由。30.已知椭圆,直线与椭圆相交于两点.()若线段中点的横坐标是,求直线的方程;()在轴上是否存在点,使的值与无关?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.31.已知椭圆上的点到右焦点F的最小距离是,到上顶点的距离为,点是线段上的一个动点.(I)求椭圆的
11、方程;()是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于、两点,使得,并说明理由.32.已知椭圆的上、下焦点分别为,点为坐标平面内的动点,满足(1)求动点的轨迹的方程;(2)过点作曲线的两条切线,切点分别为,求直线的方程:(3)在直线上否存在点,过该点作曲线的两条切线,切点分别为,使得,若存在,求出该点的坐标;若不存在,试说明理由。33.已知点和动点满足:,且存在正常数,使得。(1)求动点P的轨迹C的方程。(2)设直线与曲线C相交于两点E,F,且与y轴的交点为D。若求的值。34.已知椭圆的右准线与轴相交于点,右焦点到上顶点的距离为,点是线段上的一个动点.(I)求椭圆的方程;()是否存在过点且与轴不垂
12、直的直线与椭圆交于、两点,使得,并说明理由.35.已知椭圆C:(.(1)若椭圆的长轴长为4,离心率为,求椭圆的标准方程;(2)在(1)的条件下,设过定点的直线与椭圆C交于不同的两点,且为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率k的取值范围;(3)如图,过原点任意作两条互相垂直的直线与椭圆()相交于四点,设原点到四边形一边的距离为,试求时满足的条件.36.已知若过定点、以()为法向量的直线与过点以为法向量的直线相交于动点(1)求直线和的方程;(2)求直线和的斜率之积的值,并证明必存在两个定点使得恒为定值;(3)在(2)的条件下,若是上的两个动点,且,试问当取最小值时,向量与是否平行,并说明理由。37
13、.已知是椭圆的顶点(如图),直线与椭圆交于异于顶点的两点,且若椭圆的离心率是,且()求此椭圆的方程;()设直线和直线的倾斜角分别为试判断是否为定值?若是,求出此定值;若不是,说明理由38.我们知道,判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别,那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗?请同学们进行研究并完成下面问题。(1)设F1、F2是椭圆的两个焦点,点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2,试求d1d2的值,并判断直线L与椭圆M的位置关系。(2)设F1、F2是椭圆的两个焦点,点F1、F2到直线(m、n不同时为0)的距离分别为d1、d2,且直线L与椭圆M相切,试求d1d2的值。(3)
14、试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件,并证明。(4)将(3)中得出的结论类比到其它曲线,请同学们给出自己研究的有关结论(不必证明)。39.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过、三点过椭圆的右焦点F任做一与坐标轴不平行的直线与椭圆交于、两点,与所在的直线交于点Q.(1)求椭圆的方程:(2)是否存在这样直线,使得点Q恒在直线上移动?若存在,求出直线方程,若不存在,请说明理由.40.已知椭圆的离心率为,直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.(I)求椭圆的方程;(II)设椭圆的左焦点为,右焦点,直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点,线段垂直平分线交于点,求点的
15、轨迹的方程;(III)设与轴交于点,不同的两点在上,且满足求的取值范围.ABOMNQF答案及解析1.解:椭圆的顶点为,即,所以,椭圆的标准方程为(2)由题可知,直线与椭圆必相交.当直线斜率不存在时,经检验不合题意。设存在直线为,且,.由得,=所以,故直线的方程为或7分(3)设,由(2)可得:|MN|=由消去y,并整理得:,|AB|=,为定值2.解:(1)NP为AM的垂直平分线,|NA|=|NM|又动点N的轨迹是以点C(1,0),A(1,0)为焦点的椭圆且椭圆长轴长为曲线E的方程为(2)当直线GH斜率存在时,设直线GH方程为得由设又整理得又又当直线GH斜率不存在,方程为即所求的取值范围是3.解:
16、设Q(x0,0),由F(-c,0)(0,b)知设,得因为点P在椭圆上,所以整理得2b2=3ac,即2(a2c2)=3ac,,故椭圆的离心率e=由知,于是F(a,0),QAQF的外接圆圆心为(a,0),半径r=|FQ|=a所以,解得a=2,c=1,b=,所求椭圆方程为4.(1)椭圆的方程为(2)解:过圆上的一点M(2,)处的切线方程为2x+y6=0.令,,则化为5x224x+362b2=0,由0得:由知,,即b=3(,+),故b=35.解:(1)根据椭圆的定义,可知动点的轨迹为椭圆,其中,则所以动点M的轨迹方程为(2)当直线的斜率不存在时,不满足题意当直线的斜率存在时,设直线的方程为,设,由方程
17、组得则,代入,得即,解得,或所以,直线的方程是或6.解:()设F、B、C的坐标分别为(c,0),(0,b),(1,0),则FC、BC的中垂线分别为,联立方程组,解出,即,即(1b)(bc)0,bc从而即有,又,()直线AB与P不能相切由,如果直线AB与P相切,则1解出c0或2,与0c1矛盾,所以直线AB与P不能相切7.【解】(1)设M点M在MA上同理可得由知AB的方程为易知右焦点F()满足式,故AB恒过椭圆C的右焦点F()(2)把AB的方程又M到AB的距离ABM的面积8.【解】()点A代入圆C方程,得m3,m1圆C:设直线PF1的斜率为k,则PF1:,即直线PF1与圆C相切,解得当k时,直线P
18、F1与x轴的交点横坐标为,不合题意,舍去当k时,直线PF1与x轴的交点横坐标为4,c4F1(4,0),F2(4,0)2aAF1AF2,a218,b22椭圆E的方程为:(),设Q(x,y),即,而,186xy18则的取值范围是0,36的取值范围是6,6的取值范围是12,09.【解】(1)依题意,设椭圆方程为,则其右焦点坐标为,由,得,即,解得。又,即椭圆方程为。(2)由知点在线段的垂直平分线上,由消去得即(*)由,得方程(*)的,即方程(*)有两个不相等的实数根。设、,线段的中点,则,即,直线的斜率为,由,得,解得:,即,又,故,或,存在直线满足题意,其倾斜角,或。10.【解】(1)设,依题意得
19、即,即椭圆方程为。(2),且点线段的中点,由消去得即(*)由,得方程(*)的,显然方程(*)有两个不相等的实数根。设、,线段的中点,则,即,直线的斜率为,由,得,解得:,11.【解】(1)当时,点,,设的方程为由过点F,B,C得-由联立解得,所求的的方程为(2)过点F,B,C三点,圆心P既在FC的垂直平分线上,也在BC的垂直平分线上,FC的垂直平分线方程为-BC的中点为,BC的垂直平分线方程为-由得,即P在直线上,由得椭圆的方程为12.【解】()证明:设直线与曲线的交点为即:在上,两式相减得:即:曲线是一个圆()设直线与曲线的交点为,曲线是焦点在轴上的椭圆即:将代入整理得:,在上又213.【解
20、】(1)由题设知由于,则有,所以点A的坐标为,故所在直线方程为,所以坐标原点O到直线的距离为,又,所以,解得,所求椭圆的方程为(2)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为,则有,设,由于,解得又Q在椭圆C上,得,解得,故直线l的方程为或,即或14.解:设椭圆的方程为直线的方程为,则椭圆方程可化为即,联立得(*)有而由已知有,代入得所以,当且仅当时取等号由得,将代入(*)式得所以面积的最大值为,取得最大值时椭圆的方程为15.【解】(1)设(2)t=2时,16.解:()椭圆的方程为()由题意,设AB的方程为由已知得:()(1)当直线AB斜率不存在时,即,由得又在椭圆上,所以所以三角形的面积为定
21、值(2).当直线AB斜率存在时:设AB的方程为y=kx+b所以三角形的面积为定值.17.【解】(1)F(-c,0),B(0,),kBF=,kBC=-,C(3c,0)且圆M的方程为(x-c)2+y2=4c2,圆M与直线l1:x+u+3=0相切,解得c=1,所求的椭圆方程为(2)点A的坐标为(-2,0),圆M的方程为(x-1)2+y2=4,过点A斜率不存在的直线与圆不相交,设直线l2的方程为y=k(x+2),又,cos=PMQ=120,圆心M到直线l2的距离d=,所以,k=所求直线的方程为x2+2=018.【解】(1)如图建系,设椭圆方程为,则又即故椭圆方程为(2)假设存在直线交椭圆于两点,且恰为
22、的垂心,则设,故,于是设直线为,由得又得即由韦达定理得解得或(舍)经检验符合条件19.【解】20.【解】(1)设,则由得为中点,所以又得,所以()(2)由(1)知为曲线的焦点,由抛物线定义知,抛物线上任一点到的距离等于其到准线的距离,即,所以,根据成等差数列,得,直线的斜率为,所以中垂线方程为,又中点在直线上,代入上式得,即,所以点.21.【解】(1)设(5分)(6分)(9分)(11分)(13分)(15分)22.【解】(1)设椭圆方程为将、代入椭圆E的方程,得解得.椭圆的方程(2),设边上的高为当点在椭圆的上顶点时,最大为,所以的最大值为设的内切圆的半径为,因为的周长为定值6所以,所以的最大值
23、为所以内切圆圆心的坐标为(3)法一:将直线代入椭圆的方程并整理得设直线与椭圆的交点,由根系数的关系,得直线的方程为:,它与直线的交点坐标为同理可求得直线与直线的交点坐标为下面证明、两点重合,即证明、两点的纵坐标相等:,因此结论成立综上可知直线与直线的交点住直线上(16分)法二:直线的方程为:由直线的方程为:,即由直线与直线的方程消去,得直线与直线的交点在直线上23.科学科网解:(1)设C:1(ab0),设c0,c2a2b2,由条件知a-c,y2a2x2b222ca,22a1,bc,故C的方程为:y2122x212(2)由得(),(1),APPBOPOAOBOPOPOAOB14,3设l与椭圆C交
24、点为A(x1,y1),B(x2,y2)得(k22)x22kmx(m21)0ykxm2x2y21(2km)24(k22)(m21)4(k22m22)0(*)x1x2,x1x22kmk22m21k223x13x2APPBx1x22x2x1x23x22消去x2,得3(x1x2)24x1x20,3()2402kmk22m21k22整理得4k2m22m2k220m2时,上式不成立;m2时,k2,141422m24m21因3k0k20,12m22成立,所以(*)成立即所求m的取值范围为(1,)(,1)121224.解:(1)由于点在椭圆上,2=4,椭圆C的方程为焦点坐标分别为(-1,0),(1,0)(2)
25、设的中点为B(x,y)则点把K的坐标代入椭圆中得线段的中点B的轨迹方程为(3)过原点的直线L与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称设,得=故:的值与点P的位置无关,同时与直线L无关,25.解:()直线相切,椭圆C1的方程是()MP=MF2,动点M到定直线的距离等于它到定点F1(1,0)的距离,动点M的轨迹是C为l1准线,F2为焦点的抛物线点M的轨迹C2的方程为()Q(0,0),设,化简得当且仅当时等号成立当的取值范围是26.解(1)设直线与椭圆相交于,因为;故,由得:;将代入得:;由题意得:代入中,并化简得:因此,;即椭圆的离心率的最小值为;(2)由得:;由于是的单调增函数,因为,故,所以的取
26、值范围:(3)的方程为;因为;故,同理:;所以(为定值)27.解(1)由题意的中垂线方程分别为,于是圆心坐标为=,即即所以,于是即,所以即(2)假设相切,则,APQF1MNyOx,这与矛盾.故直线不能与圆相切.28.解:(1)设椭圆方程为,则.椭圆方程为(2)直线l平行于OM,且在y轴上的截距为m,又KOM=,,联立方程有,直线l与椭圆交于AB两个不同点,(3)设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,只需证明k1+k2=0即可设,则由而故直线MA,MB与x轴始终围成一个等腰三角形.29.解析:设,由得故由于且故当时,的最小值为此时,当时,取得最小值为解得不合题意舍去。综上所知当是满足题意此时M的坐标为(1,0)。(2)由题意知条件等价于,当的斜率不存在时,与C的交点为,此时,设的方程为,代入椭圆方程整理得,由于点M在椭圆内部故恒成立,由知即,据韦达定理得,代入上式得得不合题意。综上知这样的直线不存在。30.解:依题意,直线的斜率存在,设直线的方程为,将代入,消去整理得设则由线段中点的横坐标是,得,解得,适合.注意到是与无关的常数,从而有,此时综上,在轴上存在定点,使为常数.31.解析:(1)由题意可知且,解得,椭圆的方程为;(2)由(1)得,所以.假设存在满足题意的直线,设的方程为,代入,得,设,则,而的方向向量为,;当时,即存在这样的直线;当时,不存在,即不存在这样的直线