1、收集整理 : 张亚争 联系 方式 : 高中数学 二次函数练习题 1 已知 2 ( 0 )f x ax bx c a ,若方程 f x x 无实根 求证：方程 f f x x也无实根 2 已知 2f x x px q 求证： 1 , 2 , 3f f f 中至少有一个不小于 12 3 已知 2()f x x bx c ,方程 ()f x x 的两个实根为 12,xx,且满足 211xx,设 10 tx 求证： 1()f t x 4 已知 二次函数 2f x ax bx c 且 , 1 0a b c f , g x ax b （ 1）证明：方程 f x x 有两个不相等的实根 12,xx,并求
2、12xx 的取值范围 （ 2）证明： 12,xx均小于 2 （ 3）设 fx与 gx的图象交于 ,AB,且 ,AB两点在 x 轴上的射影为 11,AB,求 11AB 的取值范围 （ 4）求证：当 3x 时 ,恒有 f x g x 收集整理 : 张亚争 联系 方式 : 5 是否存在实数 a ,使 2( ) 2f x x ax a 的定义域为 1,1 ,值域为 2,2 若存在 ,求 a 的值 若不存在 ,说明理由 6 设二次函数 2f x ax bx满足 20f 且 f x x 有两个相等的实数根 （ 1）求 fx （ 2）是否存在常数 ,pq使得 fx的定义域和值域分别是 ,pq 和 2,2p
3、q 若存在 ,求 ,pq的值 若不存在 ,说明理由 7 设 3lo g 0 , 13a xf x a ax 的定义域为 ,st 值域为 lo g , lo gaaat a as a （ 1）求证： 3s （ 2）求 a 的取值范围 8 设函数 2 0f x ax bx c a ,方程 f x x 的两根为 12,xx满足1210 xxa （ 1）证明： 12,xx是方程 f f x x的两根 （ 2）当 0,x 时 ,证明： 1x f x x （ 3）设函数 fx的图象关于直线 0xx 对称 证明： 10 2xx 收集整理 : 张亚争 联系 方式 : 9 已知 关于 x 的二次方程 2 0x
4、 ax b 的两根 , （ 1）若 2, 2,则 2 4 , 4a b b （ 2）若 2 4 , 4a b b ,则 2, 2 10已知二次函数 2 ()f x ax bx c a b c 的图象上有两点 1 2 2,A m f m B m f m,满足 10f 且 21 2 1 2 0a f m f m a f m f m （ 1）求证： 0b （ 2）若 fx的图象与 x 轴的交点为 1 2 1 2, 0 , , 0 ,x x x x 证明： 122,3xx （ 3）问能否得出 1233f m f m, 中至少有一个为正数？请证明你的结论 11 已知 二次函数 2()f x ax bx
5、c 满足 ( 1) 0f 对任意实数 x 都有 ()f x x ,且 02x 时 ,总有21( ) ( )2xfx （ 1） 求 ,abc的值 （ 2）求证： 11424nknf k n （ 3） 当 1,1x 时 ,函数 ( ) ( )g x f x mx m R 是单调函数 ,求 m 的取值范 围 收集整理 : 张亚争 联系 方式 : 12 已知 二次函数 2()f x ax bx c ,且 , , , 0a b c m m 满足条件： 021a b cm m m 求证： （ 1） 1( ) 01af m （ 2） 方程 0fx 在 0,1 有根 13 如果 fx对任意 12,x x R
6、 ,都有 12 12122xxf f x f x ,则称 fx是 R 上的凹函数 已知函数 2 ( 0 )f x ax x a R a 且 （ 1） 求证：当 0a 时 ,函数 fx是凹函数； （ 2） 如果 01x, 时 , 1fx ,求实数 a 的范围 14 设二次函数 2 ( 0 )f x ax bx c a 满足下列条件 ： fx在 R 上最小值为 0 当 0, 2x时 , 212xfx 。 当 xR 时 , 42f x f x ,且 f x x 求最大的 1mm ,使得存在 tR ,只要 1,xm ,就有 f x t x 15 已知函数 2f x ax bx c ,其中 * ,a N
7、 b N c Z （ 1）若 2ba ,且 sin ( )f x x R 的最大值为 2,最小值为 4,试求函数 fx的最小值； （ 2）对任意实数 x , 24 ( ) 2( 1)x f x x 恒成立 ,且存在 0x 使得 200( ) 2( 1)f x x成立 ,求 c 的值 收集整理 : 张亚争 联系 方式 : 16 已知 2 40f x ax x b a ,方程 0fx 的两根为 12,xx,方程 f x x 的两根为 , （ 1）若 1,求 ,ab的关系式 （ 2）若 ,ab均为负整数 ,且 1 求 fx （ 3）若 12 ,求证： 121 1 7xx 17 设函数 2 2 (
8、1 ) , 1 0f x x b x c c b f ,且方程 10fx 有实根 （ 1） 证明： 31c ,且 0b ； （ 2） 若 m 是方程 10fx 的一个实根 ,判断 ( 4)fm 的正负 ,并 证明 18 设二次函数 2f x ax bx c a b c ,已知 10f ,且存在实数 m ,使 f m a （ 1）试推断 fx在区间 0, ) 上是否为单调函数 ,并说明你的理由； （ 2）设 g x f x bx, 对于 1 2 1 2,x x R x x,若 120g x g x,求 12-xx的取值范围； （ 3）求证： 30fm 收集整理 : 张亚争 联系 方式 : 19
9、 对于 fx,若存在 0xR ,使得 00f x x 成立 ,则称 0x 为 fx的不动点 已知 2 1 1 0f x a x b x b a （ 1）当 1, 2ab 时 ,求函数 fx的不动点 （ 2）若对任意实数 b ,函数 fx恒有两个不同的不动点 求 a 的取值范围 （ 3）在（ 2）的条件下 ,若 y f x 图象上 ,AB两点的横坐标是函数 fx的不动点 ,且 ,AB两点关于直线2121y kx a 对称 求 b 的最小值 20对于函数 2( ) 1 0f x ax bx a ,如果方程 ()f x x 有两个相异实数根 12,xx （ 1）若 121xx ,且 ()fx的图象关
10、于直线 xm 对称求证： 12m ； （ 2）若 102x且 12| | 2xx,求 b 的取值范围； （ 3） 设 ,为区间 12,xx 上的两个不同的点 ,求证： 2 (1 )( ) 2 0ab 21 已知 2( ) 0f x ax bx c a ,方程 ( )fx 有两个不同的实数根且 ( ) 0fc 当 0 xc 时有 ( ) 0fx （ 1）证明： 1ac （ 2）证明： 21b （ 3）当 1, 0ct时 ,求证： 021a b ct t t 收集整理 : 张亚争 联系 方式 : 22 已知 , 是关于 x 的二 次方程 2 0 0 ,tx m x t t t 是 常 数的两根
11、设22() 1tx mfx x （ 1）求 () , ( )ff ff 的值 （ 2） 判断 ()fx在 , 上的单调性 ,并证明你的结论 （ 3） 对于任意 12,0xx ,求证：1 2 1 21 2 1 2x x x xf f tx x x x 23 已知 2 0f x ax bx c a , g x ax b 当 11x 时 , 1fx （ 1）证明： 221 , 1 , 4 , 2 7c b a b f （ 2）当 11x 时 ,证明： 2gx （ 3）设 0a ,当 11x 时 , gx的最大值是 2 求 fx 24 已知函数 2()f x x bx c ,设方程 ()f x x 有两个相异实数根 12,xx 且 212xx （ 1）证明： 12,xx也是方程 ( ) , ( )f f x x f f x f x的两根 （ 2）设方程 ()f f x x , ()f f x f x 的另外两个实数根 分别 是 3 4 3 4,x x x x , 5 6 5 6,x x x x 比较 1 2 3 4 5 6, , , , ,x x x x x x 的大小
