1、高中数学 安徽铜陵 姚老师：138665007201二次函数知识点和常见题型一. 二次函数的三种表示方法：（1）一般式 cbxaxy 2（2）顶点式 nmxay 2)(（3）两根式 )( 21 xxxxay 1 若 2f x x bx c ，且 1 0f ， 3 0f ，求 1f 的值变式 1：若二次函数 2f x ax bx c 的图像的顶点坐标为 2, 1 ，与 y 轴的交点坐标为(0,11)，则A 1, 4, 11a b c B 3, 12, 11a b c C 3, 6, 11a b c D 3, 1 2, 1 1a b c 变式 2：若 2 2 3, , f x x b x x b
2、c 的图像 x=1 对称，则 c=_变式 3：若二次函数 2f x ax bx c 的图像与 x 轴有两个不同的交点 1,0A x 、 2,0B x 且 2 21 2 269x x ，试问该二次函数的图像由 23 1f x x 的图像向上平移几个单位得到？二二次函数y=ax2+bx+c(a0)有如下性质：（1）顶点坐标 24( , )2 4b ac ba a ；对称轴 2bx a ；（2）若 a0，且=b2-4ac0，那么 f(x)0， 2bx a 时， 2min 4( ) 4ac bf x a ；（3）若 a0，且 f(x)0，那么0；（4）若 a0，且存在 x0(-，+)，使得 f(x0)
3、0，那么0;若 a0 时，方程 0)( xf 只有一个实根； )( xfy 的图象关于点（0，c）对称；方程 0)( xf 至多有两个实根上述命题中正确的序号为七.恒成立问题的基本类型：类型 1：设 )0()( 2 acbxaxxf ，（1） Rxxf 在0)( 上恒成立 00 且a ；（2） Rxxf 在0)( 上恒成立 00 且a 。类型 2：设 )0()( 2 acbxaxxf（1）当 0a 时， ,0)( xxf 在 上恒成立 0)(20 20)(2 f ababf ab 或或 ，,0)( xxf 在 上恒成立 0)( 0)(ff（2）当 0a 时， ,0)( xxf 在 上恒成立 0
4、)( 0)(ff,0)( xxf 在上恒成立 0)(20 20)(2 f ababf ab 或或类型 3： min)()( xfIxxf 恒成立对一切 ； max)()( xfIxxf 恒成立对一切 。类型 4：)( )()()()()()( maxminIx xgxfxgxfIxxgxf 的图象的上方或的图象在恒成立对一切高中数学 安徽铜陵 姚老师：138665007205当 , ,a b c具有什么关系时，二次函数 2f x ax bx c 的函数值恒大于零？恒小于零？变式 1.若不等式 02)1()1( 2 xmxm 的解集是 R，求 m 的范围。变式 2：已知函数 f (x) = lg
5、 (a x 2 + 2x + 1) (I)若函数 f (x) 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；(II)若函数 f (x) 的值域为 R，求实数 a 的取值范围变式 3：已知函数 2( ) 3f x x ax a ，若 2,2x 时，有 ( ) 2f x 恒成立，求a的取值范围变式 4：若 f (x) = x 2 + bx + c，不论 、 为何实数，恒有 f (sin )0，f (2 + cos )0(I) 求证：b + c = 1；(II) 求证： c3；(III) 若函数 f (sin ) 的最大值为 8，求 b、c 的值八根与系数关系一元二次方程 02 cbxax ，用配方法将其
6、变形为： 222 4 4)2( a acbabx ； acb 42 来判断二次方程有几个解； abxx 21 ， acxx 21. ； （韦达定理）。例8：若 1 2,x x 是方程 2 2 2009 0x x 的两个根，试求下列各式的值：(1) 2 21 2x x ； (2) 1 21 1x x ； (3) 1 2( 5)( 5)x x ； (4) 1 2| |x x 变式 1：二次函数 baxy 2 与一次函数 )( babaxy 在同一个直角坐标系的图像为（ ）变式 2：直线 3 mxy 与抛物线 xmxyCmmxxyC )12(:,45: 2221 2 3,m 23 : 3 2 3C
7、y x m x m 中至少有一条相交，则 m 的取值范围是什么?变式 3：对于函数 f (x)，若存在 x0 ( R，使 f (x0) = x0 成立，则称 x0 为 f (x) 的不动点如果函数 f (x) = a x 2 + bx+ 1（a 0）有两个相异的不动点 x1、x2(I)若 x1 12 ；(II)若 | x1 | 0(开口方向)； c=1(和 y 轴的交点)； 4 2 1 0a b (和 x 轴的交点)； 1 0a b ( 1 0f )； 2 4 0b a (判别式)； 1 22ba (对称轴)3单调性变式 1： 解：函数 2 4 2f x x a x 图像是开口向上的抛物线，其
8、对称轴是 2x a ，由已知函数在区间 , 6 内单调递减可知区间 , 6 应在直线 2x a 的左侧， 2 6a ，解得 3a ，故选 D变式 2：解：函数 2 1 5f x x a x 在区间(12 ,1)上为增函数，由于其图像(抛物线)开口向上，所以其对称轴12ax 或与直线 12x 重合或位于直线 12x 的左侧，即应有 1 12 2a ，解得 2a ， 2 4 1 2 5 7f a ，即 2 7f 高中数学 安徽铜陵 姚老师：138665007207变式 3：解：函数 2f x x kx 的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是 2kx ， 已知函数在 2 , 4 上是单调函
9、数， 区间2, 4 应在直线 2kx 的左侧或右侧，即有 22k 或 42k ，解得 4k 或 8k 4最值变式 1： 解：作出函数 2 2 3f x x x 的图像，开口向上，对称轴上 x=1，顶点是(1，2)，和 y 轴的交点是(0，3)，m 的取值范围是1 2m ，故选 C变式 2： 解：函数有意义，应有 2 4 0x ，解得 2 2x ， 20 4 4x ( 20 4 2x ( 20 3 4 6x ， M=6，m=0，故 M + m=6变式 3： 解：函数 f x 的表达式可化为 24 2 22af x x a 当 0 22a ，即0 4a 时， f x 有最小值 2 2 a ，依题意
10、应有 2 2 3a ，解得 12a ，这个值与0 4a 相矛盾当 02a ，即 0a 时， 20 2 2f a a 是最小值，依题意应有 2 2 2 3a a ，解得 1 2a ，又 0a ， 1 2a 为所求当 22a ，即 4a 时， 22 16 8 2 2f a a a 是最小值，依题意应有 21 6 8 2 2 3a a a ，解得 5 1 0a ，又 4a ， 5 1 0a 为所求综上所述， 1 2a 或 5 10a 变式 4： 解：作出函数 2( ) 2 6 2 2f x x x x 的图象，容易发现在 32, 2 上是增函数，在 3 , 22 上是减函数，求出 ( 2 ) 2 0
11、f ， (2) 4f ， 3 9( )2 2f ，注意到函数定义不包含 2x ，所以函数值域是 92 0 , 2 变式 6：解： y= cos2x+sinx=2sin2x+sinx+1，令 t= sinx ( 1,1，则 y=2t2+t+1，其中 t( 1,1，y ( 2, 98 ，即原函数的值域是2, 98 变式 7： 解：(I) f (1 + x) = f (1x)， b2a = 1，又方程 f (x) = x 有等根 ( a x 2 + (b1) x = 0 有等根， = (b1) 2 = 0 ( b = 1 ( a = 12 ， f (x) = 12 x 2 + x(II) f (x)
12、 为开口向下的抛物线，对称轴为 x = 1，1( 当 m1 时，f (x) 在 m,n 上是减函数， 3m = f (x)min = f (n) = 12 n 2 + n (*)，高中数学 安徽铜陵 姚老师：1386650072083n = f (x)max = f (m) = 12 m 2 + m，两式相减得：3 (mn) = 12 (n 2m 2) + (nm)， 1m 0 时， 2 2 , 0( ) , 0x c xf x x x c x c x ，方程 0)( xf 即 2 00x cx 或 2 00x cx ，显然方程 2 00x cx 无解；方程 2 00x cx 的唯一解是 x
13、c ，所以 是正确的；(3)设 0 0,x y 是函数 ( ) | |f x x x bx c 图像上的任一点，应有 0 0 0 0| |y x x bx c ，而 该 点 关 于 （ 0 ， c ） 对 称 的 点 是 0 0, 2x c y ， 代 入 检 验 0 0 0 02 | |c y x x bx c 即0 0 0 0| |y x x b x c ， 也 即 0 0 0 0| |y x x bx c ， 所 以 0 0, 2x c y 也 是 函 数( ) | |f x x x bx c 图像上的点，所以是正确的；(4)若 1, 0b c ，则 ( ) | |f x x x x ，
14、显然方程 | | 0x x x 有三个根，所以 是不正确的7值域8恒成立问题变式 1： 解：(I) 函数 f (x) 的定义域为 R，即不等式 a x 2 + 2x + 1 0 的解集为 R，应有 a 0= 44a 1， 实数 a 的取值范围是(1,+() (II) 函数 f (x) 的值域为 R，即 a x 2 + 2x + 1 能够取 (0,+() 的所有值高中数学 安徽铜陵 姚老师：13866500720101( 当 a = 0 时，a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1 满足要求；2( 当 a 0 时，应有 a 0= 44a 0 ( 0 0，由 x1，x2 是方程 f (x)
15、= x 的两相异根，且 x1 1 ( b2a 12 ，即 m 12 (II) = (b1) 24a 0 ( (b1) 2 4a， x1 + x2 = 1ba ，x1x2 = 1a ， | x1x2 | 2 = (x1 + x2) 24x1x2 = (1ba ) 24a = 2 2， (b1) 2 = 4a + 4a 2 (*)又 | x1x2 | = 2， x1、x2 到 g(x) 对称轴 x = 1b2a 的距离都为 1，要 g(x) = 0 有一根属于 (2,2)，则 g(x) 对称轴 x = 1b2a ( (3,3)， 3 16 | b1 |，把代入 (*) 得：(b1) 2 23 | b1 | + 19 (b1) 2，解得：b 74 ， b 的取值范围是：(, 14 )( 74 ,+()
