1、第三章 检测试题(时间:90 分钟 满分:120 分)【选题明细表】知识点、方法 题号不等式的性质 1、3一元二次不等式的解法 11、12、15平面区域与线性规划 2、6、7、8、10、17基本不等式 5、9、14、18综合应用 4、13、16一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)1.若 bbd (B)(C)a+cb+d (D)a-cb-d解析:ab,cd,由不等式的可加性知 a+cb+d.故选 C.2.(2014 淄博高二期末)不在 3x+2yb,c0,则 acbc;若 ab,则 ac2bc2;若 ac2bc2,则 ab;若 ab,则b0,cd,则 acbd.其中真
2、命题的个数是( A )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:若 ab,c0 时 acbc,错;中若 c0,则有 ac2bc2,错;正确;中若 a0b 时,错;中只有 cd0 时,acbd,错,选 A.4.设 A=+,其中 a、b 是正实数,且 ab,B=-x 2+4x-2,则 A 与 B 的大小关系是( B )(A)AB (B)AB (C)A2 =2,即 A2,B=-x2+4x-2=-(x2-4x+4)+2=-(x-2)2+22,即 B2,AB.5.(2014 信阳高二期末)已知 mn0,则 m+ 的最小值为( C )(A)1 (B)2 (C)4 (D)8解析:由 mn0 知 m-n0,
3、m+ =m+=m-n+ 2=4,当且仅当 m-n=2 时取等号.故选 C.6.(2014 潍坊高二期末)在平面直角坐标系中,不等式组 (a 为常数)表示平面区域的面积为 9,则 的最小值为( D )(A)-1 (B) (C) (D)-解析:不等式组表示的可行域为如图阴影部分所示.则a2a=9,a=3,则 A(3,-3),点(-4,2)与点(x,y)的连线的斜率为 ,当点(x,y)为(3,-3)时, 最小,最小值为-.故选 D.7.已知不等式组 (a0)表示的平面区域的面积是 ,则 a 等于( A )(A) (B)3 (C) (D)2解析:原不等式组转化为 (a0).画出平面区域如图,可知该区域
4、是一个三角形,底边 OM=2,设高为 h,则面积等于2h= ,所以 h= .解方程组 得 y= ,所以 = ,解得 a= ,故选 A.8.在如图所示的可行域内(阴影部分且包括边界),目标函数 z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个,则 a 的一个可能值是( A )(A)-3 (B)3(C)-1 (D)1解析:若最优解有无数个,则 y=-x+与其中一条边平行,而三边的斜率分别为、-1、0,与-对照可知 a=-3 或 1,又因 z=x+ay 取得最小值,则 a=-3.故选 A.9.(2014 潍坊高二期末)已知 x0,y0,且 x+y+xy=2,则 xy 的最大值为( C )(A)1+ (B)
5、-1(C)4-2 (D)4+2解析:2=x+y+xy2 +xy,xy+2 -20,( +1)23,xy4-2 ,故选 C.10.设 x,y 满足条件 若目标函数 z=ax+by(a0,b0)的最大值为 2,则+的最小值为( A )(A)25 (B)19 (C)13 (D)5解析:画出不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分).由 z=ax+by 知 y=-x+,故该直线经过可行域内的点 A 时,z 有最大值,由 得z max=4a+6b=2,即 2a+3b=1,+=(2a+3b)（+）=13+ + 13+26 =25,当且仅当 = ,且2a+3b=1,即 a=b=时等号成立.故选 A.二、填空
6、题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)11.(2012 年高考福建卷)已知关于 x 的不等式 x2-ax+2a0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是 . 解析:x 2-ax+2a0 恒成立0,y0,则 x+y 的最大值是 .解析:由 x2+y2+xy=1 可得(x+y) 2-xy=1,所以(x+y) 2-1=xy,由于 xy( )2,所以(x+y) 2-1( )2,因此(x+y) 2,因为 x0,y0,所以 x+y ,即 x+y 的最大值是 .答案:三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分)15.(本小题满分 12 分)已知函数 y= 的定义域为 R.(1)求 a
7、的取值范围;(2)解关于 x 的不等式 x2-x-a2+aa,即 0aa 时,f(x)有最小值为 6,求 a 的值.解:(1)f(x)0 时,(x+)(x-a)0,解集为xx-或 x0).f(x)=t+ +2a2 +2a=2 +2a.当且仅当 t= ,即 t= 时,等号成立,即 f(x)有最小值 2 +2a.依题意有:2 +2a=6,解得 a=1.17.(本小题满分 12 分)(2013 泉州一中高二期中)浙江卫视为中国好声音栏目播放两套宣传片,其中宣传片甲播放时间为 3 分 30 秒,广告时间为 30 秒,收视观众为 60 万人,宣传片乙播放时间为 1 分钟,广告时间为 1 分钟,收视观众为
8、 20 万人.广告公司规定每周至少有 4 分钟广告,而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于 16 分钟的节目时间.两套宣传片每周至少各播一次,问电视台每周应播放两套宣传片各多少次,才能使得收视观众最多?解:设播放宣传片甲 x 次,宣传片乙 y 次,每周收视观众为 z 万人,则 即作出可行域如图所示,则可行域为区域内的整点,收视观众人数为 z=60x+20y,作出直线60x+20y=0,并平移该直线,可知直线经过点 A 时截距最大,点 A(1,12.5),而 x,yN *,(1,12),(2,9)两点为最优解.所以,在保证两套宣传片每周至少各播一次的条件下,宣传片甲 1 次,宣传片乙 12 次或者宣传片甲 2 次,宣传片乙 9 次,这样收视观众最多,最多为 300 万人.18.(本小题满分 14 分)(2014 桂林高二期末)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD,公园由长方形的休闲区(阴影部分)A 1B1C1D1和环公园人行道组成.已知休闲区 A1B1C1D1的面积为 4000 平方米,人行道的宽分别为4 米和 10 米(如图).(1)若设休闲区的长 A1B1=x(米),求 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S(x)的解析式;(2)要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1的长和宽该如何设计?解:(1)由 A1B1=x 米,知 B1C1= 米,
