1、第一张有理数小结与复习,有 理 数 总 复 习,一、有理数的基本概念,二、有理数的运算,1.负数 2.有理数 3.数轴4.互为相反数5.互为倒数6.有理数的绝对值7.有理数大小的比较,加、减、乘、除、乘方运算,一、有理数的基本概念,1.负数：,在正数前面加“”的数；,0既不是正数，也不是负数。,(判断)： 1）a一定是正数； 2）a一定是负数； 3）（a）一定大于0； 4）0是正整数。,2.有理数：,整数和分数统称有理数。,有理数,整数,分数,正整数（自然数）,零,负整数,正分数,负分数,有理数,正数,零,负数,正整数,正分数,负整数,负分数,3.数 轴,规定了原点、正方向和单位长度的直线.,
2、1）在数轴上表示的两个数， 右边的数总比左边的数大；,2）正数都大于0,负数都小于0； 正数大于一切负数；,3）所有有理数都可以用数轴上 的点表示。,4.相反数,符号不同、数字相同的两个数，其中一个是另一个的相反数（相反数是成对出现的，不能说某一个数是相反数）,1）数a的相反数是-a（a是任意一个有理数）,2）0的相反数是0.,-2,2,-4,4,3）若a、b互为相反数，则a+b=0.,5.倒 数,乘积是1的两个数互为倒数 .,1）a 的 倒 数是 （a0）；,3）若a与b互为倒数，则ab=1.,2）0 没 有 倒 数,例：下列各数，哪两个数互为倒数？ 8， ，-1，+（-8），1，,6.绝对
3、值:一个数a的绝对值就是数轴上 表示数a的点与原点的距离。,1）数a的绝对值记作a;,a,-a,0,3) 对任何有理数a,总有a0.,7.有理数大小的比较,1）可通过数轴比较： 在数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； 正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数；2）两个负数，绝对值大的反而小。即:若a0,b0,且ab, 则a b.,在算式 中，含有加、减、乘除及其乘方等多种运算，这样的运算叫做有理数的混合运算. 怎样进行有理数的运算呢？按什么运算顺序进行呢？,简单地说：有理数混合运算应按下面的运算顺序进行：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 如果有括号，就先算括号里面的,有理数的五种运算,
4、1.运算法则2.运算顺序3.运 算 律,1.运算法则,1）有理数加法法则2）有理数减法法则3）有理数乘法法则4）有理数除法法则5）有理数的乘方,1)有理数加法法则, 同号两数相加,取相同的符号,并把绝 对值相加；, 异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得0；, 一个数同0相加,仍得这个数。,2)有理数减法法则,减去一个数，等于加上这个数的相反数. 即 a-b=a+(-b),例：分别求出数轴上两点间的距离：表示2的点与表示-7的点；表示-3的点与表示-1的点。,解：2-（-7）=2+7=9=9 -3-（-1）=-3+1=-2=2,3）有理
5、数的乘法法则,两数相乘，同号得正，异号得负并把绝对值相乘； 任何数同0相乘，都得0., 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正., 几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.,4)有理数除法法则,除以一个数等于乘上这个数的倒数; 即,ab=a (b0),两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除; 0除以任何一个不等于0的数,都得0.,5)有理数的乘方,求n个相同因数的积的运算,叫做乘方。,正数的任何次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数， 负数的偶次幂是正数.,2.运算顺序,1）有括号，先算括号里面的；2）先算乘方，再算乘除， 最后
6、算加减；3）对只含乘除，或只含加减的 运算，应从左往右运算。,3.有理数的运算律,1)加法交换律,a+b=b+a,2)加法结合律,(a+b)+c=a+(b+c),3)乘法交换律,ab=ba,4)乘法结合律,(ab)c=a(bc),5)分 配 律,a(b+c)=ab+ac,例1：计算下列各题：（1） 分析：算式里含有乘方和乘除运算，所以应先算乘方， 再算乘除。 解：原式 点评：在乘除运算中，一般把小数化成分数， 以便约分。,（2）分析：第一步，将除法变为乘法和计算乘方； 第二步，计算乘法； 第三步，计算加减法，得出最后结果。解：原式= = =,（5） 思路1：先算括号里面的加减法，再算括号外面的
7、除法。 解法1：原式 7,思路2：先将除法化为乘法，再用乘法分配律。解法2： 原式= = = = 7,点评： 解法2比解法1简单，是因为在解法2中根据题目特点,使用了乘法分配律。在有理数的混合运算中，恰当、合理地使用运算律,可以使运算简捷,从而减少错误，提高运算的正确率。,例3计算下列各题：（1）1+2345678+979899100 分析：观察式子特点，发现（13）、（24）、（5 7）、（97 99）、（98 100）结果均得 2。所以运用加法交换律和结合律进行运算。 解法1：原式=（13）+（24）+（5 7）+（97 99） + （98 100） = = （2）50 = 100,本题还有下面的解法：解法2： 原式=1+（234+5）+（678+9） +（94959697）9899100 =100+9899100 =11100 =100 这种解法的思路是将加数分为4个一组，每一组的和为0。,本题按以上思路分组，还有下面的解法：解法3：原式=（1+234） + （5 + 6 - 7 - 8） + + （97 + 98 - 99-100） = =（ - 4）25 = - 100。这道题3种解法的共同特点是把各加数适当分组，而分组 的标准是每一组的和为定值。,
