1、专题六 压轴题探究1.(2017常德中考)如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点 (2，2)， 在抛物线上，点P是抛物线上不与顶(1，54)点N重合的一动点，过P 作PA x轴于A ，PCy轴于C，延长 PC交抛物线于E，设M是O关于抛物线顶点N 的对称点，D是C 点关于N的对称点(1)求抛物线的表达式及顶点N 的坐标；(2)求证：四边形PMDA是平行四边形；(3)求证：DPEPAM ，并求出当它们的相似比为 时的点P的坐标3解：(1)抛物线的对称轴是y轴，可设抛物线表达式为 yax 2c.点(2，2) ， 在抛物线上，(1，54) 解得4a c 2，a c 54， ) a14，c 1. )抛物
2、线表达式为y x21，14N点坐标为(0，1)；(2)设P ，则C ，(t， 14t2 1) (0， 14t2 1)PA t21.14M是O关于抛物线顶点N的对称点，D 是C 点关于N 的对称点，且 N(0，1)，M(0，2)OC t21，ON1，14CN t211 t2，OD t21，14 14 14D ，(0， 14t2 1)DM2 t21PA.( 14t2 1) 14又PADM ，四边形PMDA为平行四边形；(3)同(2)设P ，(t，14t2 1)则C ，PA t21，PC|t|.(0，14t2 1) 14M(0，2)，CM t212 t21.在 RtPMC中，由勾股定理可得 PM 1
3、4 14 PC2 CM2 t21PA.且四边形PMDA 为平行四边形，四边形PMDA 为菱形，t2 (14t2 1)2 (14t2 1)2 14APM ADM2PDM.PEy轴，抛物线对称轴为 y轴，DPDE，且PDE2PDM ，PDEAPM，又 ，PDPA DEPMDPEPAM.OA|t|，OM2，AM ，又PE 2PC2|t| ，t2 4当相似比为 时，则 ，3PEAM 3即 ，解得t2 或t2 ，2|t|t2 4 3 3 3P点坐标为(2 ，4)或(2 ，4)3 32(2017永州中考)如图，已知抛物线yax 2bx1经过A(1，0)，B(1，1) 两点(1)求该抛物线的表达式；(2)阅
4、读理解：在同一平面直角坐标系中，直线l 1：yk 1xb 1(k1，b 1为常数，且k 10) ，直线l 2：yk 2xb 2(k2，b 2为常数，且k 20)，若l 1l 2，则k 1k21.解决问题：若直线y3x1与直线ymx 2互相垂直，求m 的值；抛物线上是否存在点P，使得PAB 是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方( 不与A，B重合)，求点M到直线AB的距离的最大值解：(1)根据题意，得解得 a b 1 0，a b 1 1， ) a 12，b 12. )y x2 x1；12 12(2) 由题意，得3
5、m 1，m ；13设PA的表达式为ykxc，过A(1，0) ，B(1，1)两点的直线表达式为y x .过点P的直角边与AB垂12 12直，k2，y2xc.若PAB 90 ，把 A( 1，0)代入得02(1) c，解得c2，y2x2，点P是直线PA与抛物线的交点，联立方程组 y 12x2 12x 1，y 2x 2， )解得 x1 1，y1 0， )x2 6，y2 14.)P(6，14)；若PBA 90 ，把B(1，1)代入y2xc ，得121c，解得c3，y2x3，点P是直线PB与抛物线的交点，联立方程组 解得 y 12x2 12x 1，y 2x 3， ) x1 1，y1 1， )x2 4，y2
6、 5.)P(4，5)综上所述，存在点P(6，14)或(4 ，5)，使得PAB 是以AB为直角边的直角三角形；(3)设M ，过M作MQy轴，交AB于点 Q，则Q .(n， 12n2 12n 1) (n， 12n 12)S ABM 1(1) n2 .12( 12n2 12n 1) (12n 12) 12 12当n0时，最大面积为 ，AB ，设点M到直线AB距离最大为h，则 h ，12 22 12 5 12 5 12h .55即点M到直线AB的距离的最大值是 .553(六盘水中考)如图，抛物线yax 2bxc 的图象与x轴交于A(1，0)，B(3，0) 两点，与y轴交于点C(0，3)，顶点为D.(1
7、)求此抛物线的表达式；(2)求此抛物线顶点D的坐标和对称轴；(3)探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P ，D ，A 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由解：(1)抛物线yax 2bxc的图象与x轴交于A(1，0)，B(3，0) 两点，与y轴交于点C(0，3)， a（ 1）2 b（ 1） c 0，a32 3b c 0c 3， )解得 a 1，b 2，c 3. )抛物线的表达式为yx 22x3；(2) yx 22x3(x1) 24，抛物线顶点D的坐标为(1，4)，对称轴为直线x1；(3)存在一点P，使得以点P ，D ，A 为顶点的三角形是等腰三
8、角形，设点P的坐标为(1，y)当PAPD时， ，（ 1 1）2 （0 y）2 （1 1）2 （ 4 y）2解得y ，即点P的坐标为 ；32 (1， 32)当DADP时， ，（ 1 1）2 0 （ 4）2 （1 1）2 （ 4 y）2解得y42 ，5即点P的坐标为(1，42 )或(1，42 )；5 5当ADAP时， ，（ 1 1）2 0 （ 4）2 （ 1 1）2 （0 y）2解得y4，即点P的坐标是(1，4)或(1，4) ，当点P为(1 ， 4)时与点D重合，故不符合题意，综上所述，以点P，D，A为顶点的三角形是等腰三角形时，点 P的坐标为Error!或(1 ，42 )或(1，425)或 (1，4) 5
