1、第二章 2.3 2.3.3 一、选择题1平面 平面 ，直线 a ，直线 b ，那么直线 a 与直线 b 的位置关系一定是( )导 学 号 92180542A平行 B异面C垂直 D不相交答案 C解析 ，b ，b.又a，ba.2设 m、n 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面. ( )导 学 号 92180543A若 m ，n，则 mnB若 m，m，则 C若 mn，m，则 nD若 m ， ，则 m答案 C解析 mn，m，则 n，故选 C3.如图，已知ABC 为直角三角形，其中ACB 90 ，M 为 AB 的中点，PM 垂直于ABC 所在平面，那么 ( )导 学 号 92180544APAPBP
2、C BPA PBPCCPA PBPC DPAPAPC答案 C解析 PM平面 ABC，MC平面 ABC，PMMC，PMAB 又M 为 AB 中点，ACB90 ，MAMBMC PAPAPC 4如图，设平面 平面 PQ，EG平面 ，FH 平面 ，垂足分别为 G、H.为使PQGH ，则需增加的一个条件是 ( )导 学 号 92180545AEF平面 BEF 平面 CPQGE DPQ FH答案 B解析 因为 EG平面 ，PQ平面 ，所以 EGPQ.若 EF平面 ，则由 PQ平面 ，得 EFPQ.又 EG 与 EF 为相交直线，所以 PQ平面 EFHG，所以 PQGH ，故选B5如图，设平面 EF，AB，
3、CD，垂足分别是 B、D，如果增加一个条件，就能推出 BDEF ，这个条件不可能是下面四个选项中的 ( )导 学 号 92180546AACBACEFCAC 与 BD 在 内的射影在同一条直线上DAC 与 、 所成的角相等答案 D6如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动，并且总是保持 APBD 1，则动点 P 的轨迹是 ( )导 学 号 92180547A线段 B1CB线段 BC1CBB 1 中点与 CC1 中点连成的线段DBC 中点与 B1C1 中点连成的线段答案 A解析 DD 1平面 ABCD，D 1DAC，又 ACBD，AC平面 BDD
4、1，ACBD 1.同理 BD1B 1C又B 1CACC，BD 1平面 AB1C而 APBD 1，AP平面 AB1C又 P平面 BB1C1C，P 点轨迹为平面 AB1C 与平面 BB1C1C 的交线 B1C 故选 D二、填空题7线段 AB 在平面 的同侧， A、B 到 的距离分别为 3 和 5，则 AB 的中点到 的距离为_. 导 学 号 92180548答案 4解析 如图，设 AB 的中点为 M，分别过 A、M 、B 向 作垂线，垂足分别为A1、M 1、B 1，则由线面垂直的性质可知，AA 1MM 1BB 1，四边形 AA1B1B 为直角梯形，AA13，BB 15，MM 1 为其中位线，MM
5、14.8正三棱锥的底面边长为 2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积是_.导 学 号 92180549答案 23解析 如图，由已知得 PAPB ，PAPC，PBPCP，PA平面 PBC又 PBPC，PBPC，BC2，PBPC .2V PABC V APBC PASPBC .13 13 2 12 2 2 23三、解答题9如图，四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O平面 ABCD，AB AA1 .2导 学 号 92180550证明：A 1C平面 BB1D1D解析 A 1O平面 ABCD， A 1OBD 又底面 ABCD 是正方形，BDAC，BD平
6、面 A1OC，BD A 1C又 OA1 是 AC 的中垂线，A 1AA 1C ，且 AC2，AC 2AA A 1C2，2 21AA 1C 是直角三角形，AA 1A 1C又 BB1AA 1，A 1CBB 1，A 1C平面 BB1D1D10.如图所示，在直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，已知DCDD 12AD2AB，AD DC，ABDC 导 学 号 92180551(1)求证：D 1C AC1；(2)设 E 是 DC 上一点，试确定 E 的位置，使 D1E平面 A1BD，并说明理由解析 (1)连接 C1DDCDD 1，四边形 DCC1D1 是正方形，DC 1D 1CADDC，ADDD 1，
7、DCDD 1D，AD平面 DCC1D1，D 1C平面 DCC1D1，ADD 1C 又 ADDC 1D，D 1C平面 ADC1.又 AC1平面 ADC1，D 1C AC1.(2)如图，连接 AD1、AE、D 1E，设 AD1A 1DM ，BDAE N，连接 MN.平面 AD1E 平面 A1BDMN ，要使 D1E平面 A1BD，须使 MND 1E，又 M 是 AD1 的中点，N 是 AE 的中点又易知ABNEDN，ABDE .即 E 是 DC 的中点综上所述，当 E 是 DC 的中点时，可使 D1E平面 A1BD一、选择题1已知平面 与平面 相交，直线 m，则 ( )导 学 号 92180552
8、A 内必存在直线与 m 平行，且存在直线与 m 垂直B 内不一定存在直线与 m 平行，不一定存在直线与 m 垂直C 内不一定存在直线与 m 平行，必存在直线与 m 垂直D 内必存在直线与 m 平行，不一定存在直线与 m 垂直答案 C2下列命题正确的是 ( )导 学 号 92180553Error!b；Error!ab；Error!b；Error!b.A BC D答案 A解析 由性质定理可得(1)(2) 正确3如图，正方体 AC1 的棱长为 1，过点 A 作平面 A1BD 的垂线，垂足为 H，则以下命题中，错误的命题是 ( )导 学 号 92180554A点 H 是A 1BD 的垂心BAH 垂直
9、于平面 CB1D1CAH 的延长线经过点 C1D直线 AH 和 BB1 所成角为 45答案 D解析 A 中，A 1BD 为等边三角形，四心合一，ABAA 1AD，H 到A 1BD各顶点的距离相等，A 正确；易知 CD1BA 1，CB 1DA 1，又 CD1CB 1C，BA 1DA 1A 1，平面 CB1D1平面A1BD，AH 平面 CB1D1， B 正确；连接 AC1，则 AC1B 1D1，B 1D1BD，AC 1BD，同理，AC 1BA 1，又 BA1BDB，AC 1平面 A1BD，A、H、C 1 三点共线，C 正确，利用排除法选 D4如图所示，PA 垂直于O 所在平面，AB 是O 的直径，
10、 C 是O 上的一点，E、F 分别是点 A 在 PB、PC 上的射影，给出下列结论：AF PB；EF PB ；AFBC；AE BC 其中正确的个数为 ( )导 学 号 92180555A1 B2C3 D4答案 C解析 AB 是O 的直径， ACBC PA 垂直于O 所在的平面，PA AB，PA AC，PA BC，BC 平面 PAC，BCAF，正确又AF PC，AF平面 PBC， AF PB，正确又 AEPB，PB平面AEF， EFPB ，正确若 AEBC，则由 AEPB，得 AE平面 PBC，此时 E、F重合，与已知矛盾，错误故选 C二、填空题5已知三棱锥 PABC，PA平面 ABC，AC B
11、C，PA2，ACBC1，则三棱锥PABC 外接球的体积为 _.导 学 号 92180556答案 6解析 如图所示取 PB 的中点 O，PA 平面 ABC，PAAB，PABC，又 BCAC ，PAAC A，BC平面 PAC，BCPC OA PB，OC PB，OA OBOCOP ，故 O 为外接球的球心12 12又 PA2，AC BC1，AB ，PB ，2 6外接球的半径 R .62V 球 R3 ( )3 .43 43 62 66ABC 的三个顶点 A、B 、C 到平面 的距离分别为 2 cm、3 cm、4 cm，且它们在 的同侧，则ABC 的重心到平面 的距离为_. 导 学 号 92180557
12、答案 3 cm解析 如图，设 A、B、C 在平面 上的射影分别为 A 、B、C，ABC 的重心为 G，连接 CG 并延长交 AB 于中点 E，又设 E、G 在平面 上的射影分别为 E、G，则 EA B ，GC E，EE (AABB)12 ，CC4 ，CG:GE2:1 ，在直角梯形 EECC 中，可求得 GG3.52三、解答题7如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，已知 ACBC，BCCC 1，设 AB1 的中点为D，B 1CBC 1E. 导 学 号 92180558求证：(1)DE 平面 AA1C1C；(2)BC1AB 1.解析 (1)由题意知， E 为 B1C 的中点，又 D 为 AB
13、1 的中点，因此 DEAC 又因为 DE平面 AA1C1C，AC平面 AA1C1C，所以 DE平面 AA1C1C(2)因为棱柱 ABCA 1B1C1 是直三棱柱，所以 CC1平面 ABC因为 AC平面 ABC，所以 ACCC 1.又因为 ACBC，CC 1平面 BCC1B1，BC平面 BCC1B1，BCCC 1C，所以 AC平面 BCC1B1，又因为 BC1平面 BCC1B1，所以 B1CAC 因为 BCCC 1，所以矩形 BCC1B1 是正方形，因此 BC1B 1C因为 AC，B 1C平面 B1AC， ACB 1CC，所以 BC1平面 B1AC又因为 AB1平面 B1AC，所以 BC1AB
14、1.8如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面ABCD， ABBC 2，ADCD ，PA ，ABC 120.G 为线段 PC 上的点.7 3导 学 号 92180559(1)证明：BD 平面 APC；(2)若 G 为 PC 的中点，求 DG 与平面 APC 所成角的正切值；(3)若 G 满足 PC平面 BGD，求 的值PGGC解析 (1)设点 O 为 AC、BD 的交点由 ABBC，ADCD ，得 BD 垂直平分线段 AC所以 O 为 AC 的中点，BD AC又因为 PA平面 ABCD，BD平面 ABCD，所以 PABD 又 PAACA，所以 BD平面 APC(2)连接 OG.由(1) 可知
15、OD平面 APC，则 DG 在平面 APC 内的射影为 OG，所以OGD 是 DG 与平面 PAC 所成的角由题意得 OG PA .12 32在ABC 中，因为 ABBC， ABC 120，AO CO，所以ABO ABC 60 ，12所以 AOOCABsin60 .3在 Rt OCD 中，OD 2.CD2 OC2在 Rt OGD 中，tanOGD .ODOG 433所以 DG 与平面 APC 所成角的正切值为 .433(3)因为 PC平面 BGD，OG平面 BGD，所以 PCOG .在 Rt PAC 中，PC . 32 232 15所以 GC .ACOCPC 2155从而 PG ，3155所以 .PGGC 32
