1、专题 14：阅读理解题一、选择题1.(2017 四川泸州第 9 题)已知三角形的三边长分别为 ,abc，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入的研究，故希腊的几何学甲海伦给出求其面积的海伦公式 ()()Spabpc，其中2abcp；我国南宋时期数学家秦九韶（约 1202-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式221()abcS，若一个三角形的三边分别为 2,34，其面积是（ ）A 3158 B 4 C 3152 D【答案】B.【解析】试题分析：由题意可得 ,根据海伦公式可得234.5p,故选 B.14.5().(.)S二、填空题1.（2017 山东临沂第 19 题）在平面直角坐标
2、系中，如果点 坐标为 ，向量 可以用点 的坐标P,mnOPur表示为 .,OPmnur已知： ， ，如果 ，那么 与 互相垂直.1Axy2,Bxyur12120xyArB下列四组向量： ， ；2,Cur,Dr ， ；cos30tan45OE1,sin60OFur ， ；2,Gr 32,H ， .0,Mu,1Nur其中互相垂直的是 （填上所有正确答案的序号） 【答案】【解析】考点：1、平面向量，2、零指数幂，3、解直角三角形2.(2017 山东滨州第 18 题)观察下列各式：13，2435请利用你所得结论，化简代数式 213 4 25 2()n（ n3 且为整数），其结果为_【答案】 .2354
3、(1)n【解析】根据题目中所给的规律可得,原式= =122(.)345(2n=1(.)2345n= .13(1)2(2(1)2)nn234()n3.(2017 湖南湘潭第 16 题)阅读材料：设 1(,axy， 2(,bxy，如果 /ab，则 211xy.根据该材料填空：已知 (2,3)a， (4,)bm，且 /ab，则 【答案】6.【解析】试题分析:利用新定义设 1(,)axy， 2(,)bxy，如果 /ab，则 211xy，2m=43,m=6.三、解答题1.(2017 北京第 29 题)在平面直角坐标系 中的点 和图形 ，给出如下的定义：若在图形 上存在OPMM一点 ，使得 两点间的距离小
4、于或等于 1，则称 为图形 的关联点QP、（1）当 的半径为 2 时，OA在点 中， 的关联点是_1235,0,0OA点 在直线 上，若 为 的关联点，求点 的横坐标的取值范围PyxPP（2） 的圆心在 轴上，半径为 2，直线 与 轴、 轴交于点 若线段 上的所有CA 1yxyAB、点都是 的关联点，直接写出圆心 的横坐标的取值范围C【答案】 （1） ， x 或 x ， （2）2x1 或 2x223,P232【解析】试题分析：（1）由题意得，P 只需在以 O 为圆心，半径为 1 和 3 两圆之间即可，由 的值可知23,OP为O 的关联点；满足条件的 P 只需在以 O 为圆心，半径为 1 和 3
5、 两圆之间即可，所以 P 横坐标范23,围是 x 或 x ；（2）.分四种情况讨论即可，当圆过点 A, CA=3 时；当23圆与小圆相切时；当圆过点 A,AC=1 时;当圆过点 B 时，详见解析.本题解析： （1） ,1235,0,OPP点 与的最小距离为 ，点 与的最小距离为 1，点 与的最小距离为 ，2 3P12的关联点为 和 2P3（2）y=-x+1 与轴、轴的交点分别为 A、B 两点， 令 y=0 得，-x+1=0,解得 x=1，令得 x=0 得，y=0， A(1,0) ,B (0,1) , 分析得：如图 1，当圆过点 A 时，此时 CA=3, 点 C 坐标为， C ( -2,0) 如
6、图 2，当圆与小圆相切时，切点为 D，CD=1 ,又直线 AB 所在的函数解析式为 y=-x+1, 直线 AB 与 x 轴形成的夹角是 45, RTACD 中，CA= ， 2 C 点坐标为 (1- ,0) C 点的横坐标的取值范围为；-2 1- , cx2如图 3，当圆过点 A 时，AC=1，C 点坐标为(2,0)如图 4,当圆过点 B 时，连接 BC ，此时 BC =3,在 RtOCB 中，由勾股定理得 OC= , C 点坐标为 (2 ,0)2312 C 点的横坐标的取值范围为 2 2 ； cx2综上所述点 C 的横坐标的取值范围为 或 3cx2cx32考点：切线，同心圆，一次函数，新定义.
7、2. (2017 福建第 22 题)小明在某次作业中得到如下结果：222sin7i830.1.90.45oo，267318，222si9i.47oo，n37500，2222si4i()1oo据此，小明猜想：对于任意锐角 ，均有 22sini(90)1o（）当 30o时，验证 2sin(90)1o是否成立；（）小明的猜想是否成立?若成立，若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例【答案】 （）成立，证明见解析；（）成立，证明见解析.【解析】试题分析：（）成立，当 30o时，将 30与 60的正弦值代入计算即可得证；（）成立，如图，ABC 中，C=90，设A=，则B=90-，正确地表示这两个角的
8、正弦并利用勾股定理即可得证.试题解析：（）当 30o时， 22sini(90)o=sin230+sin 260=2213= 14 =1，所以 22sini(9)1成立；（）小明的猜想成立.证明如下：如图，ABC 中，C=90，设A=，则B=90-，sin2+sin 2（90-）=222BCABCA=13. （2017 湖南长沙第 25 题）若三个非零实数 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数zyx,的和，则称这三个实数 构成“和谐三数组” zyx,（1）实数 1，2，3 可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由（2）若 三点均在函数 y= （ 为常数， ）的图象上，且这三点),1(),(
9、), 32ytMtNtxk0k的纵坐标 构成“和谐三数组” ，求实数 的值；321yt（3）若直线 与 轴交于点 ，与抛物线 交于)0(bcxx)0,(1A)0(32acbxay两点),(),(32yCxB求证：A，B，C 三点的横坐标 x1，x2，x3 构成“和谐三组数” ；若 a2b3c，x2=1，求点 P（， ）与原点 O 的距离 OP 的取值范围.【答案】 （1）不可以（2）t=-4，-2 或 2（3） 且 OP1102P 【解析】试题分析：（1）根据“和谐三组数”的意义直接判断即可；（2）分别表示出 M、N、R 的坐标，然后根据“和谐三组数”求出 t 的值；（3）令 y=2bx+2c
10、=0 表示出 x1，然后联立方程组得到 ，然后由韦达定理表示出 x2、x 3的20axbc关系，从而判断；由已知求出 OP 表达式，然后根据表达式求范围.试题解析：（1）由已知 123 23 又1 +1,2,3 不可以构成“和谐三组数”（2）M（t， ） ，N（t+1， ） ，R（t+3， ）kt1kt3kt， ， 组成“和谐三组数”kt13若 = + ，得 t=-4tk若 ，得 t=-2若 ，得 t=231ttk综上，t=-4，-2 或 2（3）令 y=2bx+2c=0x 1=- bc联立 23yxac 0b由韦达定理可得 23bxac 232311xbcx 构成“和谐三组数”1， ，x 2
11、=1a+b+c=0c=-a-bOP= =222()bcaba2()1baa2b3c- b352- a1令 t= ，p=2 = 2)(1ba2t- t 且 t-1 或 035 p 且 p112 且 OP10OP 考点：阅读理解题4. （2017 山东临沂第 25 题）数学课上，张老师出示了问题：如图 1， 、 是四边形 的对角ACBDAC线，若 ，则线段 ， ， 三者之间有何等量关系？ACBD60ABB经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图 2，延长 到 ，使 ，连接 ，证得EE，从而容易证明 是等边三角形，故 ，所以 .EVCEV小亮展示了另一种正确的思路：如图 3，将 绕着点 逆时针旋转
12、，使 与 重合，从而容ABCV60ABD易证明 是等比三角形，故 ，所以 .ACFVFD在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 4，如果把“ ”改为“60”，其它条件不变，那么线段 ， ， 三者之间有何BD45BABCA等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明.（2）小华提出：如图 5，如果把“ ”改为“ACBD60AB”，其它条件不变，那么线段 ， ， 三者之间有何等ACBDCDA量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明.【答案】 （1）BC+CD= AC（2）BC+CD=2ACcos【解析】试题分析：（1）先判断出ADE=ABC，即可得出ACE 是
13、等腰三角形，再得出AEC=45，即可得出等腰直角三角形，即可；（判断ADE=ABC 也可以先判断出点 A，B，C，D 四点共圆）（2）先判断出ADE=ABC，即可得出ACE 是等腰三角形，再用三角函数即可得出结论试题解析：（1）BC+CD= AC；2理由：如图 1，延长 CD 至 E，使 DE=BC，ABD=ADB=45，AB=AD，BAD=180ABDADB=90，ACB=ACD=45，ACB+ACD=45，BAD+BCD=180，ABC+ADC=180，ADC+ADE=180，ABC=ADE，在ABC 和ADE 中， ，ABDCEABCADE（SAS） ，ACB=AED=45，AC=AE，
14、ACE 是等腰直角三角形，CE= AC，2CE=CE+DE=CD+BC，BC+CD= AC；（2）BC+CD=2ACcos理由：如图 2，延长 CD 至 E，使 DE=BC，ABD=ADB=，AB=AD，BAD=180ABDADB=1802，ACB=ACD=，ACB+ACD=2，BAD+BCD=180，ABC+ADC=180，ADC+ADE=180，ABC=ADE，在ABC 和ADE 中， ，ABDCEABCADE（SAS） ，ACB=AED=，AC=AE，AEC=，过点 A 作 AFCE 于 F，CE=2CF，在 RtACF 中，ACD=，CF=ACcosACD=ACcos，CE=2CF=2
15、ACcos，CE=CD+DE=CD+BC，BC+CD=2ACcos考点：1、几何变换综合题，2、全等三角形的判定，3、四边形的内角和，4、等腰三角形的判定和性质5. （2017 山东青岛第 23 题） （本小题满分 10 分）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题。下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用探究一：求不等式 2|1|x的解集（1）探究 |的几何意义如图，在以 O 为原点的数轴上，设点 A对应点的数为 1x，由绝对值的定义可知，点 A与 O 的距离为 |1|x，可记为： AO= |x。将线段 AO 向右平移一个单
16、位，得到线段 AB， ，此时点 A 对应的数为 x，点 B 的对应数是 1，因为 AB= AO，所以 AB= |1|。因此， |x的几何意义可以理解为数轴上 x所对应的点 A 与 1 所对应的点 B 之间的距离 AB。 （2）求方程 |=2 的解因为数轴上 3 与 1所对应的点与 1 所对应的点之间的距离都为 2，所以方程的解为 1,3（3）求不等式 2|x的解集因为 |表示数轴上 所对应的点与 1 所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于 2 的点所对应的数 的范围。请在图的数轴上表示 2|x的解集，并写出这个解集探究二：探究 22)()(byax的几何意义（1）探究 2
17、的几何意义如图，在直角坐标系中，设点 M 的坐标为 ),(yx，过 M 作 MPx 轴于 P，作 MQy 轴于 Q，则点 P 点坐标（ 0,x） ，Q 点坐标（ y,0） ，|OP|= ，|OQ|= ，在 RtOPM 中，PMOQy，则 222| yxyxPO因此 2的几何意义可以理解为点 M ),(yx与原点 O（0,0）之间的距离 OM（2）探究 2)5()1(yx的几何意义如图，在直角坐标系中，设点 A的坐标为 )5,1(，由探究（二） （1）可知，AO= 22)()(，将线段 AO 先向右平移 1 个单位，再向上平移 5 个单位，得到线段 AB，此时A 的坐标为（ yx,） ，点 B
18、的坐标为（1,5） 。因为 AB= AO，所以 AB= 22)5()1(yx，因此 22)()(yx的几何意义可以理解为点 A（yx,）与点 B（1,5）之间的距离。（3）探究 22)4()3(yx的几何意义请仿照探究二（2）的方法，在图中画出图形，并写出探究过程。（4） 22)()(ba的几何意义可以理解为：_.拓展应用：（1） 22)1()(yx+ 22)5()(yx的几何意义可以理解为：点 A ),(yx与点 E )1,2(的距离与点 AA ,与点 F_（填写坐标）的距离之和。（2） 22)()(+ 22)()(的最小值为_(直接写出结果)【答案】探究一（3） 解集为： 31 x探究二（
19、3） （ 4,3）拓展应用（1） （ 5,1） （2）5拓展应用：根据题目信息知是与点 F（ 5,1）的距离之和。22)1()(yx+ 22)()(yx表示点 A ),(yx与点 E )1,2(的距离与点 A ),(yx与点F（ 5,）的距离之和。最小值为 E ,与点 F（ 5）的距离 5.试题解析：探究一（3） 解集为： 31 x探究二（3）如图，在直角坐标系中，设点 A的坐标为 )4,3(yx，由探究（二） （1）可知， AO= 22)(，将线段 AO 先向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，得到线段 AB，此时 A 的坐标为（ yx,） ，点 B 的坐标为（ 4,3） 。因为 A
20、B= AO，所以 AB= 22)()(，因此 22)4()3(yx的几何意义可以理解为点 A（ yx,）与点 B（ ,）之间的距离。拓展应用（1） （ 5,） （2）5考点：信息阅读题6. (2017 山东日照第 21 题)阅读材料：在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（x 0，y 0）到直线 Ax+By+C=0 的距离公式为：d= 例如：求点 P0（0，0）到直线 4x+3y3=0 的距离解：由直线 4x+3y3=0 知，A=4，B=3，C=3，点 P0（0，0）到直线 4x+3y3=0 的距离为 d= = 根据以上材料，解决下列问题：问题 1：点 P1（3，4）到直线 y= x+ 的距离为
21、 ；问题 2：已知：C 是以点 C（2，1）为圆心，1 为半径的圆，C 与直线 y= x+b 相切，求实数 b 的值；问题 3：如图，设点 P 为问题 2 中C 上的任意一点，点 A，B 为直线 3x+4y+5=0 上的两点，且 AB=2，请求出 SABP 的最大值和最小值【答案】 （1）4；（2）b=5 或 15；（3）最大值为 4，最小值为 2.试题分析：（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题;（3）求出圆心 C 到直线 3x+4y+5=0 的距离，求出C 上点 P 到直线 3x+4y+5=0 的距离的最大值以及最小值即可解决问题试题解析：
22、（1）点 P1（3，4）到直线 3x+4y5=0 的距离 d= =4；2345（2）C 与直线 y= x+b 相切，C 的半径为 1，3C（2，1）到直线 3x+4yb=0 的距离 d=1， =1，2643b解得 b=5 或 15（3）点 C（2，1）到直线 3x+4y+5=0 的距离 d= =3，26453C 上点 P 到直线 3x+4y+5=0 的距离的最大值为 4，最小值为 2，S ABP 的最大值= 24=4，S ABP 的最小值= 22=2212考点：一次函数综合题7.（2017 浙江湖州第 19 题） （本小题 6 分）对于任意实数 a， b，定义关于“ ”的一种运算如下： 2ab
23、例如： 528，3423410（1）若 x，求 x的值；（2）若 5，求 的取值范围【答案】 （1）2017（2）x4考点：1、阅读理解，2、解一元一次方程，3、解不等式8.（2017 浙江台州第 24 题） 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根.比如对于方程 250x，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点 0,15,2AB；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点 A，另一条直角边恒过点 B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在 x轴上点 C处时，点 的横坐标 m即为该方程的一个实数根（如图 1） ；第四步：调整三角板直角
24、顶点的位置，当它落在 轴上另点 D处时，点 的横坐标 n即为该方程的另一个实数根.（1）在图 2 中，按照“第四步”的操作方法作出点 D（请保留作出点 D时直角三角板两条直角边的痕迹） ；（2）结合图 1，请证明“第三步”操作得到的 m就是方程 250x的一个实数根；（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程 20axbc20,4abc的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；（4）实际上， （3）中的固定点有无数对，一般地，当 12,mn与 ,abc之间满足怎样的关系时，点12,PmnQ就是符合要求的对固定点？【答案】 （1）作图见解析（2）证明见解析（3）A（0
25、，1） ，B（- ， ）或 A（0， ） ，B（- ，c）等a1ab（4）m 1+m2=- ，m 1m2+n1n2= .baca【解析】试题分析：（1）根据题目中给的操作步骤操作即可得出图 2 中的图.（2）在图 1 中，过点 B 作 BDx 轴，交 x 轴于点 D.依题意可证AOCCDB.然后根据相似三角形对应边的比相等列出式子，化简后为 m2-5m+2=0，从而得证。（3）将方程 ax2+bx+c=0（a0）可化为 x2+ x+ =0.模仿研究小组作法即可得答案。bac（4）以图 3 为例：P（m 1,n1）Q（m 2,n2）,设方程的根为 x，根据三角形相似可得. .化简12nmxx后为
26、 x2-(m1+m2）x+m 1m2+n1n2=0.又 x2+ x+ =0.再依据相对应的系数相等即可求出。bac试题解析：（1）解：如图 2 所示：（3）解：方程 ax2+bx+c=0（a0）可化为x2+ x+ =0.bac模仿研究小组作法可得：A（0，1） ，B（- ， ）或 A（0， ） ，B（- ，c）等.bac1ab（4）解：以图 3 为例：P（m 1,n1）Q（m 2,n2）,设方程的根为 x，根据三角形相似可得 .12nxx上式可化为 x2-(m1+m2）x+m 1m2+n1n2=0.又 ax2+bx+c=0,即 x2+ x+ =0.bac比较系数可得：m 1+m2=- .bam
27、1m2+n1n2= .c考点：1、一元二次方程的解，2、根与系数的关系，3、作图基本作图，4、相似三角形的判定与性质 9.(2017 湖南湘潭第 22 题)由多项式乘法： 2()()xabxab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：2()()xabxab示例：分解因式： 2562(3)x(2)3x（1）尝试：分解因式： 8x_ _)；（2）应用：请用上述方法解方程： 240x.【答案】(1)2,4；（2） .1,【解析】试题分析：(1)把 8 分解成 24，且 2+4=6，类比例题即可求解；(2)把-4 分解成 1（-4），且 1+（-4）=-3，类比例题分解因式，利用因式分解法解方程即可.试题解析：（1） 268x(x_2_)(_4_)；（2） 340,12x
